专题01有理数（期中复习讲义）（原卷版）七年级数学上学期浙教版

专题01有理数（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律正负数的意义能准确判断正负数在实际情境中的意义.基础必考点，常出现在小题有理数的分类能根据有理数的概念区分有理数的分类.高频易错点，在对数字进行分类时忽略不循环小数和π.数轴可以在数轴上表示有理数，并且能够利用数轴表示两点距离，同时能够解决动点问题.期中必考点，各题型均有可能出现;用数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离表示和数轴比较大小是常考点;而数轴的动点问题则是作为压轴题来进行考查.相反数重点掌握相反数的概念和性质，互为相反数的两个数和为0.期中常考点，一般会和其他知识点混合一起考查，难度不大.绝对值能根据绝对值的概念与性质求解期中必考点，基础题型和中等难度题型均可能出现;同时也会和数轴一起作为压轴题进行考查.有理数的大小比较能用不同的方法进行有理数的大小比较基础必考点，一般在解答题中会有一道题与数轴一起考查有理数的大小比较.知识点01自然数、分数、小数的意义★1、自然数的作用：（1）计数，计量人或物的数量；（2）测量，如长度、高度、质量等；（3）标号，人为的编号，如车次、学号、门牌号等；（4）排序，如年份、月份、名次等.★2、分数、小数的关系：（1）分数可以看做两个整数相除，因此分数都可以化为小数（有限小数或无限循环小数）；（2）有限小数、无限循环小数和百分数都可以转化为分数.知识点02具有相反意义的量★1、具有相反意义的量包含两层含义：（1）具有相反意义；（2）具有数量．★2、用正负数表示具有相反意义的量为了更好的区分这些具有相反意义的量，通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示．知识点03正负数的概念★1、正数和负数的概念：像1，2，3，1.8％这样大于0的数叫做正数.像3，1，2，2.7％这样在正数前面加上符号“”(负)的数叫做负数.【注意】判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“+”号的数就是正数，带“”号的数就是负数，如我们以后会学到−(−4)就不是负数，而+(−5)也不是正数．★2、数0的意义：（1）0既不是正数也不是负数；（2）0是正数与负数的分界.（3）0不仅表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如0℃可以表示实际温度为冰点时的计量结果.知识点04有理数的分类★1、整数：正整数、负整数、零统称为整数．★2、分数：正分数、负分数统称为分数．★3、有理数：整数和分数统称为有理数.有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；无限不循环小数（如π）不是分数，就不是有理数.拓展：任何一个有理数都可以写成（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数．★4、部分常用的数：（1）正整数：例如：1，2，3，…；负整数：例如：－1，－2，－3，…；（2）正分数：例如：23，212，3.14，…（3）非负数：正数和0；非正数：负数和0；（4）非负整数：正整数和0；非正整数：负整数和0；【注意】引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数.①按整数、分数的关系分类：有理数整数正整数②按正数、负数与0的关系分类：有理数正有理数正整数【注意】：①分类的标准不同，结果也不同；②分类的结果应无遗漏、无重复；③0是整数，但0既不是正数，也不是负数.知识点05数轴★1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.★2、画数轴的步骤：（1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数0，这个点叫做原点；（2）标正方向：通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向；（3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示1，2，3，···.★3、画数轴的注意事项：(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；(2)直线一般是水平的；(3)正方向用箭头表示，一般取从左到右；(4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀.知识点06数轴上的点与有理数的关系1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数.2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0是正、负数的分界线.3、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数﹣a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度．知识点07相反数★1、相反数的定义：像2和﹣2，3和﹣3这样只有符号不同的两个数叫做相反数.（代数意义）一般地，a和a互为相反数.★2、相反数的几何意义：（1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧(0除外)；（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等；（3）一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示数﹣a和a，我们说这两点关于原点对称.★3、相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数.★4、求一个相反数的方法：求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数.求一个字母或一个式子相反数时，只需在这个字母或这个式子的前面加上“﹣”号.知识点08多重符号的化简★1、多重符号化简的依据：相反数的定义是多重符号化简的依据．例如：﹣（﹣5）表示﹣5的相反数，所以﹣（﹣5）=5.★2、多重符号的化简化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.简称“奇负偶正”.知识点09绝对值★1、绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，如3和﹣3的绝对值都等于3，0的绝对值等于0.★2、表示方法：如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”.【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数a的绝对值|a|为非负数，即|a|≥0.★3、绝对值的性质：（1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.【拓展】（1）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.（2）几个非负式的和为0，则这几个式子都为0.（3）若两个数的绝对值相等,则这两个数相等或互为相反数，即若|x|=|y|，则x=y或x=﹣y.（4）当|a|=a时，a是正数或0；当|a|=﹣a时，a是负数或0.知识点10利用数轴比较有理数的大小◆在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.知识点11利用法则比较有理数的大小◆1、比较有理数大小的法则：符号法则正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数．同号两数比较大小的法则两个正数比较大小，绝对值大的数大．两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．◆2、两个负数比较大小的步骤：（1）分别求出两个负数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行判断.题型一正负数的概念解｜题｜技｜巧在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．【典例1】在-112，-1.2，-2，+A．0 B．1 C．2 D．3【变式1】（2526六年级上·全国·课后作业）下列语句中错误的有（）个．①不带“-”号的数都是正数；②如果a是正数，那么-a一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0℃A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（

