（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练第七章 复数 全章重点题型大总结 精讲（解析版）

第七章全章总结(精讲）目录一、数学思想方法1、分类讨论思想2、数形结合思想3、方程思想二、重点题型精讲题型1：复数的概念题型2：复数相等问题题型3：复数分类题型4：复数的几何意义题型5：共轭复数题型6：复数的模题型7：复数的四则运算题型8：复数的综合运算一、数学思想方法1、分类讨论思想分类讨论思想是数学中一种重要的思想，也是一种重要的解题策略，尤其是对于含参问题.分类讨论是一种逻辑划分的思想方法，根据对象的相同点将对象区分为不同种类的逻辑方法，分类应满足不重不漏，即各个分区域之和是全集，且任何两个分区域均无公共部分.利用分类讨论思想解题的步骤：(1)确定讨论的对象；(2)确定讨论对象的取值范围；(3)划分区域；(4)解题时注意讨论的层次，避免重复讨论或讨论不全的现象；(5)把每个分区域讨论的结果整合起来得出结论这不仅仅表示分类讨论思想的主要过程，也是分类讨论思想的本质属性，数学思维应当注重过程的严谨性和周密性.该思想在本章中的很多知识中都有体现，常见的有：对复数分类的讨论、复数对应点的集合的讨论、一元二次方程根的讨论等.1．（多选）设为复数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或【答案】AD【详解】对于A，设，，则，，即，，A正确；对于B，令，，则，此时，B错误；对于C，令，，则，此时，C错误；对于D，设，，则，，即，则；若，则成立，此时；若，，由知：；由知：；此时；同理可知：当，时，；若，，由得：，，此时；综上所述：若，则或，D正确.故选：AD.2．已知复数满足，且为实数，则______．【答案】或或．【详解】设化简得解得或将代入可得，（1）当时，即则有，此时（2）当时，则，故有则有或综上所述故或或．故答案为：或或．3．已知方程（）的两个根是，若，则p的值为______．【答案】或【详解】当时，方程的两个根是实数根，则，又，则两个实数根为异号根，则，则，则，解之得，经检验符合题意；当时，方程的两个根是虚数根，令，则又，则，则，解之得，经检验符合题意综上，p的值为或故答案为：或4．已知集合，，求．【答案】【详解】因为，，又，，，，所以，当时，，即；当时，，即；当时，，即；当时，，即；综上：.5．已知复数．(1)若，求m的值；(2)若z是纯虚数，求的值．【答案】(1)(2)4或100（1）因为，所以，所以，所以或．①当时，，符合题意；②当时，，舍去．综上可知：．（2）因为z是纯虚数，所以，所以或,所以，或,所以或,所以或100．2、数形结合思想数形结合思想是一种重要的数学思想，也是一种常用的数学方法.数缺形时少直观，形少数时难入微，数与形是对立统一的，数量关系往往隐含着几何模型，几何问题又往往牵涉到数量关系，图形有形象直观的优点，往往能起到定性的作用，而在定量方面必须借助代数的计算分析，两者结合，取长补短能收到事半功倍的效果，在数学解题中数形结合具有极为独特的策略指导与调节作用.该思想在本章中的体现，常见的有：复数的几何意义、复数的模及其几何意义复数加减法的几何意义.涉及的主要问题有：复数在复平面内对应点的位置和集合、复数的运算及复数的模的最值问题它们的这种意义架起了联系复数与解析几何、平面几何的桥梁.1．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【详解】解：点到点与到点的距离之和为2．点的轨迹为线段．而表示为点到点的距离．数形结合，得最小距离为1所以|z＋i＋1|min＝1.故选：A2．如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则（

