专题04 二次函数与几何综合重难点题型汇编（十大题型）（解析版）

专题04二次函数与几何综合重难点题型汇编【题型01：二次函数与角相等】1【题型02：二次函数与线段最值】13

【题型03：二次函数与面积综合】20【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】28

【题型05：二次函数与菱形存在性问题】40【题型06：二次函数与矩形存在性问题】58【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】72

【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】88【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】107

【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】120【题型01：二次函数与角相等】1．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A−1,0、B两点，与y轴交于C0,−3(1)求抛物线解析式；(2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使∠AMC=∠MCD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标．【答案】(1)y=(2)存在，M2,−3(3)点N的坐标为1,−3+172或1,−3−17【分析】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理的应用和待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论得出N点坐标是解题关键．（1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案即可；（2）首先求出lCD：y=−x−3，lAM：y=−x−1，令x2（3）①若∠BNC=90°，则BC2=BN2+NC2，②若∠NBC=90°，则【详解】（1）解：抛物线y=x2+bx+c过A∴1−b+c=0c=−3解得：b=−2c=−3∴抛物线解析式为：y=x（2）解：存在．如图1，当AM∥CD时，由（1）可得抛物线y=x∴D1,−4设直线CD的解析式为：y=kx−3，∴−4=k−3，∴k=−1，∴lCD：y=−x−3∵AM∥CD，∴lAM∴x2∴x1=−1（舍），∴y=2∴M2,−3（3）解：设N1,n，则BN=4+n2，①如图2，若∠BNC=90°，则BC2=B∴n2∴解得：n=−3±∴点N的坐标为1,−3+172②若∠NBC=90°，则NC2=B∴6n=12，∴n=2，∴点N的坐标为1,2；③若∠NCB=90°，则BN2=N∴6n=−24，∴n=−4，∴点N的坐标为1,−4，综上，点N的坐标为1,−3+172或1,−3−172．如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与(1)点E为x轴上的动点，当△CDE周长最小时，求点E的坐标；(2)若E为BD中点，P为抛物线上一点，当∠PAB=∠EAB时，求点P的坐标．(3)点B右侧抛物线上一动点Q，满足S△ACQ=S【答案】(1)3(2)P113(3)−1+【分析】本题考查二次函数的综合应用，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键：（1）求出C,D的坐标，作点C关于x轴的对称点F0,3，连接DF交x轴于E，此时△CDE周长最小，求出直线DF的解析式，进而求出E（2）分两种情况，①P点不在直线AE上，设直线AP交y轴于N，直线AE交y轴于M，证明△AMO≌△ANO，得到OM=ON，求出直线AE的解析式，进而求出M的坐标，进而求出N点坐标，求出直线AN的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出P点的坐标即可；②点P在直线AE上，联立直线和抛物线的解析式，进行求解即可；（3）设Qt,t2−2t−3，AQ交y轴于H，过Q作QG⊥x轴于G，分割法求出三角形ACQ和四边形【详解】（1）解：∵y=∴D1,−4当y=x2−2x−3=0∴A−1,0作点C关于x轴的对称点F0,3，连接DF交x轴于E，则△CDE=CD+DE+CE=CD+DE+EF=CD+DF设直线DF的解析式为y=kx+3，把D1,−4代入y=kx+3，则有−4=k+3∴k=−7∴直线DF的解析式为y=−7x+3，令y=0，则−7x+3=0，解得：x=∴点E的坐标为37（2）①P点不在直线AE上时，如图，设直线AP交y轴于N，直线AE交y轴于M，∵∠PAB=∠EAB，∴∠NAO=∠MAO，

∵OA⊥y轴

∴∠AOM=∠AON，又∵OA=OA，∴△AMO≌△ANO，∴ON=OM；∵B3,0∴中点E2,−2设直线AE解析式为y=tx+b，∵A−1,0∴−t+b=02t+b=−2，解得：t=−∴直线AE解析式为y=−2∴当x=0时，y=−2∴ON=OM=23同法可得：直线AN解析式为y=2由y=23x+23∴P的坐标为113②当点P在直线AE上时，则：y=−23x−23∴P的坐标为73故P113,（3）设Qt,t2−2t−3，AQ交y轴于H，过Q作∵A则S△ACQ=1∵S△ACQ∴t+12设直线AQ解析式为y=mx+n，

