专题05圆（期中复习讲义）（原卷版）九年级数学上学期浙教版

专题05圆（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律圆的基本概念掌握圆的定义（定点为圆心、定长为半径）及相关概念（弧、弦、圆心角、直径），学会识别优弧、劣弧与弦的对应关系。基础题，多以选择/填空形式考查，难度低，易因混淆优弧（标注3个字母）与劣弧（标注2个字母）出错。点与圆的位置关系掌握点在圆内、圆上、圆外的判定依据，学会根据d与r判断位置关系。基础题，选择/填空为主，常结合距离计算考查，易因d与r的大小比较失误（如漏看等号）出错。三角形的外心掌握三角形外心的定义及性质，学会找任意三角形的外心。中档题，选择/填空为主，易与三角形内心（角平分线交点）混淆，或忽略“钝角三角形外心在外部”的特征。旋转图形旋转现象判断掌握旋转的定义，学会判断生活场景或图形中的旋转现象，区分旋转与平移、轴对称。基础题，选择/填空为主，难度低，易因未抓住“绕定点旋转”的核心（如误将平移当旋转）出错。旋转中心、旋转角掌握旋转中心、旋转角（对应点与旋转中心连线的夹角）的定义，学会从旋转图形中找出旋转中心和旋转角。中档题，常结合具体图形考查，选择/填空/解答题小问均有涉及，易找错旋转中心（如误将图形顶点当中心）。平面直角坐标系上图形的旋转掌握坐标系中图形旋转的坐标变化规律，学会计算旋转后点的坐标。高频中档题，选择/填空/解答题小问均有，易记错旋转方向对应的坐标变化（如顺时针与逆时针旋转90°的坐标符号差异）。旋转的规律探究掌握旋转图形的不变性（边长、角度不变）与变化规律（对应点连线夹角等于旋转角），学会探究旋转中的循环或递推规律。中档偏难题，填空/解答题为主，常考“旋转多次后图形位置”“线段长度规律”，易因未发现循环周期（如旋转3次重合）出错。利用旋转的性质求解掌握旋转的性质（对应边相等、对应角相等、旋转角相等），学会运用性质求线段长度、角度或证明线段/角相等。高频中档题，解答题为主，常结合三角形、四边形考查，易忽略“对应关系”（如找错对应边/角）导致计算错误。利用垂径定理求解掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧）及推论，学会用定理求弦长、半径、弦心距。高频考点，解答题核心，常需构造“半径、弦心距、半弦长”的直角三角形，易漏用“弦不是直径”的前提或计算半弦长失误。垂径定理的应用掌握垂径定理在实际问题（如水管直径、拱桥高度、油桶液面宽度）中的应用，学会建立圆的模型分析关键线段关系。中档题，解答题为主，易因坐标系建立不当（如未以直径中点为原点）或关键数据提取错误出错。利用弧、弦、圆心角的关系求解掌握“同圆或等圆中，等弧对等弦、等弧对等圆心角”的关系，学会运用关系证明线段相等、角相等或判断弧的大小。高频基础题，选择/填空/解答题小问均有，易忽略“同圆或等圆”的前提（不同圆中弧相等不一定弦相等）。圆周角定理掌握圆周角定理（圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半）及推论（同弧或等弧所对的圆周角相等），学会用定理求角度。高频考点，贯穿选择、填空、解答题，易混淆“所对的弧”（如误将不同弧对应的圆周角用定理计算）。半圆所对的圆周角是90度掌握“直径所对的圆周角是直角”的推论，学会用推论判断直角、构造直角三角形或证明线段垂直。高频中档题，解答题为主，常结合直径、直角三角形性质考查，易忽略“直径”前提（非直径弦所对圆周角不是90°）。圆内接四边形掌握圆内接四边形的性质（对角互补、外角等于内对角），学会用性质求未知内角或外角的度数。中档题，选择/填空/解答题小问为主，易忘记“对角互补”（如误按普通四边形内角和计算）或混淆“内角与外角”的关系。圆与正多边形掌握圆与正多边形的关系（正多边形的外接圆、中心、中心角、边心距），学会求正多边形的边长、中心角、面积。中档题，选择/填空为主，易混淆“中心角”（360°÷边数）与“内内（(n2)×180°÷n）的计算公式。知识点01圆的定义1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。知识点02点和圆的位置关系点和圆的位置关系点到圆心的距离与半径的关系图示文字语言符号语言点在圆内圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内点在圆上圆内各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上点在圆外圆内各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。（2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。（3）弦、弧、圆心角1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．6．顶点在圆心的角叫做圆心角．知识点03定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．知识点04三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.【清单04】旋转的概念一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.注意：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.知识点05旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：(1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等；(2)对应点到旋转中心的距离相等；(3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.知识点06旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．注意：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.知识点07垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；AE=BE如图，几何语言为：AE=BE2.推论定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点08垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.圆的两条平行弦所夹的弧相等．注意：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）知识点09圆心角与弧的定义1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2.1°的弧的定义1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点：(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.知识点10圆心角定理及推论1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等知识点11圆周角圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．知识点12圆周角定理：内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.知识点13圆内接四边形如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.知识点14圆内接四边形性质定理圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．知识点15正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点16正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点17正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.知识点18弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.知识点19扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的即(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.题型一圆的基本概念【典例1】（2425九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点C．等弧就是长度相等的两条弧D．圆中最长的弦是直径【变式1】（2324九年级上·浙江杭州·期中）已知点A，B，且AB<6，画经过A，B两点且半径等于3的圆有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【变式2】给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以2cmA．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④【变式3】（2223九年级上·浙江杭州·期中）已知⊙O的半径为3cm．则⊙OA．3cm B．6cm C．9cm 题型二点与圆的位置关系解｜题｜技｜巧①计算d（用两点间距离公式）；②按“d>r（点在圆外）、d=r（点在圆上）、d<r（点在圆内）”判断。【典例1】（2425九年级上·浙江杭州·期中）与圆心的距离大于半径的点位于（）A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆上 D．圆的外部或圆上【变式1】（2425九年级上·浙江金华·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A在⊙B（

