第二章实数（举一反三讲义）数学北师大版2024八年级上册（原卷版）

第二章实数（举一反三讲义）全章题型归纳 【北师大版2024】TOC\o"13"\h\u【培优篇】 5【题型1直接求平方根、立方根】 5【题型2利用求平方根、立方根解方程】 5【题型3由平方根、立方根求值】 6【题型4实数的运算】 6【题型5无理数的估算】 7【题型6二次根式的概念及其有意义的条件】 8【题型7利用二次根式的性质化简】 8【题型8最简二次根式】 8【题型9求二次根式中的参数值】 9【题型10二次根式的运算或化简求值】 9【拔尖篇】 9【题型11二次根式的双重非负性】 9【题型12实数的大小比较】 10【题型13求整数部分和小数部分】 10【题型14实数与数轴综合运用】 11【题型15实数运算的应用】 11【题型16复合二次根式的化简】 12【题型17利用分母有理化求值】 13【题型18二次根式的规律探究】 14【题型19二次根式的新定义】 15【题型20二次根式的实际应用】 16知识点1算术平方根和平方根的区别与联系算术平方根平方根区别定义一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根一般地，如果一个数χ的平方等于a,即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）个数一个正数只有一个算术平方根一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根表示方法正数a的算术平方根为a正数a的平方根表示为±取值范围a具有双重非负性，即a≥0，a的平方根可正可负，也可为0二者联系联系平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个关于00的算术平方根和平方根都是0知识点2开平方1.定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数.2.开平方和平方根的区别与联系（1)开平方时，被开方数a必须是非负数.（2)平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程.（3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.知识点3a²与a2的性质形式性质示例aa2=a=62=6(−6)2aa2=a（62知识点4立方根和平方根的不同点和相同点立方根平方根区别定义一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个正数x就叫做a一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）个数每一个数a有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根表示方法3±a取值范围任意数a相同点关于00的平方根是0，0的立方根是0知识点5开立方1.求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数.2.开平方和开立方的区别开平方开立方运算符号±3被开方数非负数任意数个数0的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根任意数的立方根都只有一个知识点6无理数无限不循环小数叫做无理数．无理数的常见形式有以下几种：（1）开方开不尽的数的相应方根是无理数，如2，35（2）圆周率π及一些含有π的数,如2π，π2（3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.1010010001…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式．知识点7实数的概念及分类1.概念：有理数和无理数统称为实数．2.分类：实数有两种分类标准：（1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数．实数实数有理数0无理数正有理数负有理数正无理数负无理数有限小数或循环小数无限不循环小数正整数正分数负整数负分数（2）正整数正分数正整数正分数负整数负分数实数正实数负实数正有理数正无理数负有理数负无理数0知识点8实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应.知识点9实数范围内的有关概念名称性质举例相反数若a与b互为相反数，则a3的相反数是−倒数若a与b互为倒数，则a2的倒数是1绝对值任何实数的绝对值都是非负数，即aa互为相反数的两个数的绝对值相等，即a2知识点10实数的运算在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算．有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的．知识点11实数的大小比较有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用．两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大；两个负实数，绝对值大的负实数小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．此外，比较两实数的大小还有如下方法：（1）通过比较两实数的平方的大小，进而确定实数的大小关系．如比较10与3的大小，由于(10)2=10（2）用估算的方法求出无理数的近似值后，再比较两数的大小．（3）当两个带根号的无理数比较大小时，可应用如下结论：①a>②a>【培优篇】【题型1直接求平方根、立方根】【例1】（2425七年级下·山东济宁·期末）下列说法中错误的是（