则有0=−m+nt消去m，解得：n=t−3，∴OH=t−3，∴CH=OC+OH=t．∵t+12∴tt+1=18，解得：t=−1+∴点Q的横坐标为−1+733．抛物线y=ax2−2ax−3aa<0交x轴于A，B两点，交(1)直接写出点A，B的坐标；(2)如图（1），当a=−1时，连接AC，点P在第四象限内抛物线上，若∠PAB=2∠ACO，求点P的坐标；(3)如图（2），若顶点为H，在第一象限的抛物线上取点D，连接HD并延长交x轴于点E，当AD=DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′．将抛物线L平移得到抛物线L′，使得点A′，B【答案】(1)A−1,0，(2)P(3)是；(3,0)【分析】（1）令y=ax2−2ax−3a=0，解一元二次方程即可得出点A（2）过线段AC的中点M，作AC的垂直平分线MD交y轴于点D，连接AD，设OD=m，则CD=3−m，AD=CD=3−m，OA=1，利用勾股定理求出点D的坐标，将AD绕A点顺时针旋90°转得到线段AE，则AE=AD，作EF⊥x轴于F点，直线AE交第四象限的抛物线于点P．Rt△AOD≌Rt△EAFAAS，由全等三角形的性质进一步求出点E13（3）过D作DM⊥x轴于M，设Dm,am2−2am−3a，则AM=m+1，DM=am2−2am−3a，将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′，相当于将【详解】（1）解：令y=ax∴ax∵a≠0，∴x1=−1，∴A−1,0，B（2）解：当a=−1时，则抛物线解析式为：y=−x过线段AC的中点M，作AC的垂直平分线MD交y轴于点D，连接AD，则CD=AD，∠ACO=∠DAC，∠ADO=∠DAC+∠ACD=2∠ACO，设OD=m，则CD=3−m，AD=CD=3−m，OA=1，在Rt△AOD中，∠AOD=90°∴12∴m=4∴D0,将AD绕A点顺时针旋90°转得到线段AE，则AE=AD，作EF⊥x轴于F点，直线AE交第四象限的抛物线于点P．∵∠DAO+∠FAE=90°，∠DAO+∠ADO=90°，∴∠FAE=∠ADO，∴∠PAB=∠FAE=∠ADO=2∠ACO，在Rt△AOD和Rt∠AOD=∠EFA=90°∠FAE=∠ADO∴Rt△AOD≌∴EF=OA=1，AF=OD=4∴OF=1∴E1设AE的解析式为：y=kx+b，则−k+b=01解得：k=−3则直线AE为y=−3联立y=−解得xA=−1∴P15（3）解：抛物线L′与L交于定点(3,0)过D作DM⊥x轴于M，如图：设Dm,a则AM=m+1，DM=am∵AD=DE，∴EM=AM=m+1，将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′，相当于将△ADB又A(−1,0)，B(3,0)，H(1,−4a)，∴A′m,−am2+2am+3a∴抛物线L′的对称轴为直线x=m+2∴抛物线L′解析式为y=a由ax解得：x=3，∴抛物线L′与L交于定点(3,0)【点睛】本题了主要考查了二次函数的综合问题，涉及二次函数与角度的问题，抛物线平移问题，抛物线与坐标轴的交点问题等，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．4．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为−2,0，点C(1)求二次函数的表达式和点B的坐标．(2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD,BD，抛物线上是否存在点M，使∠MAB=∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=x2−x−6；点(2)点M的坐标为2,−4或4,6【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解；（2）先求出点D的坐标为0,−6，可得OD=6，AB，BD，AD的长，过点A作AE⊥BD于点E，再由S△ABD=12OD×AB=12AE×BD，可得AE=25，再由勾股定理求出DE=25，从而得到AE=DE，△ADE是等腰直角三角形，进而得到∠ADB=45°，再由∠MAB=∠ADB，可得∠MAB=45°，过点M作MF⊥x轴于点F，可得【详解】（1）解：∵点A的坐标为−2,0，点C的坐标为−1,−4，∴4−2b+c=01−b+c=−4，解得：b=−1∴二次函数的表达式为y=x令y=0，则x2解得：x1∴点B的坐标为3,0；（2）解：对于y=x令x=0，y=−6，∴点D的坐标为0,−6，∴OD=6，∵点A−2,0∴AB=5，BD=3如图，过点A作AE⊥BD于点E，∵S△ABD∴AE=25∴DE=A∴AE=DE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADB=45°，∵∠MAB=∠ADB，∴∠MAB=45°，过点M作MF⊥x轴于点F，∴△AFM是等腰直角三角形，∴AF=FM，设点M的坐标为t,t∴FM=t2−t−6∴t2解得：t=−2（舍去）或2或4，∴点M的坐标为2,−4或4,6．【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用数形结合思想解答是解题的关键．【题型02：二次函数与线段最值】5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx(a<0)与正比例函数y=kx的图象都经过点A(3,3)，点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点C，交x轴于点D(1)求二次函数的表达式；(2)求线段PC长度的最大值．