）A．-7 B．-3.6 C．1 D【变式2】（2425七年级上·全国·课后作业）下列各数中是正数的是，是负数的是，既不是正数也不是负数的是．+3,6,11,-3,14,0,-2题型二用正负数表示具有相反意义的量解｜题｜技｜巧用正负数表示两种具有相反意义的量．通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示．【典例1】（2425九年级下·江苏南通·阶段练习）《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果收入1000元记作+1000元，那么支出600元应记为（

）A．-600元 B．+1600元 C．+600元 D．-【变式1】（2526九年级上·广西南宁·开学考试）我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”如果收入300元记作+300元，那么-90元表示（

A．支出90元 B．收入90元 C．支出300元 D．收入300元【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）我国古数学经典著作《九章算术》中“方程术”最早引入“负数”，用正、负数表示相反意义的量．若跳远测试以2米为基准，跳2.1米记作+0.1米，那么跳1.7米应记作【变式3】（2425七年级上·全国·课后作业）在下列横线上填上适当的词，使其前后意义相反．（1）向东走3米和走3米；（2）某地某天最高气温是零上12℃，最低气温是2℃；（3）飞机下降0.6千米和1千米；（4）弹簧伸长2cm和3题型三运用正负数表示误差范围解｜题｜技｜巧用正负数表示误差范围，首先根据a±b的实际意义，确定了最大值和最小值的结果，从而求出物体允许的误差范围；再将数据与这个误差范围比较，若在这个范围内，则为合格，反之为不合格.【典例1】（2425七年级上·江西宜春·阶段练习）学校商超的花园牛奶包装上，标注有净含量：250±5ml，那么下列选项中，哪个实际净含量是合格的（

A．248.9mL B．244.3mL C．256mL D．239mL【典例2】（2025·广东梅州·一模）某种药品的说明书上标明保存温度是20±2℃A．20℃∼22℃ B．18℃∼22℃ C．18℃∼21℃ D．18℃∼20℃【变式1】隆回县羊古坳镇雷锋村超级杂交水稻的种植按照袁隆平院士指导的“良种、良法、良田、良态”四良法则进行研究和示范．该大米包装袋上的标识5±0.1kg表示此袋大米重（

A．4.9~5.1kg B．5.1kg C．4.9kg【变式2】某疫苗说明书上标明疫苗保存的温度是3±1℃，设该疫苗合适的保存温度为x℃，则x的取值范围是题型四有理数的概念解｜题｜技｜巧整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；【典例1】（2425七年级上·天津东丽·期末）下列7个数：14,1.010010001,-43,0,-2π,-3.141441444…（每两个1之间依次多一个A．3 B．4 C．5 D．6【变式1】（2425七年级下·黑龙江·阶段练习）在实数5，有理数有（）个A．2 B．4 C．3 D．5【变式2】（2324七年级上·湖北荆门·期中）在-14、0.628、-3.14150、0.5、-2π7A．8个 B．9个 C．10个 D．7个题型五有理数的分类解｜题｜技｜巧有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0和负无理数.注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．【典例1】下列说法正确的是（

）A．一个有理数不是正数就是负数B．一个有理数不是整数就是分数C．有理数可分整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类D．以上说法都正确【典例2】（2425七年级上·全国·课后作业）把下列各数填入表示它们所在的数集的大括号里：-18，227，3.1416，0，2023，-35，正数集｛