）A．1 B． C．3 D．5【答案】B【详解】由题意可得：，则，故.故选：B.3．如图，复平面上的点表示复数，则表示复数的点是______（选填复平面上的字母）【答案】H【详解】由图可知，，，对应点,故答案为：H4．如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，若，则复数___________.【答案】【详解】根据复数的几何意义可得，又，.故答案为：5．如图，已知复平面上的平行四边形OACB，O为坐标原点，点A、B分别对应的复数为、，M是OC、AB的交点，则点C，M分别对应的复数为______、______．【答案】

【详解】由题意，，，平行四边形OACB中，，故C分别对应的复数为，M为OC中点，则，故M分别对应的复数为.故答案为：；.3、方程思想在解决数学问题时，通过设元从未知转化为已知，构造方程或方程组，然后求解，完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想.方程思想是指通过分析数学问题中变量间的等量关系构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题.该思想在复数中的体现，常见的有复数相等的充要条件的应用以及复数方程的问题.1．已知是实数，设是虚数单位，若，则复数是A． B．C． D．【答案】C【详解】因为,所以,所以，所以.故选：C2．若为实数，，则______．【答案】【详解】，则，因为a为实数，所以．故答案为：3．若共轭复数x，y满足，则x，y共有______组解．【答案】4【详解】设，则，∵,∴,∴,∴,∴或或或∴共有4组解.故答案为：4.4．设方程中，为锐角，若实数是方程的一个根，求角和实数的值．【答案】，．【详解】因为实数是方程的一个根，所以，即，因为，，所以，解得，，因为为锐角，所以所以，5．复数，其中为虚数单位．(1)求及；(2)若，求实数，的值．【答案】(1)，(2)【详解】（1）∵，∴．（2）由（1）可知，由，得：，即，∴，解得6．若，则实数______，______．【答案】

【详解】因为，所以，则，解得，所以.故答案为：；.二、重点题型精讲题型1：复数的概念1．复数在复平面上对应的点不可能位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】根据题意可知，复数的实部，虚部.当时，，，故点可能在一、四象限；当时，，，故点在第三象限.综上，复数在复平面上对应的点不可能位于第二象限.故选：B.2．若复数为纯虚数，则实数x的值为（

）A． B．10 C．100 D．或10【答案】A【详解】为纯虚数，同时，故选：A3．下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数绝对值的性质类比得到复数z的性质；③已知a，，若，则，类比得已知，，若，则；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中推理结论正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，①正确由实数绝对值的性质类比得到复数的性质，这两个长度的求法不是通过类比得到的，例如复数，，，所以．故②不正确，对于③：已知，，若，例如，则，但是复数无大小关系，则不成立，故③错；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．故④正确．故结论正确的个数是2.故选：B.4．设z=i(2+i)，则=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i【答案】D【详解】，所以，选D．5．满足的复数为______．【答案】【详解】设因为,所以可得,可得,即得计算可得.所以故答案为:6．请写出一个同时满足①；②的复数z，z=______．【答案】【详解】设，由条件①可以得到，两边平方化简可得，故，；故答案为：题型2：复数相等问题1．若，则的值为（

）A． B．或 C． D．【答案】D【详解】解：即，故选：2．若以复数的实部的平方为实部，以的虚部的平方为虚部，所得的复数为，则_______．【答案】或或或【详解】设因为以复数的实部的平方为实部，以的虚部的平方为虚部，所得的复数为所以，即所以或或或故答案为：或或或3．已知i是虚数单位，若，则的值为____________．【答案】-3【详解】，所以a=-1,b=3,ab=-3故答案为：-34．设方程中，为锐角，若实数是方程的一个根，求角和实数的值．【答案】，．【详解】因为实数是方程的一个根，所以，即，因为，，所以，解得，，因为为锐角，所以所以，5．定义运算：，若复数满足，求xy的值．【答案】【详解】解：因为运算：，所以，即为，则，因为，所以，则.6．已知，，若，求实数的取值集合．【答案】【详解】因为，所以.因为，，所以当时，解得或；若，则有，，符合；若，则有，，不符合，应舍去；当，要使，只需：解得：，符合题意.所以实数的取值集合为.题型3：复数分类1．复数为纯虚数的充要条件是（

