课堂教学设计4-1 微分及其应用

课堂教学设计教师姓名课程名称授课时数2累计课时授课日期星期\节次授课班级课题单元4微分及其应用（4-1）知识目标理解函数微分的概念及其，以及微分与导数的关系技能目标熟悉微分几何意义态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用微分知识解决实际问题教学重点微分的概念教学难点微分的几何意义教学资源参考书《高等数学》——同济四版作业【同步训练】教学过程设计教学环节教学内容教学方法时间课堂引入明确教学目标、教学重点难点，熟悉教学方法讲授法5’引例探析【引例4-1】探析金属薄片受热变形时面积的改变量；【引例4-2】探析机械挂钟因热胀冷缩产生的钟表误差讨论式教学法15’概念认知1．微分的概念2．微分的几何意义3．微分与导数的关系启发式教学法55’同步训练【同步训练】练习法10’课堂小结对教学内容进行小结，对教学情况进行点评归纳点评5’课后小记课堂教学讲稿课堂教学讲稿单元4微分及其应用（4-1）【引例探析】【引例4-1】探析金属薄片受热变形时面积的改变量【问题描述】一块边长为x的正方形金属薄片受热变形，其边长由变到，如图4-1所示，试问此薄片的面积改变了多少？图4-1正方形金属薄片受热变形【问题求解】设正方形边长为时，面积为，则．当正方形边长由变到时，面积的改变量为上式中包含两部分：第一部分是的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和；第二部分当时是比高阶的无穷小，即，它在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积．当很小时，面积的改变量可近似地用第一部分来代替，而省略第二部分．根据上面的讨论，可以表示为，其中的第一部分叫做函数在点的微分，其中=（．【引例4-2】探析机械挂钟因热胀冷缩产生的钟表误差【问题描述】如图4-2所示的一只机械挂钟，其摆动周期为1s，摆长为l，如图4-3所示．在冬季，摆长因热胀冷缩而产生微小缩短，由于摆长缩短，该摆钟的周期会如何变化？【问题求解】单摆周期的计算公式T=，其中g=9.8m/s2．当摆长缩短∆l时，摆长变成l-∆l，此时单摆的周长T=．△T=T(l-∆l)-T(l)=-=()．由于已知摆动周期为1s，=1，解得摆的原长为l=所以△T=()．假设摆长缩短的长度为0.0001m，π取3.14159，那么△T=()≈0.31944×()≈0.31944×(3.12987-3.13050)=0.31944×(-0.0063)=-0.0002012472(s)．即摆长因热胀冷缩而产生微小缩短0.0001米时，挂钟的周期相应地会缩短约0.0002012472秒，所以这只摆钟每秒快了0.0002012472秒．【概念认知】1．微分的概念【定义4.1】：微分的定义形式1一般地，设函数在点的某一邻域内有定义．如果函数的增量可以表示为，其中不依赖，而是比高阶的无穷小，则称函数在点可微，且称为函数在点相应于自变量增量Δx的微分，记作，即．如果函数在点x处可导，那么称为函数在点x处的微分，简称为函数的微分，即A=，记作或．显然dx==，即dx=，自变量x的微分dx就是它的增量，因此，微分记号中可用dx代替，称为自变量的微分．即：或于是：【定义4.2】：微分的定义形式2设函数在点x=及其邻域内可导，则称为函数在点处的微分，记作．一般地，可导函数在任一点处的微分为，即函数的微分是函数的导数与自变量微分的乘积．【示例4.1】：求函数的微分．解：因为，所以．注意到当时，，这表明自变量的微分等于自变量的改变量，所以函数的微分又可记为．这说明函数的微分是函数的导数与自变量微分的乘积．【示例4.2】：求函数，当x=3，微分=0.01时的微分dy．解：因为dy==2x·，而当x=3,=0.01，所以dy=2×3×0.01=0.06．2．微分的几何意义设点和点是曲线上的两点，如图4-4所示．从图中可以看出：MQ=，QN=．即表示曲线上对应于点x=的函数增量．过点M作曲线的切线MT，设切线MT的倾斜角为，则MT的斜率为=．可见，QP=MQ=．因此，函数在点处的微分，在几何上表示曲线在点M处的切线MT的纵坐标的增量．图中PN是与dy之差，当||很小时，PN比||减少得更快，因此≈dy，切线段MP可近似代替曲线弧MN．3．微分与导数的关系由于函数的导数，即函数的导数等于函数的微分dy与自变量的微分dx之商，因此导数又称为“微商”．由于或，即函数的微分等函数的导数与自变量的微分之积．导数与微分是密切相关的，可导函数一定可微，可微函数也一定可导．下面讨论函数可微的条件．【定理4.1】：函数在点可微的充分必要条件是它在点可导．证：（1）先证必要性．设y=f(x)在点可微，那么按定义有,在等式两边除以Δx，得,因此，极限，该极限存在，即在点x可导，且．（2）再证充分性．设y=f(x)在点可导，即极限存在，由函数极限与无穷小的关系定理可得，其中是时的无穷小．因此．显然（当时），且不依赖，故在点可微．定理证毕．由定理的必要性证明可见，当在