A．外 B．上 C．内 D．无法确定【变式2】（2021九年级上·浙江温州·期中）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O内，则OP的长可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式3】（2324九年级上·浙江宁波·期中）已知点P在半径为r的⊙O内，OP=4．则满足条件的r的值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2题型三三角形的外心解｜题｜技｜巧①找外心：作任意两边的垂直平分线，交点即为外心；②用性质：外心到顶点距离相等，列方程求半径或点坐标。【典例1】如图，在平面直角坐标系中，A0,−3，B2,−1，C2,3．则A．0,0 B．−1,1 C．−2,−1 D．−2,1【变式1】（2324九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中A0,4，B4,4，C6,2，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段DM=4，则点D与⊙MA．点D在⊙M上 B．点D在⊙M外 C．点D在⊙M内 D．无法确定【变式2】（2324九年级上·浙江温州·期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形【变式3】如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是（

）

A．32 B．25 C．4 题型四旋转图形旋转现象判断【典例1】平移和旋转在我们生活中随处可见．下面属于旋转的现象是（

）A．乘坐电梯 B．用钥匙开锁 C．推拉窗户 D．火箭升空【变式1】下列说法中，正确的是（

）A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象B．能够互相重合的两个图形成轴对称C．“气球升空”属于平移现象D．“摆钟的钟摆在摆动”属于旋转现象【变式2】（2324九年级上·浙江衢州·期中）下列杭州亚运会体育图标中，由如图所示图标旋转得到的是（

）C． D．题型五判断旋转中心，旋转角【典例1】如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′A．1,1 B．1,2 C．1,3 D．1,4【变式1】如图，△ADE可由△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，在平面直角坐标系中，三点坐标为A1,0，B3,0，C1,4，则旋转中心PA．3,2 B．2,3 C．3,4 D．4,3【变式2】如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A'BA．O B．P C．Q D．M【变式3】如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若∠BAC=40°，∠B=90°，∠CAD=10°，则旋转角的度数分别为（