…｝；负数集｛

…｝；整数集｛

…｝；有理数集｛

…｝．【变式1】（2425七年级下·重庆永川·阶段练习）下列各数：5，-56，0.56，-22.5，229，+3，-0.2A．2个 B．5个 C．4个 D．3个【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合中：15，-12，0.81，-3，227，-3.1，-4，171，0正数集合{

⋯⋯负分数集合{

⋯⋯非负整数集合{

⋯⋯有理数集合{

⋯⋯题型六数轴及其画法解｜题｜技｜巧规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可.【典例1】（2425七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（

）A．数轴是一条直线B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边C．在数轴上表示2和-2D．数轴上一定取向右的方向为正方向【典例2】（2425七年级上·广东肇庆·阶段练习）下列数轴画得正确的是（

）【变式1】（2526七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列说法正确的是（

）A．数轴由原点、单位长度和正方向组成 B．数轴上的一个点只能表示一个数C．数轴上的点只能表示整数 D．数轴只含有正数部分和负数部分【变式2】（2526七年级上·广东揭阳·阶段练习）在数轴上，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-3，那么点B表示的数是（

A．﹣1 B．2 C．0 D．1题型七数轴上两点间的距离解｜题｜技｜巧求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解.【典例1】在数轴上表示数﹣1和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【变式1】在数轴上表示3的点与表示﹣4的点之间的距离是（）A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣4【变式2】如图，在数轴上有A、B、C这三个点．回答：（1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？A：；B：；C：．（2）A、B两点间的距离是，A、C两点间的距离是．（3）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？题型八利用数轴解决实际问题解｜题｜技｜巧数形结合解决实际问题，有理数和数轴上的点的关系是数形结合的体现，数轴能直观的反映出点与点之间的关系.【典例1】（2024•裕华区校级二模）如图，数轴上点A表示向东走了8m，则点B表示（）A．向东走8m B．向南走8m C．向西走8m D．向北走8m【变式1】数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发向右爬了2个单位长度到了原点，则点A所表示的数是．【变式2】如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是.【变式3】一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第2022次落下时，落点处表示的数为（）A.2022B．2022C．1011D．1011题型九绝对值解｜题｜技｜巧一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”.【典例1】（2526七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上到原点的距离等于5的点表示的有理数是（

）A．5 B．-5 C．5或-5【变式1】（2526七年级上·湖北武汉·阶段练习）绝对值不大于3的整数有（）个A．7 B．5 C．4 D．3【变式2】对于任何有理数a，下列一定为负数的是（

）A．--3+a B．-a C．题型十相反数解｜题｜技｜巧只有符号不同的两个数叫做互为相反数，一般地，a和a互为相反数.【典例1】（2324七年级上·山西临汾·期中）-1A．-6 B．6 C．-16【典例2】（2425七年级上·江苏南通·阶段练习）下列两个数中，互为相反数的是（

）A．+(-4)和-(-4)B．-2和-12 C．+3和-(-3)【变式1】（2425七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上点M所表示的相反数是（

）A．1.5 B．-1.5 C．-1 D【变式2】（2425七年级上·全国·课后作业）7的相反数是，-32的相反数是，0.2与题型十一多重符号的化简解｜题｜技｜巧多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．【典例1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列化简，正确的是（）A．-+-10C．--+3=-3【变式1】（2526七年级上·全国·课前预习）（1）--3=；（2）（3）-+3=；（4）-【变式2】（2526七年级上·全国·课后作业）解决下列问题：(1)若x=-6，求-(2)已知---y(3)若----题型十二有理数的大小比较解｜题｜技｜巧1、直接根据符号法则来比较，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数．2、利用数轴比较有理数大小的步骤：（1）画数轴并描点；（2）定顺序：确定各点在数轴上的左右顺序；（3）判大小：根据右边的数总比左边的数大确定大小.3、两个正数比较大小，绝对值大的数大．两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．【典例1】在-1，-2，-3A．-3 B．0 C．-2 D【典例2】实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试比较下列各组数的大小：（填“＞，＜，≥，≤，＝”符号）则：|﹣a||b|；﹣ac；c﹣b|b|．【变式1】（2024•丛台区校级二模）在﹣5，-12，0，3这四个数中，比﹣A．0 B．-12 C．﹣5 D【变式2】（2526七年级上·湖北武汉·阶段练习）比较下列各组数的大小，正确的是（