【答案】(1)y=−(2)当t=32时，线段PC【分析】本题考查了二次函数的线段问题，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）利用待定系数法进行求解，即可作答；（2）正比例函数表达式为y=x，设OD=t(0≤t≤3)，则CD=t，PD=−13t【详解】（1）解：∵A(3,3)为二次函数y=ax∴9a+3b=3−解得a=−1∴二次函数表达式为y=−1（2）解：∵正比例函数y=kx经过点A(3,3)，∴3k=3，∴k=1，∴正比例函数表达式为y=x，设OD=t(0≤t≤3)，则CD=t，∴PD=−1∴PC=PD−CD=−=−=−1∵−1∴当t=32时，线段PC的长度取得最大值6．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A6,0，与y轴交于点B0,−6，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线(1)求直线l的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线l于点D，求线段PD的最大值．【答案】(1)y=x−6(2)y=(3)9【分析】（1）设直线l的解析式为y=kx+m，利用待定系数法解答即可；（2）设抛物线的解析式为y=ax（3）设Pt,14t2本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．【详解】（1）解：设直线l的解析式为y=kx+m，把A6,0和B0=6k+m−6=m解得k=1m=−6∴直线l的解析式为y=x−6；（2）解：设抛物线的解析式为y=ax由题意得，36a+6b+c=0c=−6解得a=1∴抛物线的解析式为y=1（3）解：设Pt,14∴PD=t−6−∵−14<0∴当t=3时，线段PD的值最大，最大值为947．如图所示，抛物线y=−23x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为−1,0(1)求此抛物线的函数表达式．(2)点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究2PD+PE是否有最大值?若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)有最大值，7516，【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；（2）先求解C0，2，及直线BC为y=−23【详解】（1）解：（1）∵抛物线y=−23x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为−1,0∴y=−2（2）（2）2PD+PE是有最大值，理由如下：∵当x=0时，y=−2∴C0设直线BC的函数表达式为y=kx+2，∴3k+2=0，解得k=−2∴直线BC的函数表达式为y=−2设Pm则Dm∴2PD+PE=2=−=−4当m=158时，有最大值此时−2∴2PD+PE有最大值，为7516．此时P8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A−1,0，B两点，交y轴于点(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PD+5【答案】(1)y=(2)最大值152，【分析】本题考查了待定系数法求二次函数关系式，求二次函数的最值，勾股定理等知识，利用割补法表示出△PBC的面积是解题的关键．（1）把A−1,0代入y=ax2+bx−3，得（2）连接OP,BP,CP，再设点Pt,12t2−5【详解】（1）解：∵抛物线经过点A−1,0，且对称轴是x=∴a−b−3=0−解得a=1∴抛物线的解析式为y=1（2）当x=0时，y=−3，当y=0解得x1∴OB=6,OC=3，根据勾股定理，得BC=C连接OP,BP,CP，设点Pt,由S△PBC12∴5∵点P与D关于直线x=5∴PD=2t−∴PD+5∴当t=5时，PD+52PE取得最大值159．如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于点A−3,0和点B，交(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为该抛物线对称轴上的一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．【答案】(1)y=−(2)M(−1,2)【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．（1）利用待定系数法解答即可；（2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=−1，连接AC交对称轴于点M，由点A、B关于对称轴对称可得AM=BM，即得CM+BM=AM+BM=AC，由两点之间线段最短，可知此时CM+BM的值最小，利用待定系数法求出直线AC的解析式，进而即可求解；【详解】（1）解：把A(−3,0),C(0,3)代入抛物线y=−x2+bx+c解得b=−2c=3∴抛物线的函数表达式为y=−x（2）解：∵抛物线y=−x∴抛物线对称轴为直线x=−1，连接AC交对称轴于点M，∵点A、B关于对称轴对称，∴AM=BM，∴CM+BM=CM+AM=AC，由两点之间线段最短，可知此时CM+BM的值最小，最小值即为线段AC的长，设直线AC的解析式为y=kx+n，把A(−3,0),C(0,3)代入得，0=−3k+n3=n解得k=1n=3∴直线AC的解析式为y=x+3，当x=−1时，y=−1+3=2，∴M(−1,2)．【题型03：二次函数与面积综合】10．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知B(1)求抛物线的解析式；(2)第二象限内的点P在该抛物线上，求△APC面积的最大值．