）A．80° B．50° C．40° D．10°【变式4】如图，正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个题型六平面直角坐标系上图形的旋转【典例1】以原点为中心，把点A4,5逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（

）A．−5,4 B．5,−4 C．−4,5 D．4,−5【变式1】在在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1,3)，将坐标原点O绕点A顺时针旋转90°得到点O′，则点O′的坐标是(A．(3,1) B．(−3,−1) C．(−4,2) D．(−2,4)【变式2】如图，点A，B的坐标分别为1,1、3,2，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1（其中点A和点A1对应，点B和点B(1)画出旋转后的△AB(2)直接写出点B1(3)连接BB1，直接写出∠BB【变式3】在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A−3,2，B(1)将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；平移△ABC，若点A的对应点(2)若将△A1B【变式4】如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为2,4．请解答下列问题：（保留作图痕迹）(1)将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到图形△A(2)求出△ABC的面积．题型七旋转的规律探究解｜题｜技｜巧列表记录前几次旋转的位置、角度，总结循环规律，用“总数÷周期”求对应状态。【典例1】如图，在菱形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且A0,2，∠ABC=60°，以AD为边构造等边三角形ADE，将△ADE和菱形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，第一次旋转结束时点E的对应点记为E1，第二次旋转结束时记为E2，依次类推，第2025次旋转结束时，点E2025A．4,−23 B．−23,4 C．−2【变式1】如图，将边长为1的正三角形△OAP沿x轴正方向连续翻转2013次，点P依次落在点P1，P2，P3，⋯，P2013的位置，则点【变式2】如图，在直角坐标系中，已知点A−3,0、B0,4，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△【变式3】如图，把小矩形放在第二象限，使两条边与坐标轴重合，然后将小矩形无滑动地沿x轴顺时针滚动，每一次边落在x轴上记作一次操作，已知顶点P−1,2，则经过2025次操作后点P′的坐标为题型八利用旋转的性质求解解｜题｜技｜巧①遇线段和差、角度转化，构造旋转图形（如将三角形绕顶点旋转，使已知边重合）；②用“对应边相等”证全等，或“旋转角相等”求角度。【典例1】（2526九年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=138°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且ABA．16° B．15° C．14° D．13°【变式1】如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠BOC等于（

）A．55° B．45° C．40° D．35°【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，AB,CE相交于点F，若AD∥EC时，则∠BAE的度数为（

）A．35° B．30° C．25°【变式3】如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB【变式4】（2223九年级上·浙江温州·期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B′在BC上．若∠B题型九利用垂径定理求解解｜题｜技｜巧①作辅助线：连半径或作弦心距（垂直于弦），构造“半径、弦心距、半弦长”的直角三角形；②用勾股定理（r²=d²+(l/2)²，r=半径，d=弦心距，l=弦长）计算。【典例1】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若OD=10，BE=4，则CD的长为（

）A．6 B．16 C．8 D．12【变式1】（2425九年级上·浙江金华·期中）我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图AB⊥CD，点C是AB的中点，测量数据得AB=6cm，CD=9cm，则圆的半径长为（A．6cm B．33cm C．32【变式2】（2425九年级上·浙江宁波·期中）⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO=6，∠OMA=30°，则弦AB的长为（

）A．4 B．6 C．63 【变式3】（2425九年级上·浙江杭州·期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AD于点E，若⊙O的半径为5，BF=2，则OE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．5题型十垂径定理的应用解｜题｜技｜巧①遇“弦的中点”“垂直于弦的线”，联想垂径定理；②复杂图形中，先找“直径”或“垂直关系”，定位定理适用条件。【典例1】（1920九年级上·浙江宁波·期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（

