《解直角三角形应用举例(第一课时)》教案

PAGEPAGE1课型新课课题《解直角三角形应用举例（第一课时）》教案教学目标1、知识与技能：使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题。2、过程与方法：让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途。3、情感、态度与价值观渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。教学重难点难点：将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素之间的关系求解．教学过程设计意图一.复习旧知1.解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.解直角三角形的依据：b2c2;90;边角之间的关系：三角函数：sinA=cosB=a，cosA=sinB=b，tanA=c c 二．探究点一：构造直角三角形解题3（74618天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”343kmPP梳理知识点解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点。（6400km，π归纳小结：利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：1.将实际问题抽象为数学问题；画出平面图形，转化为解直角三角形的问题2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；3.得到数学问题的答案；4.得到实际问题的答案.三．探究点二：测量物体的高度问题4（74120m，这栋楼有多高（结果取整数）？析归纳这类问而初步渗透数学建模及方程图形的结构特点。什么是仰角和俯角？（当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角．）注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．解直角三角形注意点1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．四．随堂练习使学生对所学1.（课本第78页习题3）如图，知识有了更好某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看到地面指挥台B的俯角α=1 sin16310.9587,tan16310.2965学生体会到数6°3则飞机A与指挥台B的距离为 .(结果取整数)参学与实际生活考数据：的联系。784）55m帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为21°，此时帆船距灯塔有多远(结果取整数)？sin210.3584cos210.9336tan210.3839五.本节小结要解决好这类了解俯角、仰角的定义：利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：问题：一是要合1.将实际问题抽象为数学问题；理地构造合适画出平面图形，转化为解直角三角形的问题的直角三角形；2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；二是要选择正3.得到数学问题的答案；确的三角函数4.得到实际问题的答案.关系；三是要有很好的运算能力和分析问题的能力．知能演练提升能力提升1.某地夏季中午,当太阳移到屋顶上方偏南时,光线与地面成80°角,房屋朝南的窗户高为1.8m.要在窗户外面上方安装一个水平挡光板,使午间光线不能直接射入室内,那么挡光板的宽度应为()A.1.8tan80°m B.1.8cos80°mC.1.8sin80°cm 2.如图,两建筑物AB,CD间的水平距离为am,从点A测得点D的俯角为α,测得点C的俯角为β,则较低建筑物CD的高度为()A.amB.atanαmC.a(sinα-cosα)mD.a(tanβ-tanα)m3.如图,为了测量某建筑物AB的高度,在平地C处测得建筑物顶端A的仰角为30°,沿CB方向前进12m,到达D处,在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°,则建筑物AB的高度等于()A.6(3+1)m B.6(3-1)mC.12(3+1)m D.12(3-1)m4.观光塔是某市的标志性建筑,为测量其高度,如图,一人先在附近一楼房的底端A处观测观光塔顶端C处的仰角是60°,再爬到该楼房顶端B处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45m,根据以上观测数据可求观光塔的高CD=m.

5.如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测得的数据,计算这座灯塔的高度CD.(结果取整数)参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60.6.如图,塔AB和楼CD间的水平距离BD为80m,从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°,求塔高与楼高.(结果保留小数点后两位,参考数据:2≈1.414,3≈1.732)7.如图,在比水面高2m的A地,观测河对岸一棵树BC的顶部B的仰角为30°,它在水中的倒影B'C的顶部B'的俯角是45°,求树高BC.8.随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产和生活,如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之间的距离,他们借助无人机设计了如下测量方案:无人机在AB,CD两楼之间上方的点O处,点O距地面AC的高度为60m,此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°,楼CD上点E处的俯角为30°,沿水平方向由点O飞行24m到达点F,测得点E处的俯角为60°,其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长.(结果取整数,参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,3≈1.73)★9.我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳.小明站在距离墙壁1.60m处观察装饰画时的示意图如图所示,此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上,视线恰好落在装饰画的中心位置E处,且与AD垂直.已知装饰画的高度AD为0.66m.求:(1)装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数;(精确到1°)(2)装饰画顶部到墙壁的距离DC.(结果保留小数点后两位)创新应用★10.(2023·新疆中考)烽燧即烽火台,是古代军情报警的一种措施,史册记载,夜间举火称“烽”,白天放烟称“燧”.克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧(如图1).某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度,如图2,无人机飞至距地面高度31.5米的A处,测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°,测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°,试根据提供的数据计算烽燧BC的高度.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin50°≈0.8,cos50°≈0.6,tan50°≈1.2,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan65°≈2.1)

知能演练·提升能力提升1.D2.D过点D作AB的垂线交AB于点E.在Rt△ADE中,∠ADE=α,DE=am,∴AE=a·tanαm.在Rt△ABC中,∠ACB=β,BC=am,∴AB=a·tanβm.∴CD=AB-AE=a·tanβ-a·tanα=a(tanβ-tanα)m.3.A4.135在Rt△ABD中,∠BDA=30°,则tan30°=ABAD因为AB=45m,所以AD=453m.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,则tan60°=CDAD=3,所以CD=4535.解在Rt△CAD中,tan∠CAD=CDAD则AD=CDtan31°在Rt△CBD中,∵∠CBD=45°,∴BD=CD.∵AD=AB+BD,∴53CD=CD+解得CD=45(m).因此,这座灯塔的高度CD约为45m.6.解在Rt△ABD中,BD=80m,∠BDA=60°,∴AB=BD·tan60°=803≈138.56(m).在Rt△AEC中,EC=BD=80m,∠ACE=45°,∴AE=CE=80m.故CD=BE=AB-AE≈58.56m.答:塔高与楼高分别约为138.56m,58.56m.7.解设BC=xm,过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ABE中,BE=(x-2)m,∠BAE=30°,tan∠BAE=BEAE∴AE=BEtan∠BAE=∵∠B'AE=45°,AE⊥BC,∴B'E=AE=3(x-2)m.又B'E=B'C+EC=BC+AD=(x+2)m,∴3(x-2)=x+2,∴x=4+23.∴树高BC=(4+23)m.8.解如图,延长AB,CD分别与直线OF交于点G和点H,则AG=60m,GH=AC,∠AGO=∠EHO=90°.在Rt△AGO中,∠AOG=70°,∴OG=AGtan70°≈602∵∠HFE是△OFE的一个外角,∴∠OEF=∠HFE-∠FOE=30°,∴∠FOE=∠OEF=30°,∴OF=EF=24m.在Rt△EFH中,∠HFE=60°,∴FH=EF·cos60°=24×12=∴AC=GH=OG+OF+FH≈21.8+24+12≈58(m).∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m.9.解(1)∵AD=0.66m,∴AE=12AD=0.33m在Rt△ABE中,∵sin∠ABE=AEAB∴∠ABE≈12°.∵∠CAD+∠DAB=90°,∠ABE+∠DAB=90°,∴∠CAD=∠ABE≈12°.∴装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数约为12°.(2)(方法一)在Rt△CAD中,∵sin∠CAD=CDAD∴CD=AD·sin∠CAD=0.66×sin12°≈0.14(m).(方法二)∵∠CAD=∠ABE,∠ACD=∠AEB=90°,∴△ACD∽△BEA,∴CDAE∴CD0∴CD≈0.14m.∴装饰画顶部到墙壁的距离D