【答案】(1)y=−(2)27【分析】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用这些知识．（1）把B、C两点的坐标代入抛物线的解析式可得b和c的值，即可求得抛物线的解析式；（2）当y=0时，解方程得到点A的坐标，根据待定系数法求出直线AC的解析式，过点P作PQ垂直于x轴交AC于点Q，设点P坐标为p,−p2−p+6p<0，则Qp,2p+6，S△APC=【详解】（1）解：将点B2,0，C0,6代入得到0=−4+2b+c6=c，解得b=−1∴抛物线的解析式为y=−x（2）解：当y=0时，即−x2−x+6=0，解得x∴A−3,0设直线AC的解析式为y=mx+n，将A−3,0，C0,6代入得解得m=2n=6∴直线AC的解析式为y=2x+6，如图所示，过点P作PQ垂直于x轴交AC于点Q，设点P的坐标为p,−p2−p+6∴PQ=−∴S∵−3∴抛物线的开口向下，∴当p=−−92即△APC面积的最大值为27811．如图，对称轴为x=−1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A(1)求点B的坐标．(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S②设点Q是线段AC上的一动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，试问△ADC是否存在最大值，若不存在，说明理由；若存在，求出此时D点的坐标和△ADC面积的最大值．【答案】(1)点B的坐标为(1,0)(2)①点P的坐标为(4,21)或(−4,5)；②存在，D点的坐标为−32,−15【分析】本题主要考查了求出二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数图象的性质，二次函数与几何图形，对于（1），根据抛物线的对称性解答即可；对于（2）①，当a=1时，结合抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为直线x=−1，可得b=2，进而求出c=−3，可得二次函数关系式，再求出抛物线与y轴的交点C的坐标，然后设P点坐标，根据S△POC=4S△BOC，可得12②先求出直线AC的解析式，再设Q点坐标为x，−x−3−3≤x≤0，则D点坐标为x，x2+2x−3，即可得出QD=−(x+32【详解】（1）解：∵对称轴为直线x=−1的抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴相交于∴A、B两点关于直线x=−1对称.∵点A的坐标为−3，∴点B的坐标为1，（2）解：①a=1时，∵抛物线y=ax2∴−b2解得b=2，将B1，0得1+2+c=0，解得：c=−3，则二次函数的解析式为y=x∴抛物线与y轴的交点C的坐标为0，∴OC=3，设P点坐标为(x，x²+2x−3∵S△POC∴12×3×x=4×1∴x∴x=±4．当x=4时，x²+2x−3=16+8−3=21；当x=−4时，x²+2x−3=16−8−3=5，∴点P的坐标为4，21或②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A−3，0得−3k+t=0t=−3解得：k=−1t=−3即直线AC的解析式为y=−x−3．设Q点坐标为x，−x−3−3≤x≤0，则DQD=−x−3−x²+2x−3∴当x=−32时，QD有最大值9∴当x=−32时，三角形的面积有最大值，此时D点的坐标为(−∴S△ADC∴D点的坐标(−32,−15412．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)存在，P−3【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法．（1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可；（2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解．【详解】（1）解：将B2,0，C0,6代入得−4+2b+c=0c=6解得：b=−1∴y=−x（2）设点P的坐标为m,−m把y=0代入y=−x2−x+6∴A(−3,0)，设直线AC的解析式为y=mx+n，将A−3,0,C0,6解得，m=2n=6∴直线AC的解析式为y=2x+6，过点P作PQ垂直于x轴交AC于点Q，则Qm,2m+6∴PQ=−∴S∵−3∴当m=−b2a=−32∴P−13．如图1，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C(1)求抛物线表达式；(2)如图2，点P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作PF∥y轴，交直线AC于点E，交x轴于点F，连接PC，BE，BC，若S△PEC【答案】(1)二次函数的表达式为y=−x(2)点P的坐标为−4,24或−4−42【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解解析式，解分式方程，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）先求出A−8,0，B2,0，通过待定系数法求出直线AC表达式为y=2x+16，设点F的坐标为m,0m<0，Em,2m+16，Pm,−m2−6m+16，然后分①当点P在直线【详解】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