（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.2立体图形的直观图精讲（解析版）

8.2立体图形的直观图(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:画水平放置的平面图形的直观图题型2：由直观图还原平面图形题型3：画简单几何体的直观图题型4：求直观图的长度和面积题型5：直观图还原和计算问题三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：空间几何体的直观图（1）空间几何体的直观图的概念直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.（2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或）（2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段.（3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有.知识点2：空间几何体的直观图的绘制方法（1）画轴.在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点,画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点,且使”(或）,它们确定的平面表示水平面；（2）画底面.已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；（3）画侧棱.已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；（4）成图.连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.知识点3：斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．二、重点题型分类研究题型1:画水平放置的平面图形的直观图典型例题例题1．如图所示，在四边形中，，，，且，则四边形水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（

）A． B．5 C． D．【答案】C【详解】如图所示，为的直观图，根据斜二测画法的规则可知，，，平行于轴，∴该图形的面积为．故选：C.例题2．如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】先作出一个正三角形，然后以所在直线为轴，以边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系，画对应的轴，使夹角为，画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，故选：A例题3．已知直角梯形上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（

）A． B． C．3 D．6【答案】C【详解】如图所示，实线表示直观图，.,,∴直观图的面积为,故选：C.例题4．如图所示，四边形是一个梯形，，，为等腰直角三角形，为的中点，试画出梯形水平放置的直观图，并求直观图的面积．【答案】图见解析，【详解】解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变．如图所示，在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝×(1＋2)×＝.同类题型演练1．已知正△ABC的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是（

）A．a2 B．a2 C．a2 D．a2【答案】D【详解】因为正△ABC的边长为a，所以其面积S＝a2，又因为直观图面积S′与原图面积之比为，即＝，所以S′＝×a2＝a2．答案：D2．如图，在斜二测画法下被画成正三角形，请画出的真正图形．【答案】作图见解析【详解】如图，即为所求图形．作图过程：过C作CD⊥AB于D，延长DA到O，使得DO＝DC，连接OC，则∠COD＝45°．过O作Oy⊥OB，并以Oy作为y轴，OB作为x轴，在y轴正半轴取，使得，连接、，则根据斜二测画法的原理可知即为真正的图形．3．画出如图所示的水平放置的正方形的直观图（画在原图上）．【答案】直观图见解析【详解】该正方形直观图如图所示，4．用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【详解】解：（1）画，轴，使，在轴上截取，在轴上截取．过作轴的平行线，且取线段长度为2，连接，，，，则四边形的直观图即为四边形；（2）画，轴，使，在轴上截取，在轴过、分别作的平行线，与在轴上过作轴的平行线分别交于，，连接，，，．则四边形的直观图即为四边形．题型2：由直观图还原平面图形典型例题例题1．如图是一个平面图形的直观图，斜边，则原平面图形的面积是（

）A． B． C．4 D．【答案】A【详解】根据斜二测画法的规则，将平面图形的直观图恢复为原图，如图示：则，故这个平面图形的面积为,故选：A.例题2．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】利用斜二测画法将直观图还原如图，易知此时，，又由轴得轴，故，不妨设是的中点，则，所以在中，，即中边上的中线的长度为.故选：A..例题3．水平放置的的直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为______．【答案】【详解】根据斜二测画法的原则,由直观图知，原平面图形为直角三角形，且，,所以，所以，故边上中线长为.故答案为：2.5.例题4．如图∶矩形的长为4cm，宽为2cm，是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则四边形的周长为∶__________cm；【答案】20【详解】由斜二测画法的规则知与轴平行或重合的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变；与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与轴平行的性质不变.还原出原图形如上图所示，其中cm，cmcm所以原图形的周长为cm同类题型演练1．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知点是斜边的中点，且，则的边边上的高为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【详解】∵直观图是等腰直角三角形，，∴，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半,∴△的边上的高.故选D.2．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图所示，则原平面图形的面积为（

）A． B．8 C． D．【答案】C【详解】还原平面图：，，所以该平面图形面积为，故选：C3．（多选）如图所示的是水平放置的三角形直观图，是中边上的一点，且，又轴，那么原的、、三条线段中（

