高等数学实例教程 教案 课堂教学设计4 微分及其应用

课堂教学设计单元4微分及其应用（4-2）【知识疏理】4.1基本初等函数的微分公式与微分运算法则根据函数微分的表达式可知：函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分（改变量）．由此可以得到基本初等函数的微分公式和微分运算法则．1．基本初等函数的微分公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）2．函数的和、差、积、商的微分法则设函数u=u(x)，v=v(x)，则（1）；（2）；（3）；（4）．3．复合函数的微分法则设，均可微．如果函数对是可导的，则（1）当是自变量时，此时函数的微分为（2）当不是自变量，而是，为的可导函数时，则为的复合函数.根据复合函数求导公式，对的导数为于是但是就是函数的微分，即所以．由此可见，对函数来说，不论是自变量还是中间变量，它的微分形式同样都是，这就称为微分形式的不变性．【示例4.3】：求的微分．解法一：．解法二：．【示例4.4】：求的微分．解：．【示例4.5】：在下列等式左边的括号中填入适当的函数，使等式成立（1）；（2）．解：（1）由于，所以，于是（为任意常数）．（2）由于，所以，于是（为任意常数）．4.2微分在近似计算中的应用一般要求近似公式要有足够高的精度且计算简便，用微分来做近似计算则可以满足这些要求．（4-1）．（4-2）．（4-3）上式的意义是：在附过使用切线近似代替曲线y=f(x)．特别地，当（4-3）式中，很小时，则（4-3）式变为：（很小）．（4-4）【示例4.6】：证明以下的近似式：（1）；（2）；证：（1）令，，当x=0时，f(0)=1，=1，由，即．（2）令，，当x=0时，f(0)=0，=1，由，即．由（4-4）式易推出下面几个工程上常用的近似公式：（1）用弧度作单位），（2）（x用弧度作单位），（3），（4），（5），（6）arctanx≈x（x用弧度作单位）．【示例4.7】：计算的近似值．解：设，当很小时，利用公式，得取，，有=．【示例4.8】：计算的近似值．解：由近似公式，有．【示例4.9】：求外直径为，厚度为的球壳体积的近似值．解：设球体的直径为，体积为，则，利用公式，有，取，=-0.125，得=157.0795．即球壳体积的近似值为157.0795．【实例精讲】【实例4-1】求函数的微分【问题描述】（1）求函数y=ln3x的微分dy．（2）求y=sinx的微分dy．（3）求函数y=sin(2x+3)的微分dy．（4）求y=的微分dy．【问题求解】（1）因为==2xln3x+∙3=2xln3x+x．所以dy=dx=(2xln3x+x)dx．（2）因为==sinx+cosx=(sinx+cosx），所以dy=(sinx+cosx）dx．（3）dy=d[sin(2x+3)]=cos(2x+3)d(2x+3)=cos(2x+3)∙2dx=2cos(2x+3)dx．（4）dy=d()====dx【实例4-2】计算近似值【问题描述】（1）计算的近似值．（2）计算sin的近似值．（3）计算的近似值．（4）计算的近似值．【问题求解】（1）设f(x)=，=0,=0.002，，f()=f(0)==1，=1，由公式可得：≈1+1×0.002=1.002．（2）设f(x)=sinx，取==，=，，f()=f()=sin=，==．由公式可得：sin=sin(+)≈sin+cos·=+·=0.5000+0.0076=0.5076．（3）设f(x)=，取=1，x=1.02，，f()=f(1)=1，==，由公式可得：=≈1+×0.02≈1.0067．（4）=,由近似公式可得：=1+0.002=1.0004．教师姓名课程名称授课时数2累计课时授课日期星期\节次授课班级课题单元4微分及其应用（4-3）知识目标掌握微分应用的相关知识，理解微分的疑难问题技能目标灵活应用微分的相关知识解决实现问题态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用微分知识解决实际问题教学重点应用微分的相关知识解决实现问题教学难点应用微分的相关知识解决实现问题教学资源参考书《高等数学》——同济四版作业【应用拓展】教学过程设计教学环节教学内容教学方法时间课堂引入明确教学目标、教学重点难点，熟悉教学方法讲授法5’释疑解难【问题4-1】符号既表示导数的记号，也表示微分dy与dx之比？【问题4-2】可导函数一定可微，可微函数也一定可导吗？【问题4-3】微分形式具有不变性启发式教学法70’应用求解【日常应用】【应用4-1】求金属正方体受热后体积的改变量【经济应用】【应用4-2】估算产品收入增加量的近似值【电类应用】【应用4-3】求电路中负载功率改变时其两端电压的改变量【机类应用】【应用4-4】求机械摆钟因热胀冷缩产生的钟表误差启发式教学法同步训练【应用拓展】练习法10’课堂小结对教学内容进行小结，对教学情况进行点评归纳点评5’课后小记课堂教学讲稿课堂教学讲稿单元4微分及其应用（4-3）【释疑解难】【问题4-1】符号既表示导数的记号，也表示微分dy与dx之比？【问题4-2】可导函数一定可微，可微函数也一定可导吗？【问题4-3】微分形式具有不变性【应用求解】【日常应用】【应用4-1】求金属正方体受热后体积的改变量【问题描述】如图4-5所的金属正方体的边长为2cm，当金属受热边长增加0.01cm时，体积的微分是多少？体积的改变量又是多少？图4-5金属正方体的外观【问题求解】正方体体积的函数为V(x)=，体积的微分为：dV=(=dx=∆x，将x=2，∆x=0.01代入上式，得在x=2，∆x=0.01处的微分为：dV==0.12（），即正方体体积的微分为0.12．当x=2，∆x=0.01时正方体体积的改变量为：∆V==8.120601-8=0.120601（）．由此可见，当边长和边长的增量相同时，正方体体积的微分与正方体体积的改变量近拟相等．【经济应用】【应用4-2】估算产品收入增加量的近似值【问题描述】某公司生产一种新型产品，若能全部出售，收入函数为R=36x-，其中x为公司产品的日产量．如果公司的日产量从300增加到310，请估算公司每天收入的增加量．【问题求解】因为收入函数为R=36x-，所有=36-．当公司每天的产量从300增加到310时，公司每天产量的增加量为=10．用dR估算每天的收入增加量为：=(36-)=(36-)×10=360-300=60（元）．即公司每天收入的增加量约为60元．【电类应用】【应用4-3】求电路中负载功率改变时其两端电压的改变量【问题描述】如图4-6所示，设有一电阻负载R=25，现负载功率P从400W增加到401W，求负载两端电压u的改变量的近似值．图4-6电路中负载【问题求解】由电学知识可知，负载功率P=，即u=，所以du=，所以电压u的改变量为：==×1=0.125（V）．【机类应用】【应用4-4】求机械摆钟因热胀冷缩产生的钟表误差【问题描述】如图4-2所示的一只机械挂钟，其摆动周期为1s，摆长为l，如图4-3所示．在冬季，摆长因热胀冷缩而缩短了0.01cm，已知单摆的周期为T=，其中g=9.8m/,由于摆长缩短，试问这只摆钟每秒大约变化