）A．+(-4)<-(+5)B．-(-1)<-(+3)C．-827>-29【变式3】比较下列各组数的大小：（1）﹣（-16）与﹣|-（2）﹣（﹣|﹣3.4|）与﹣（+|3.4|）．题型十三绝对值的非负性解｜题｜技｜巧1、数a的绝对值|a|为非负数，即|a|≥0.2、几个非负式的和为0，则这几个式子都为0.【典例1】|a-3|+|A．3 B．-2 C．-3 D【变式1】（2425七年级上·全国·阶段练习）若a为有理数，则下列说法正确的是（

）A．a+1的值是正数 B．-C．a+1的值是正数 D．-a【变式2】若有理数a，b满足|a﹣20|+|b+19|＝0，则|a|﹣|b|＝．【变式3】已知|x﹣2|+|y+3|＝0．（1）求x，y的值；（2）求2|x|﹣|y|的值．题型十四利用绝对值解决实际问题解｜题｜技｜巧本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意义，可知一个数的绝对值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标准直径的尺寸偏差越小.【典例1】有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（）A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1【变式1】太康肘子是河南特色传统名菜之一，被称为“中原第一肘”．若每包标准质量为1000g，实际质量与标准质量相比，超出部分记为正数，不足部分记为负数，下面4个包装中最接近标准质量的是（）A．B． C． D．【变式2】小明同学在一条南北走向的公路上晨练，跑步情况记录如下：（向北为正，单位：m）：500，﹣400，﹣700，800，小明同学跑步的总路程为（）A．800m B．200m C．2400m D．﹣200m【变式3】世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数).一号球二号球三号球四号球五号球六号球－0.50.10.20－0.08－0.15(1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明．(2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由．题型十五绝对值的几何意义解｜题｜技｜巧绝对值是一个数与零的距离，无论这个数是正数还是负数，其绝对值都是非负数。绝对值的几何意义可以推而广之，表示两点之间的距离，并不一定强调与原点的距离。例如：|xa|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离.【典例1】同学们都知道，|5﹣2|表示5与2之差的绝对值，|5﹣2|也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：（1）|﹣5﹣2|＝，这个算式利用数轴可理解为；（2）求使|x+5|＝7成立的所有整数；（3）如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且AB＝BC＝CD，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？【变式1】（2526七年级上·全国·课后作业）根据x是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题：(1)当x=_____时，x-2025(2)当x=_____时，2025-x-【变式2】（2526七年级上·全国·阶段练习）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如3-1表示3、1在数轴上对应的两点之间的距离；3+1=3--1所以对应的两点之间的距离；3=3-0，所以3表示3两点对应的数分别为a、b，且A、B两点之间的距离可以表示为AB，则(1)求3--2=________；若x+2(2)x-1+x+3的最小值是________；当x=期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．若悉尼时间比北京时间早2小时，记为+2时．则巴黎时间比北京时间晚7小时，应记为（

）时．A．+9 B．-9 C．+7 D．2．家乐福出售的面粉袋上标有质量为25±0.4kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（

A．0.4kg B．0.5kg C．0.6kg3．下列表示-5的“相反数”的是（

A．-+5 B．-++5 C．-4．下列各有理数：-45，1，8.6，-7，0，56，-423，+101A．只有1，-7，+101，-9是整数 B．只有-45，C．非负数有1，8.6，+101，0 D．其中有三个数是正整数5．如图所示，在数轴上，叶片遮挡住的点表示的数可能是（）A．-1.5 B．0 C．1 D．6．如图，数轴上每相邻两刻度之间的距离为1个单位长度，若点A，C表示的数互为相反数，则点B表示的数是（

）A．-1 B．0 C．1 D．7．一种黄油手撕面包包装袋上有这样的标记：100±3g，妈妈买回6袋面包依次进行称重，和标准质量比较分别记录为：+0.1g、-5g、0g、-1.3g、+28．下列各数中：722，-3，0，-1.2，900%，π，2.3，0.2020020002…（每相邻两个2之间0的个数逐次加期中重难突破练（测试时间：10分钟）9．在数轴上与-6的距离等于4的点表示的数为（

A．-10 B．2或-10 C．-2或-10．有下列说法：①若m=n，则|m|=|n|；②若m=-n，则|m|=|n|；③若|m|=|n|，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．一个数在数轴上所对应的点向右移动8个单位长度后，得到它的相反数，则这个数是．12．点A，点B在数轴上表示的数分别为-3和5，点C是数轴上一点，若BC=2AC，则点C13．把下列各数填在相应的集合里∶3，-1，+8.5，0，