）A．5是5的算术平方根 B．0的平方根和立方根都是0C．9的平方根是±3 D．−3是−32【变式11】（2425七年级下·贵州黔东南·阶段练习）−827的立方根是；4的算术平方根是【变式12】（2425七年级下·全国·假期作业）（1）填表：a0.0000010.001110003（2）根据你发现的规律填空：①33=1.442，则33000②已知3343=7，则【变式13】若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则a2−b【题型2利用求平方根、立方根解方程】【例2】（2526九年级上·全国·课后作业）对于实数a,b，定义一种运算“⊕”：a⊕b=a2−2b．关于x的方程x+1⊕8=0【变式21】（2425七年级下·湖南长沙·阶段练习）求下列各式中的x．(1)x2(2)x+13【变式22】（2425七年级下·河南驻马店·期末）满足方程2x−12−16=9的x的值为【变式23】（2425七年级下·天津·期中）求下列方程中x的值：(1)2x(2)13(3)2−x3(4)64【题型3由平方根、立方根求值】【例3】（2425七年级下·山东日照·阶段练习）已知a−6与a+2b互为相反数，c+5的立方根是2，则a−2b−c的平方根为．【变式31】已知x的两个平方根是a+3与2a−15，且2b−1的算术平方根是3．(1)求a,b,x的值；(2)求a+b−1的立方根．【变式32】（2425七年级下·广西崇左·阶段练习）已知3a+1的两个平方根分别是7−m和2−2m，9+b的立方根是2．(1)求m，a，b的值；(2)求7a−b的平方根．【变式33】（2425七年级下·江西新余·期末）已知2a+1的平方根是±3.3a+2b−4的立方根是−2，(1)求a和b的值；(2)求3a+b的平方根【题型4实数的运算】【例4】（2425七年级下·四川绵阳·期中）将1，2，3，6按如图方式排列，若规定m,n表示第m排从左向右第n个数，则5,4与12,4表示的两数之差是.【变式41】（2025八年级上·全国·专题练习）计算：16−【变式42】（2425八年级上·湖南邵阳·期末）规定：m表示不超过m的最大整数，m表示m的小数部分，m+m=m，其中m为实数．例如3.14=3，3.14=0.14，【变式43】（2425七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图：例如：当输入x的值为−1时，计算结果3<4；将输入值变为−1+1＝0，计算结果为请思考下列问题．(1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算．(2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y．【题型5无理数的估算】【例5】（2425七年级下·福建龙岩·期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，BCAB的值接近比5−12A．0<5−12C．12<5【变式51】（2425八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知432=1849，442=1936，452=2025，462=2116．若A．43 B．44 C．45 D．46【变式52】（2425九年级上·江苏淮安·期中）若a<23<b，且a、b为连续正整数，则a+b【变式53】（2425七年级下·河北唐山·期末）已知k<17−1，且k为正整数，则k的值可以是【题型6二次根式的概念及其有意义的条件】【例6】（2425八年级下·山东德州·阶段练习）已知3x−6+6−3x+y=2025A．20253 B．20252 C．2024【变式61】（2425八年级下·广东东莞·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（）A．−2 B．33 C．5 D．【变式62】（2425八年级下·湖南岳阳·开学考试）已知：y=x−4+4−x3【变式63】（2425八年级下·湖南岳阳·开学考试）若x、y为实数，且满足24−x+y=x−4，则【题型7利用二次根式的性质化简】【例7】（2425八年级下·福建龙岩·阶段练习）把分式a−1a，根号外的字母aA．a B．−a C．−a D．【变式71】（2425九年级上·四川乐山·阶段练习）若xy>0，则−x2yA．x−y B．−xy C．−xy 【变式72】若m<0，则把式子mxA．−m2x B．−m2x【变式73】若1575n是整数，写出一个正整数n的可能值．【题型8最简二次根式】【例8】（2425八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知x2+1是最简二次根式，且与5可以合并，则x的值为（A．2 B．−4 C．4 D．±2【变式81】（2425八年级上·上海黄浦·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A．18 B．63aC．a2−2a+4 【变式82】将式子35−a（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与8合并．写出一个符合条件a的值．【变式83】已知A=22x+1，B=3x+3，C=10x+3y，其中A，B为最简二次根式，且A+B=C，则2y−x【题型9求二次根式中的参数值】【例9】若2−72=a−b7，其中a，【变式91】二次根式2b+1与a−1的和为0，则a+b的值为．【变式92】（2025九年级下·河北·专题练习）若m2=22，则整数m【变式93】已知10−n是整数，则正整数n所有可能值共有个，它们的和为．【题型10二次根式的运算或化简求值】【例10】已知x=2+1，(1)x2(2)xy【变式101】计算：(1)3+3(2)45÷(3)18÷(4)3+3【变式102】（2425八年级上·四川达州·阶段练习）已知x=2−3，求代数式7+【变式103】已知x+y=−5，xy=4，求xy【拔尖篇】【题型11二次根式的双重非负性】【例11】（2425七年级下·湖北恩施·阶段练习）已知a，b为实数，且b=a−8−8−a+25，则A．10 B．9 C．8 D．7【变式111】（2526八年级上·全国·随堂练习）若a+a−3=3，求【变式112】（2425七年级下·贵州贵阳·期中）已知a−3+3+b=0，则aA．1 B．−1 C．2 D．−2【变式113】（2025八年级下·湖北·专题练习）已知非零实数a，b满足2a−4+b+2+a−4【题型12实数的大小比较】【例12】（2425七年级下·天津滨海新·期中）比较大小：113；−5−2；5+1232．（填“>”、“【变式121】（2425七年级下·山东德州·期中）若a=37，b=5，c=2，则a，b，cA．b≤c<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c【变式122】（2526八年级上·全国·随堂练习）比较65−2与10【变式123】（2526八年级上·全国·随堂练习）比较下列各组数的大小：(1)12与10(2)6−1【题型13求整数部分和小数部分】【例13】（2425八年级上·河南新乡·阶段练习）若3的整数部分为a，小数部分为b，4−3的整数部分为c，小数部分为d，则b+dac的值为（A．12 B．14 C．3−12【变式131】（2425七年级下·广东广州·期中）若6+5的整数部分是m，小数部分是n，则n−m为（