c与y∴c=16，∴D−6,16∵抛物线y=−x2+bx+c∴−−6∴b=−6，∴二次函数的表达式为y=−x（2）解：当y=−x解得：x1=−8，∴A−8,0，B∵C0,16设直线AC的解析式为y=kx+16，把A−8,0代入，得k=2∴直线AC表达式为y=2x+16，设点F的坐标为m,0m<0，Em,2m+16，①如图，当点P在直线AC上方时，∴PE=−m2−6m+16−∴S△PECS===−10m，∵S△PEC∴12m3经检验：m=−4是原方程的解，∴P−4,24②如图，当点P在直线AC下方时，∴PE=2m+16−−m2∴S△PECS===−10m，∵S△PEC∴−12m经检验：m=−4±42∵m<0，∴m=−4−42∴P−4−4综上可知：点P的坐标为−4,24或−4−42【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】14．如图，抛物线y=−23x2+bx+c与x轴交于A−1,0，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C0,2，直线CD:y=−x+2与x轴交于点D，动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x(1)求抛物线的解析式；(2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标．【答案】(1)y=−(2)F−1,0或F7,0或【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，进行求解即可．【详解】（1）解：把A−1,0，C0,2代入−23−b+c=0∴y=−2（2）∵y=−2∴抛物线的对称轴为直线x=−4∴E1,0，设Fn,0，∵C0,2∴当以CE为对角线时，则：m+n=1+0−23m2∴F−1,0当以EF为对角线时，m+0=1+n−23m2∴F7,0或当以CF为对角线时，m+1=n+0−23m2∴F3,0综上：F−1,0或F7,0或F15．在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为−5,0，点C(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，当△PAC面积最大时，求点P的坐标及△PAC面积的最大值；(3)如图2，若点M是抛物线上一动点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)△ACP面积的最大值：1258，(3)点M的坐标为：−3,8或3,−16或(−7,−16)【分析】（1）把点A，点C的坐标代入y=−x2+bx+c，求出b（2）过点P作PF⊥x轴交AC于点H，设AC的解析式为y=kx+5，求出AC的解析式，设点Pm，−m2−4m+5且（3）根据平行四边形的性质分类讨论：①当AC为平行四边形的对角线时；②当AM为平行四边形的对角线时；③当AN为平行四边形的对角线时，分别求解，即可．【详解】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c经过点A∴c=5−25−5b+c=0解得：c=5b=−4∴抛物线的解析式为：y=−x（2）解：过点P作PF⊥x轴交AC于点H，垂足为F，如图：∵A(−5,0)，C(0,5)，设直线AC解析式为y=kx+b，将A(−5,0)、C(0,5)代入，得：−5k+b=0b=5∴k=1b=5∴直线AC解析式为y=x+5，设Pm,−m2−4m+5，∴PH=−∵a=−1<0，∴当m=−52时，PH最大为∴△ACP面积为12∴△ACP面积的最大值：S△APC此时P−（3）解：存在．∵y=−x∴抛物线的对称轴为直线x=−2，设点N的坐标为−2,m，点M的坐标为x,−分三种情况：①当AM为平行四边形ANMC的对角线时，如图，∵A(−5,0)、C(0,5)，∴xC−x解得，x=3.∴−x∴点M的坐标为3,−16②当AN为平行四边形AMNC的对角线时，如图，∵A(−5,0)、C(0,5)，∴xC−x解得，x=−7.∴−x∴点M的坐标为(−7,−16)；③当AC为平行四边形ANCM的对角线时，如图，∵A(−5,0)、C(0,5)，∴线段AC的中点H的坐标为−5+02,0+52∴x+(−2)2解得，x=−3，∴−x∴点M的坐标为−3,8，综上，点M的坐标为：−3,8或3,−16或(−7,−16)．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−5a≠0交x轴于A，C两点，交y轴于点(1)求此抛物线的表达式；(2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM周长最小，请求出点M的坐标；(3)连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．【答案】(1)y=(2)M(3)则点P的坐标为：−5+52【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．