）A． B．且C．且 D．且【答案】D【详解】要使复数为纯虚数，则，若，则；若，则，所以且．故选：D．2．已知纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为（

）A．1 B．3 C．1或3 D．0【答案】B【详解】因为为纯虚数，故，则，解得.故选：B3．已知为虚数单位，若复数，则实数的值为__________．【答案】-2【详解】，由，所以复数为实数，则，，此时，满足.故答案为：-24．已知复数，若是纯虚数，则实数______．【答案】1【详解】解：因为复数，且是纯虚数，所以，解得，故答案为：15．若复数（，是虚数单位）为实数，则______．【答案】【详解】根据复数的除法运算得到：∵是实数，，得故答案为：．6．已知复数．当实数取什么值时，复数是：(1)虚数；(2)纯虚数．【答案】(1)且(2)【详解】（1）∵，∴，．当复数为虚数时，，且，故当实数且时，复数为虚数．（2）当复数为纯虚数时，，解得，故当时，复数为纯虚数．题型4：复数的几何意义1．在复平面内，复数对应的点分别是，则复数的虚部为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【详解】由题可知，则，所以复数的虚部为2．故选：A.2．在复平面内，复数z对应的点为，则（

）A．i B．－i C．2i D．－2i【答案】B【详解】因为复数z对应点的坐标为，所以，所以.故选：B.3．已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内复数对应的点在（

）A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限【答案】C【详解】复数满足，则，∴复数对应的点的坐标是，对应的点在第二象限.故选：C．4．在复平面内，复数对应的点的坐标是，且满足，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【详解】由得，又复数对应的点的坐标是，即，故选：A5．已知复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，,则,其对应点为,故选：D.6．已知复数，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】因为，则，在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．7．满足的复数为______．【答案】【详解】设因为,所以可得,可得,即得计算可得.所以故答案为:8．请写出一个同时满足①；②的复数z，z=______．【答案】【详解】设，由条件①可以得到，两边平方化简可得，故，；故答案为：题型5：共轭复数1．已知复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，,则,其对应点为,故选：D.2．已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】依题意，，则所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D3．若，，是的共轭复数，则（

）A． B．2 C． D．10【答案】C【详解】，所以，故选：C4．设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】复数，所以的共轭复数，所以在复平面内的共轭复数对应的点位于第四象限.故选：D.5．已知，且，其中，为实数，则（

）A．1 B．3 C． D．5【答案】C【详解】因为，所以，所以，所以由可得，解得，所以，故选：C6．设i是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】由题意得，即，故，其对应的点在第四象限，故选：D7．如果复数的实部与虚部互为相反数，那么______．【答案】4【详解】因为，又因为其实部与虚部互为相反数，即，解得故，所以故答案为:题型6：复数的模1．已知复数z满足，则|z|＝（

）A．1 B． C．2 D．2【答案】C【详解】解：由已知得，则，∴，故选：C．2．设复数满足，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【详解】由题意得，，即，所以，故选：D.3．已知复数满足，且，那么实数不可能取的值是（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【详解】令，则分别带入，中得当时，，或；当时，解得；综上：或或.故选：A4．设复数满足，的实部与虚部互为相反数，则___________.【答案】或0【详解】设，因为复数满足，的实部与虚部互为相反数，所以，解得或所以或所以或0故答案为：或05．请写出一个同时满足①；②的复数z，z=______．【答案】【详解】设，由条件①可以得到，两边平方化简可得，故，；故答案为：题型7：复数的四则运算1．在复平面内，复数对应的点分别是，则复数的虚部为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【详解】由题可知，则，所以复数的虚部为2．故选：A.2．已知，且，其中，为实数，则（

）A．1 B．3 C． D．5【答案】C【详解】因为，所以，所以，所以由可得，解得，所以，故选：C3．已知为虚数单位，若复数，则实数的值为__________．【答案】-2【详解】