（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练10.1.3 古典概型（精练）（解析版）

10.1.3古典概型（精练）一、单选题1．连续掷一颗骰子2021次，那么第2020次出现点数6的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：掷一颗骰子，每次都有6种结果，每种结果等可能，所以第2020次出现点数6的概率为.故选：D.2．如图，这是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则共有16种情况，其中甲的得分高于乙的得分的情况有7种，故所求的概率为．故选：B.3．从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为（

）A．70% B．65% C．60% D．50%【答案】B【详解】6个整数中取3个不同的数，共有种情况，三个数作为边长可构成三角形的有，共有13种情况，所以概率为故选：B4．一个笼子里有只白兔，只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设只白兔为，只灰兔为，则所有基本事件为：，，,,,,,,,,共有个，其中先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的有：,,,,,,共个，所以所求事件的概率为：.故选：A5．从编号为1到100的100张卡片中任取一张，以下事件中发生可能性最小的是（

）A．卡片上数字是2的倍数 B．卡片上数字是3的倍数C．卡片上数字是4的倍数 D．卡片上数字是5的倍数【答案】D【详解】从编号为1到100的100张卡片中任取一张，卡片上数字是2的倍数的概率，卡片上数字是3的倍数的概率，卡片上数字是4的倍数，卡片上数字是5的倍数，所以发生可能性最小的是卡片上数字是5的倍数，故选：D6．将数据这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】从5个数中随机删去两个数有共10种方法，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是共有4种，所以剩下数据的平均数大于5的概率为，故选：C7．在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为所有的两位数共有90个，其中被2整除的有10，12，14，…，98，共计45个；被3整除的有12，15，18，…，99，共计30个；被6整除的有12，18，24，…，96，共计15个；故能被2或3整除的数有个，所以任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为.故选：B.8．已知p，q是方程的根，则函数在上是递增函数的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为方程的根的集合为，所以有．记事件A为“函数在上是递增函数”．对函数求导，得．由题意，知在上恒成立，有，且．当时，有，所以p可以取到1，2，3，4这4个值；当时，有，所以p可以取到2，3，4这3个值；当时，有，所以p可以取到3，4这2个值；当时，有，所以p的值不存在．综合以上，事件A包含的基本事件共有种．因为，所以所有的基本事件共有种．则所求事件的概率为．故选：D．二、多选题9．5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲、然后由乙各抽一张，则下列结论正确的是（

）A．甲中奖的概率B．乙中奖的概率C．只有乙中奖的概率D．甲、乙都中奖的概率【答案】AD【详解】设中奖奖券为1,2，不中奖的奖券为3,4,5，则随机试验首先由甲、然后由乙各抽一张的样本空间为,,,,，共20个基本事件，事件甲中奖包含基本事件,，共8个，所以事件甲中奖的概率，选项A正确；事件乙中奖包含基本事件,，共8个，所以事件乙中奖的概率，选项B错误；事件只有乙中奖包含基本事件,，共6个，所以事件只有乙中奖的概率，选项C错误；事件甲、乙都中奖包含基本事件，共2个，所以事件甲、乙都中奖的概率，选项D正确.故选：AD.10．已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲､乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的是（