（1）根据二次函数解析式可求出OB=5=OC=5OA，可得点A,B,C的坐标，运用交点式即可求解二次函数解析式；（2）根据抛物线的解析式可得点A的对称点为点C，结合轴对称最短路径可得△ABM的周长=AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC为最小，根据点B,C的坐标可求出直线BC的解析式，由抛物线的对称轴为x=−2，代入直线BC的解析式即可求解；（3）根据平行四边形的判定和性质可得PQ=OB=5，设点Px,−x−5则Q【详解】（1）解：由抛物线的表达式y=ax2+bx−5∴OB=OC=5=5OA，∴OA=1，∴A1,0，B0,−5，设抛物线的表达式为：y=ax−1∴−5a=−5，∴a=1，故抛物线的表达式为：y=x（2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：y=x∴对称轴为直线x=−2，∴点A关于抛物线对称轴的对称点为点C，∴BC交抛物线的对称轴于点M，即为所求点的位置，即△ABM的周长=AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC为最小，已知B0,−5，C设直线BC的解析式为：y=kx+bk≠0∴b=−5−5k+b=0解得k=−1b=−5∴直线BC的解析式为：y=−x−5∵抛物线的对称轴为直线x=−2，∴当x=−2时，y=−x−5=−3，则点M−2,−3（3）解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为y=x2+4x−5，直线BC∴如图所示，设点Px,−x−5，根据过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，四边形OBQP为平行四边形，则Q∴PQ=OB=5，∴PQ=−x−5∴x解得：x1=−5+∴当x=−5+52时，−x−5=−当x=−5−52时，∴点P的坐标为：−5+52,17．如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)A(−1,0)，B(3,0)，y(2)9(3)F1(1,0)，F【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度．(1)因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；(2)根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp(3)此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标．【详解】（1）解：令y=0，得x2解得x1=−1或∴A(−1,0),B(3,0)，将C点的横坐标x=2代入y=xy=4−4−3=−3，∴C(2,−3)，∴设直线AC的函数解析式为y=kx+b(k≠0)，将A(−1,0)，C(2,−3)分别代入，得−k+b=02k+b=−3，解得k=−1∴直线AC的函数解析式是y=−x−1；（2）设P点的横坐标为x(−1≤x≤2)，则P、E的坐标分别为P(x,−x−1)，E(x,x∵P点在E点的上方，∴PE=−x−1由a=−1<0，对称轴x=1∴当x=12时，PE的最大值为（3）(3)存在4个这样的点F，分别是F11,0，①如图1，连接C与抛物线和y轴的交点，∴CG∥x轴，∴AF=CG=2，A(−1,0)，∴F点的坐标是(−3，②如图2，AF=CG=2，A点的坐标为(−1，0)∴F点的坐标为(1，③如图3，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，∴G点的纵坐标为3，代入抛物线y=xx2解得x1∴G点的坐标为(1+7设直线GF的解析式为y=−x+ℎ，将G(1+7,3)代入3=−(1+7)+ℎ，解得∴直线GF的解析式为y=−x+4+7当y=0时，−x+4+7解得x=4+7∴直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+7④如图4，同③可求出F的坐标为(4−7∴符合条件的F点共有4个，为F1(1,0)，F218．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与直线AC(1)求该抛物线的函数表达式；(2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与y轴交于点F，原抛物线上有一点P2,−4，点M为平移后点P的对应点，N为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q【答案】(1)y=(2)：1,0或−1,8或9,8【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式；（2）将抛物线向右平移3个单位得新抛物线y=12x2−4x+72，对称轴是直线x=4，即可得M5,−4，F0,72，设N4,n，Qr,12r2【详解】（1）解：∵抛物线y=12x2+bx+c∴12解得b=−1c=−4∴抛物线的解析式为y=1（2）解∶∵将抛物线y=12x∴新抛物线对称轴是直线x=−−4在y=12x2−4x+∴F0,将P2,−4向右平移3个单位得M设N4,n，Q则①当QN、MF为对角线时，∴r+4=5n+解得r=1，∴Q1,0②当QM、NF为对角线时，∴5+r=4−4+解得r=−1，∴Q−1,8③当QF、NM为对角线时，∴r=4+51解得r=9，∴Q9,8综上所述，Q的坐标为：1,0或−1,8或9,8．