）A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m【变式1】（2122九年级上·浙江衢州·期末）如图，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米．⊙O半径长为3米，若点C为运行轨道的最低点．则点C到弦AB所在直线的距离是（

）A．1米 B．2米 C．3−5米 D．3+【变式2】（2223九年级下·浙江温州·期中）泰顺县南浦溪大桥是浙江省高速公路跨径最大的上承式拱桥，如图所示，主拱桥呈圆弧形．跨度AB约为260米，拱高CD约为70米，则大桥的桥拱半径OA约为（

）A．146米 B．156米 C．166米 D．176米【变式3】（2425九年级上·浙江温州·期中）图1是建在溪边的一部水车，O是水车旋转中心，水车上的两个竹筒A，B到O的距离相等，当A，B离地高度相等时（如图2），水平距离AB为3米，当A转动到最低位置A′时，它的高度下降了0.5米，B也随之转动到B′的位置，此时B的高度上升了【变式4】我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，⊙O被水面截得的弦AB长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求⊙O的半径长．题型十一利用弧、弦、圆心角的关系求解解｜题｜技｜巧①证弧/弦相等，先证对应圆心角相等；②求圆心角，先找对应弧的度数（圆心角=所对弧的度数）【典例1】如图，AB是⊙O的直径，AD=CD，∠COB=40°，则∠A的度数是（

A．50° B．55° C．60° D．65°【变式1】（2425九年级上·浙江杭州·期中）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠PCB=130°，则A．15° B．20° C．25° D．30°【变式2】（2425九年级上·浙江温州·期中）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE=8,BG=3，则⊙O的半径长是（）A．4 B．5.5 C．256 D．【变式3】（2425九年级上·浙江金华·期中）如图所示，已知AD=BC，求证：AB=CD．【变式4】（2122九年级上·浙江杭州·期中）如图，AB，CD为⊙O两弦，且AB=CD，M、N分别为AB，CD的中点．求证：∠AMN=∠CNM．题型十二圆周角定理解｜题｜技｜巧①找“同弧对应的圆周角和圆心角”，用“圆周角=1/2圆心角”转化角度；②遇多个圆周角共弧，直接用“同弧圆周角相等”。【典例1】如图，点A、B、P在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠APB的度数为（

）A．70° B．60° C．50° D．40°【变式1】如图，A是⊙O上一点，BC是直径，点D在⊙O上且平分BC．(1)连接AD，求证：AD平分∠BAC；(2)若CD=52，AB=8，求AC【变式2】如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C=45°．(1)求∠ABD的度数；(2)若∠CDB=30°，BC=5，求⊙O的半径．题型十四半圆所对的圆周角是90度解｜题｜技｜巧①遇直径，构造直径所对的圆周角，证直角或用勾股定理；②证直径，先证圆周角为90°，再用“90°圆周角所对的弦是直径”。【典例1】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，若∠ABC=54°，则∠BDC等于（

）．A．27° B．36° C．54° D．108°【变式1】如图，已知AD是⊙O的直径，B，C，E是⊙O上的三个点，连接BC，CD，BE，AE，∠BCD=125°，则∠AEB的度数为（

）A．55° B．50° C．45° D．35°【变式2】如图，AB是⊙O的直径，AB=10，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，BD=4，则AC的长为．【变式3】如图，在四边形ABCD中，AD=CD，AC⊥BC于点C，AD⊥BD于点D，若∠DBC=30°，AB=10，则【变式4】（2324九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知半圆O,OB=61．点D在半圆上，AD=10，在BD取点C，连接AC，作DH⊥AC于点H，连接BH，则BH的最小值等于

题型十四圆内接四边形【典例1】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B=62°，∠ACD=39°，则∠CAD=（）A．23° B．28° C．31° D．33°【变式1】（2425九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（

）A．128° B．100° C．120° D．132°【变式2】如图，△ABC中，AB=AC,AB为⊙O的直径，分别交AC,BC于点D，E，连接DE,AE．(1)求证：∠CED=2∠CAE；(2)若DE=15,AE=20，求CD的长．题型十五圆与正多边形【典例1】如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（