）A．甲参赛的概率大 B．乙参赛的概率大C．这种选取规则公平 D．这种选取规则不公平【答案】BD【详解】由题意，知由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”有123，124，125，134，135,145，234，235，245，345，共10个.记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的样本点有124，134，234，共3个，所以.记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的样本点有123，125，135，145，235，245，345，共7个，所以.因为，即乙参赛的概率大，所以该选取规则不公平.故选：BD.三、填空题11．将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b和c，则函数图象与x轴无公共点的概率是______．【答案】【详解】一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，不同结果有：，，，共36个，函数图象与x轴无公共点，即，解得，则点有，共7个，所以函数图象与x轴无公共点的概率.故答案为：12．第14届国际数学教有大会（ICME-14）于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______.【答案】##【详解】因为张老师在7天中随机选择连续的3天参会共有5种选法，即，，，，，所以随机试验张老师和李老师各在7天中随机选择连续的3天参会的基本事件数为25，其中两位老师所选的日期恰好都不相同选法有：张老师选，李老师选或，张老师选，李老师选，张老师选，李老师选，张老师选，李老师选或，即事件两位老师所选的日期恰好都不相同包含6个基本事件，所以事件两位老师所选的日期恰好都不相同的概率.故答案为：.四、解答题13．从数字1，2，3，4，5中任取两个数，求这两个数中其中一个是另一个数整数倍的概率.【答案】【详解】从数字1，2，3，4，5中任取两个数的试验有：，共10个，选取的两个数中一个是另一个数整数倍的事件A有：，所以这两个数中其中一个是另一个数整数倍的概率.14．某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球.抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x表示取出的小球上的数字，当时，该顾客积分为3分，当时，该顾客积分为2分，当时，该顾客积分为1分.以下是用电脑模拟的抽签，得到的30组数据如下：131163341241253126316121225345(1)以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率：(2)某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率.【答案】(1)，(2)【详解】（1）由题意可知某顾客抽奖1次，积分为3分的频率是，则估计某顾客抽奖1次，积分为3分的概率为.某顾客抽奖1次，积分为2分的频率是，则估计某顾客抽奖1次，积分为2分的概率为.（2）由（1）可知某顾客抽奖1次，积分为1分的概率是，则某顾客抽奖1次，所得积分是1分和所得积分大于1分是等可能事件.设某顾客抽奖1次，积分为1分，记为A，积分大于1分，记为a，则某顾客抽奖3次，每次所得积分的情况为aaa，aaA，aAA，aAa，AAa，AAA，AaA，Aaa，共8种，其中符合条件的情况有aAA，AAa，AAA，AaA，共4种，故所求概率.B能力提升15．从2023年1月8日起，我国的疫情防控进入新阶段，为进一步提高广大学生的自我防范意识，某校组织1000名高一学生开展线上防疫知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)求的值，并估计该校参加竞赛的1000名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到）；(2)采用分层抽样的方法从样本中成绩不低于80分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，试求成绩在的学生至少有1人被抽到的概率．【答案】(1)，平均数为71，中位数为71.3；(2).【详解】（1）解：由直方图可得：，解得，所以平均成绩：.因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，所以样本中学生成绩的中位数在内．设样本中学生成绩的中位数为，由，解得.所以的值为，该校参加竞赛的1000名学生成绩的平均数为71，中位数为71.3．（2）解：由频率分布直方图可知分数在和内的频率分别是和，则采用分层抽样的方法抽取的6人中，分数在内的有4人，记为，分数在内的有2人，记为．从这6人中随机抽取2人的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种．事件“成绩在的学生至少有1人被抽到”包含的基本事件有：，，，，，，，，，共9个，则由对立事件的概率公式知成绩在的学生至少有1人被抽到的概率为．16．某中学的高二（1）班有男同学45名、女同学15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选1名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3)实验结束后，第一次做实验的同学得到实验数据为68、70、71、72、74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69、70、70、72、74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．【答案】(1)；3男1女；(2)(3)平均数均为71，第一个学生方差4，第二个学生方差3.2，因此第二个同学更稳定【详解】（1）某同学被抽到的概率为，课外兴趣小组中男同学的人数为，课外兴趣小组中女同学的人数为.（2）把3名男同学和1名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有：，，，，，，，，，，，共12种，其中恰有一名女同学的有6种，所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为.（3），，因，所以第二位同学的实验更稳定.17．为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展了“航天知识”讲座，为了解讲座效果，从高一甲乙两班的学生中各随机抽取5名学生的测试成绩，这10名学生的测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．(1)若，分别为甲、乙两班抽取的成绩的平均分，，分别为甲、乙两班抽取的成绩的方差，则______，______．（填“>”或“<”）(2)若成绩在85分（含85分）以上为优秀，（ⅰ）从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，则恰有1人成绩优秀的概率；（ⅱ）从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，则甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率．【答案】(1)<，>；(2)（ⅰ）；（ⅱ）.【详解】（1）由茎叶图知，，，所以<；，，所以>.（2）（ⅰ）抽取的两名学生成绩分别为，把他们记为，从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，他们的成绩组成的不同结果：，共10个，恰有1人成绩优秀的事件有：，共6个，所以恰有1人成绩优秀的概率.（ⅱ）依题意，甲班成绩优秀学生有2人，成绩分别为，乙班成绩优秀学生有4人，成绩分别为，从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，按甲班的在前、乙班的在后写在括号内，不同结果有：，共8个，甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的事件有：，共5个，所以甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率.18．十三届全国人大四次会议表决通过了关于“十四五”规划和2035年远景目标纲要的决议，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该款芯片的性能以某项指标值为衡量标准，性能指标的等级划分如表：性能指标值k等级ABCDE为了解该款芯片的生产效益，该企业从试生产的产品中随机抽样并测量了每件产品的指标值，若以组距为5画频率分布直方图时，发现Y（设“”）满足：，，.(1)试确定n的所有取值，并求a；(2)从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品，求样本中A等级产品与B等级产品的件数.然后从这5件产品中一次性随机抽取2件产品，并求出2件都是A等级的概率.【答案】(1)n的取值集合为，(2)A等级产品的件数为4