【题型05：二次函数与菱形存在性问题】9．如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C0,3，与x轴分别交于点A，点B3,0(1)求二次函数y=ax(2)连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，若四边形PO(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标【答案】(1)y=−(2)P(3)P【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）由题意可得OC=3，连接PP′，由菱形的性质可得PP′垂直平分OC，从而可得点P的纵坐标为32（3）连接AC、CP、BP，求出A−1,0，则AB=4，计算可得S△ABC=6，直线BC的解析式为y=−x+3，作PD∥y轴交直线BC于D，设Pm,−m2+2m+3【详解】（1）解：将C0,3，B3,0代入二次函数的解析式得：9a+6+c=0c=3解得：a=−1c=3∴二次函数的解析式为y=−x（2）解：∵C0,3∴OC=3，如图，连接PP，∵四边形POP∴PP′垂直平分∴点P的纵坐标为32∵点P是直线BC上方的抛物线上一动点，∴令y=32，则解得：x1=2+∴P2+（3）解：如图，连接AC、CP、BP，，在y=−x2+2x+3中，当y=0时，−x2∴A−1,0∵B3,0，C∴AB=4，OC=3，∴S△ABC设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0将C0,3，B3,0代入y=kx+bk≠0解得：k=−1b=3∴直线BC的解析式为y=−x+3，作PD∥y轴交直线BC于D，∵点P是直线BC上方的抛物线上一动点，∴设Pm,−m2∴PD=−m∴S==6+=−=−3∵−32<0∴当m=32时，S四边形当m=32时，−m【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质，二次函数综合—面积问题，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．20．如图，已知抛物线C1:y=−x2+bx+c与y轴相交于点C(0,1)，对称轴为直线x=2．坐标原点为O点，抛物线C(1)抛物线的关系表达式；(2)将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2，C2与C1相交于点E，点F为抛物线C1对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F【答案】(1)y=−(2)点H的坐标为−1,3或1,−2或3,4+6或【分析】本题考查了利用待定系数法求点的坐标以及设点的坐标的能力，同时还考查了二次函数图象平移的性质与数形结合分析图形并求解点的坐标的能力．（1）由对称轴方程可求出b=4，由点C0,1代入可求出c=1，从而可得抛物线的解析式为y=−（2）求出点E坐标，设Ha,b,F2,t，分CF,EF为邻边，CE,FH为对角线；CE,CF为邻边，EF,CH为对角线；CE,EF为邻边，CF,EH为对角线三种情况，以邻边相等求出t【详解】（1）解：∵抛物线C1：y=−x2+bx+c与∴c=1；∵抛物线的对称轴为直线x=2．∴−b∴b=4，∴抛物线的解析式为：y=−x（2）解：∵y=−向左平移两个单位后抛物线的解析式为y=−x−2+2联立y=−x解得x=1y=4∴E1,4∵抛物线y=−x2∴可设F2,t,①如图，CF,EF为邻边，CE,FH为对角线时；CF2=2−0又CF∴t2解得，t=2，∴F2,2又CE的中点坐标为1+02,1+4∴a+22=1∴a=−1,b=3，∴H−1,3②CE,CF为邻边，EF,CH为对角线时，如图，同理：E又C∴t2解得，t=1±6当t=1+6时，FEF的中点坐标为32∴a2∴a=3,b=4+6∴H3,4+当t=1−6,时，EF的中点坐标为32∴a2∴a=3,b=4−6∴H3,4−③CE,EF为邻边，CF,EH为对角线，如图，同理：EC又EC∴t解得，t=1,t=7（C、E、F三点共线，不符合题意舍去），∵F2,1∴CF的中点坐标为1,1，∴a+12解得，a=1,b=−2，∴H1,−2综上，点H的坐标为−1,3或1,−2或3,4+6或3,4−21．如图，抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于A−1,0,B4,0两点，与(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，求四边形ACPB面积的最大值及此时P点的坐标；(3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)四边形ACPB面积的最大值为9，此时点P的坐标为2,−3；(3)32,712−2或【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）连接OP，设点P的坐标为t,12t2−（3）设点F的坐标为32,m，分两种情况：当BC为边，BF为对角线时，BC=CF；当BC为边，CF为对角线时，【详解】（1）解：把点A−1,0,B4,0a−b−2=016a+4b−2=0解得：a=1∴抛物线的解析式为y=1（2）解：∵点A−1,0∴OA=1,OB=4，当x=0时，y=−2，∴点C0,−2∴OC=2，如图，连接OP，设点P的坐标为t,1∴四边形ACPB面积===−=−t−2∵−1<0，∴当t=2时，四边形ACPB面积最大，最大值为9，此时点P的坐标为2,−3；（3）解：∵点A−1,0∴抛物线的对称轴为直线x=−1+4设点F的坐标为32当BC为边，BF为对角线时，BC=CF，即BC∴42解得：m=±71∴点F的坐标为32,71当BC为边，CF为对角线时，BC=BF，即BC∴42解得：m=±55∴点F的坐标为32,55综上所述，点F的坐标为32,712−2或3【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．22．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC(1)求抛物线的解析式；(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为．