）A．最长的是B．最长的是C．最短的是D．最短的是【答案】AD【详解】由题意得到原的平面图为：其中，，，∴，∴的、、三条线段中最长的是，最短的是，故选：AD.4．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则______．【答案】【详解】由直观图可还原,如下图所示,其中,又因所以即得故答案为:.题型3：画简单几何体的直观图典型例题例题1．用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图．【答案】作图见解析【详解】解：根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形．①画出水平放置的长、宽分别是8cm、6cm的矩形ABCD的直观图．②作Az垂直于AB，在Az轴上截取．分别过点B、C、D作，，，且．③连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示．例题2．画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．【答案】答案见解析【详解】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O，使得.（2）画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC=6cm,在y轴上以O为中点取线段GH,使,分别过点G,H作x轴的平行线，并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=3cm,ED=3cm,连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图.（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过A,B,C,D,E,F各点作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取5cm长的线段.（4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的正六棱柱的直观图例题3．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．【答案】答案见解析【详解】【解】（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.（2）画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．（3）画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．（4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图如图②）．同类题型演练1．画长、宽、高分别为，，的长方体的直观图．【详解】根据斜二测画法的规则可知,底面矩形的直观图为平行四边形,其中,,作底面,在轴上截取,过作,使,过、分别作平行于且等于,连接可得长、宽、高分别为，，的长方体的直观图.2．用斜二测画法画长、宽、高分别为2cm，2cm，3cm的长方体的直观图．【答案】见解析【详解】画轴：画轴、轴、轴，使；画底面：作水平放置的长方形的直观图，与重合，在轴上作，在轴上作，过分别作轴的平行线交于点，即得长方形的直观图；画侧棱：过各点作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取，使；成图：连接，并去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到的图形即为正六棱柱的直观图．3．画出下列图形的直观图：(1)棱长为4cm的正方体；(2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥．【答案】(1)画法见解析，；(2)画法见解析，(1)如下图所示，按如下步骤完成：第一步：作水平放置的正方形ABCD的直观图，使得AB=4cm，BC=2cm，且∠DAB=45°，取平行四边形ABCD的中心O，作x轴∥AB，y轴∥BD，第二步：过点O作∠xOz=90°，过点A、B、C、D分别作等于4cm，顺次连接，第三步：去掉图中的辅助线，就得到棱长为4的正方体的直观图.(2)如下图所示，按如下步骤完成：第一步：作水平放置的圆的直观图，使cm，cm.第二步：过作轴，使，在上取点，使=4cm，连接，.第三步：去掉图中的辅助线，就得到所求圆锥的直观图.题型4：求直观图的长度和面积典型例题例题1．已知的面积为，下图是的直观图，已知，，过作轴于，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设三角形直观图的面积为，显然，又，解得.故选：例题2．在直角坐标系中水平放置的直角梯形如图所示.已知为坐标原点，,,.在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为（

）A．8 B．10 C． D．【答案】D【详解】如图，画出直观图，过点作，垂足为.因为，，所以，，，则，故四边形的周长为，所以D正确.故选：D.例题3．已知正的边长为，那么的直观图的面积为__________.【答案】【详解】如图是△ABC和直观图，易知：，，在图中作于，则，故.故答案为：.例题4．将边长为2的正方形水平放置，得到的直观图的面积为___________.【答案】【详解】以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系，如图所示，则边长为2的正方形的直观图为，做于，所以，可得，，所以的面积为.故答案为：.同类题型演练1．水平放置的长方形在直角坐标系中的位置如图所示．在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的面积为（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【详解】由斜二测画法可知，四边形为边长为2的菱形，其中，所以四边形的面积为.故选：C2．如图，在等边中，，若的直观图为，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意，在中，，由斜二测画法规则知：，是的中点，所以的面积.故选：A3．（多选）已知是等腰直角三角形，，用斜二测画法画出它的直观图，则的长可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】以BC为轴，画出直观图，如图2，此时，A正确，以BC为轴，则此时，则的长度范围是，若以AB或AC为x轴，画出直观图，如图1，以AB为轴，则，此时过点作⊥于点D，则，则，，由勾股定理得：，C正确；故选：AC4．将边长为2的正水平放置后，利用斜二测画法得其直观图，则的面积为__________.【答案】【详解】边长为2的正的面积为，即.由斜二测画法的直观图与原图形的关系可知：故答案为：题型5：直观图还原和计算问题典型例题例题1．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为，则梯形的面积为（

）A．2S B．S C．2S D．S【答案】C【详解】设原图形的面积为.因为直观图面积为S，且，所以.故选：C例题2．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知，则的面积为（

）A． B．4 C． D．2【答案】A【详解】如图1，在等腰直角三角形中，设轴与交于，则为的中点，且.过点作轴，且交轴于点，容易得到是等腰直角三角形，且，.如图2，由斜二测画法可知，,且，则AC=2.于是所求三角形的面积为.故选：A.例题3．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（

）A．8 B．10 C．12 D．【答案】B【详解】由题设知：原四边形中且，所以原四边形为平行四边形，而，则原四边形中，故，综上，四边形的周长为.故选：B例题4．如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为__．【答案】##【详解】过点作轴，且交轴于点，过点作轴，且交轴于点，则，所以，则，所以原三角形的高，底边长为，其面积为．故答案为：．同类题型演练1．如图所示，是的直观图，其中，那么的面积是（

）A． B．7 C． D．【答案】B【详解】在直角坐标系中作出原平面图形，则，，，所以．故选：B．2．用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△，其中，，则△ABC的面积为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【详解】由题设，△和△均为等腰直角三角形，所以，即轴，原直角坐标系中轴，而，则，在△中边上的高等于的长，又，所以△ABC的面积为.故选：C3．若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积（

）A．12 B．6 C． D．【答案】C【详解】解：由斜二测画法的直观图知，，，，；，所以原图形中，，，，，，所以梯形的面积为．故选：C．4．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为________.【答案】【详解】解：由直观图可得如下平面图形：其中，，所以，所以在直角三角形中，斜边边上的中线为；故答案为：三、高考（模拟）题体验1．正三角形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是（

）A． B．