）A．60° B．36° C．76° D．72°【变式1】（2223九年级下·浙江温州·期中）刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图1，将半径为2的圆进行12等分分割，拼接成如图2所示图形．连结AC，BD交于点E，则△ADE的面积为（

）A．π B．2π C．3 【变式2】如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB=20°，则这个正多边形的边数为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【变式3】（2425九年级上·浙江金华·期中）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为SI，SII，SIII给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是150°；③SA．只有① B．①② C．①③ D．①②③题型十六求弧长、扇形半径解｜题｜技｜巧公式记忆：◦弧长L=nπr/180（n=圆心角度数，r=半径）；◦扇形面积S=nπr²/360或S=1/2LR（L=弧长）；①已知L、n求r：用L公式变形（r=180L/(nπ)）；②已知S、r求n：用S公式变形（n=360S/(πr²)）。【典例1】（2425九年级上·浙江杭州·期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B=62°，∠ACD=39°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为（

）A．1318π B．109π C．【变式1】（2425九年级上·浙江衢州·期末）如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC边的中点，AB=1，则CE的长为（

A．π3 B．π6 C．3π【变式2】如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=150°，OA=24，则AB的长为．【变式3】已知扇形的弧长是43π，圆心角120°，则这个扇形的半径是题型十七求扇形不规则图形面积【典例1】（2122九年级上·浙江杭州·期中）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，面积都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：2 B．5：4 C．5【变式1】（2324七年级上·浙江绍兴·期中）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=5m，OB=3m，则阴影部分的面积是（

A．43π B．83π C．【变式2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=23，则S阴影=A．π B．2π C．23π D．2【变式3】杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为160°，半径是30cm，则扇形的面积为cm

【变式4】（2324九年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=45°，以BC为直径作半圆，交AC于点D，交AB于点E求；(1)求弧DE的长；(2)求阴影部分的面积．期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．（2122九年级上·浙江杭州·期中）若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（）A．∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：3：4B．∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：1：4C．∠A：∠B：∠C：∠D=3：1：2：4D．∠A：∠B：∠C：∠D=4：3：2：12．（2425九年级上·浙江温州·期中）如图，在圆O中，OA，OB为半径，点C为圆O上一点，若∠ACB=40°，则∠AOB的度数是（

）A．40° B．60° C．80° D．120°3．（1617九年级上·浙江杭州·期中）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，连接AD，则∠BAD的度数为．4．（2425九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知点A、B、C、D在⊙O上，弦AB、CD的延长线交⊙O外一点E，∠BCD=25°，∠E=39°，则∠APC的度数为．5．（2425九年级上·浙江杭州·期中）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，将扇形AOB进行折叠，使点O落在弧AB的中点C处．若折痕DE=4，则图中阴影部分的面积为．6．（2425九年级上·浙江杭州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B在小正方形的顶点上，将线段AB绕着点O顺时针方向旋转90°，得到线段A1(1)在网格中画出线段A1(2)直接写出△BOB7．（2425九年级上·浙江温州·期中）如图，已知⊙O的一条弦AB和该圆上的一点C，(1)请按尺规作图的要求作出⊙O上的点D，使得∠DAC=1(2)在（1）的条件下，连结OA，OB，若∠DAC=40°，⊙O的半径为1，求扇形AOB的面积．8．（2425九年级上·浙江宁波·期中）如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，且AB=CD，求证：EB=ED．期中重难突破练（测试时间：10分钟）1．（2223九年级上·浙江宁波·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OC．已知OC⊥BD于点E，AB=2；下列结论：①∠CAD+∠OBC=90°；②若点P为AC的中点，则CE=2OE；③若AC=BD，则CE=OE；④A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④2．（2122九年级上·浙江杭州·期中）如图，将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到A′B′C，连接AA′，若A．10° B．20° C．30°