A．5−10 B．10−5 C．5−6【变式132】（2425八年级上·湖南邵阳·期末）规定：m表示不超过m的最大整数，m表示m的小数部分，m+m=m，其中m为实数．例如3.14=3，3.14=0.14，【变式133】（2425七年级下·广东江门·阶段练习）已知实数8+13的整数部分为a，小数部分是m；实数9−13的整数部分为b，小数部分是(1)直接写出a，m，b，n的值；(2)求12m+12n+a+b(3)求3m+n【题型14实数与数轴综合运用】【例14】（2425七年级下·河北秦皇岛·期末）《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即c=a2+b2（a为“勾”，b为“股”，cA．A点 B．B点 C．C点 D．D点【变式141】（2425七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为−1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD=AE，则点E所表示的数为．【变式142】（2425八年级下·黑龙江牡丹江·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：a+1−b−1

【变式143】（2425七年级下·湖南常德·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把2表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1，以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2，以点【题型15实数运算的应用】【例15】（2425七年级下·湖南长沙·阶段练习）王师傅有一个体积为200cm(1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为8cm(2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为8cm【变式151】（2425七年级上·浙江·期中）如图，一个底面半径为3cm的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为16cm；倒放时，空余部分的高度为4cm．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（π取3，容器的厚度不计）．(1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？(2)正方体容器的棱长是多少厘米？【变式152】五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为元．【变式153】某小区准备开发一块长为32m，宽为21(1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．则这块草地的面积为_____m(2)方案二：修建一个长是宽的1.5倍，面积为384m2的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在23m到30m之间，宽在【题型16复合二次根式的化简】【例16】观察下列各式：5+268+27=(1+7)+21×7=【变式161】（2425九年级下·山东滨州·开学考试）2−3+4−2A．23−3 B．23−1【变式162】设a为−13+5−3−A．75 B．22 C．2−1【变式163】（2425八年级上·浙江温州·期末）化简23−610+43−22A．3+2 B．3−22 C．3+22【题型17利用分母有理化求值】【例17】（2425八年级上·四川成都·期中）阅读下面计算过程：121315试求：(1)17+6(2)求11+(3)若a=15−2【变式171】通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化．如12(1)将下列二次根式分母理化：2−312=(2)甲、乙两人化简x−yx甲：x−y乙：x−y请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（）A．甲对乙错

B．甲错乙对

C．甲、乙全对

D．甲、乙全错(3)已知有理数a、b满足a2+1+b2【变式172】（2425八年级上·河北保定·期中）【阅读材料】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如35，23，23+1这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：35【解决问题】(1)仿照上面的解题过程，化简：17(2)计算：12(3)已知a=13+2，【变式173】（2425八年级上·重庆·期中）例如：2+1①若a是3的小数部分，则3a的值为3②比较大小：2024−③变形：13④计算23+⑤已知a=m+1−mm+1+m，b=m+1以上结论正确的是（

）A．①③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤【题型18二次根式的规律探究】【例18】化简：18+11+1A．1 B．223 C．22【变式181】（2425九年级下·山东烟台·期末）观察下列等式：①3+22=2+12；②5+2【变式182】通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：1+13=3+13=4×13A．2024 B．20252 C．2023 D．【变式183】（2425八年级下·山东德州·