(3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；(4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)1(3)点E坐标为32,−214(4)点N坐标为−2,210，−2,−210，2,0【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、一元二次方程，一次函数的图象和性质、轴对称图形的性质、菱形的判定及性质，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．（1）根据点A和点C的坐标，采用待定系数法即可求得答案．（2）点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，直线BC与对称轴的交点D即为所求．（3）设过点E与直线BC平行的直线l的解析式为y=2x+n，根据题意可知，当直线l的图象与抛物线y=x2−2x−8的图象只有一个交点时，点E到直线BC的距离最大，此时△BCE的面积最大，求得点E（4）分两种情况讨论：①当点M位于原点O上方时，根据OC=OM，OA=ON，即可求得点N的坐标；当点M位于点C下方时，先求得直线MN的解析式，根据CM∥AN，可求得点N的横坐标，进而求得点【详解】（1）解：∵OA=2，OC=6∴A−2,0，C∵抛物线y=x2+bx+c过点A∴4−2b+c=0解得：b=−1c=−6∴抛物线解析式为y=x（2）∵当y=0时，x2解得x1=−2，∴B3,0则抛物线对称轴为直线x=∵点D在直线x=12上，点A、B关于直线∴xD=∴当点B、D、C在同一直线上时，CΔ设直线BC解析式为y=kx−6，将B3,0∴3k−6=0，解得k=2∴直线BC:y=2x−6∴y∴D故答案为12（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F设Et,t2∴EF=2t−6−∴S==1∴当t=32时，∴y∴点E坐标为32,−214时，（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．∵A−2,0，C∴AC=2①AC为菱形的边长，如图，则AN1=AC=210,A∴N1−2,210，N②若AC为菱形的对角线，如图，则AN4设N4AM4=A∴OM=OC−CM∵A∴−n=解得：n=−∴N综上所述，点N坐标为−2,210，−2,−210，2,0，23．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点B2,0和点(1)求抛物线的函数表达式；(2)求△ADB面积的最大值；(3)若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD是菱形，直接写出D的坐标．【答案】(1)y=−2(2)2(3)D【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形面积，二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法，二次函数与图形面积，特殊四边形的综合运用技巧是关键．（1）根据题意得到A0,4，由抛物线与x轴的交点可设y=ax−2x+1（2）如图所示，过点D作DM⊥x轴于点M，交AB于点N，运用待定系数法可得直线AB的解析式为y=−2x+4，设点D(m,−2m2+2m+4)0<m<2，则点Nm,−2m+4（3）设D(t,−2t2+2t+4)，G(t,−2t+4)，则DG=(−2t2【详解】（1）解：抛物线y=ax当x=0时，y=4，∴A0,4∵抛物线与x轴交于点B2,0，C∴设y=ax−2x+1，将点得：−2a=4，解得：a=−2，∴y=−2(x−2)(x+1)=−2x∴该抛物线的函数表达式为y=−2x（2）解：D为第一象限的抛物线上一点，如图所示，过点D作DM⊥x轴于点M，交AB于点N，设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A0,4，B∴2k+b=0b=4解得：k=−2b=4∴直线AB的解析式为y=−2x+4，设点D(m,−2m2+2m+4)∴DN=−2m∴S△ABD∵−2<0，∴当m=1时，△ADB面积的最大值为2；（3）解：设D(t,−2t2+2t+4)∴DG=(−2t∵四边形AFGD是菱形，∴AD=DG，∴t2解得：t1=0，∴D1124．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B4,0两点，与y轴交于点C0,−8(1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式；(2)连接PO,PC，并将△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，是否存在点P，使得四边形PO(3)在点P的运动过程中，当四边形ABPC的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．【答案】(1)点A的坐标为−2,0，该抛物线的函数表达式为y=(2)存在这样的点P，此时点P的坐标为1+(3)当点P运动到2,−8时，四边形ABPC的面积最大，四边形ABPC的最大面积为32【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题，（1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式，再令y=0求出点A的坐标即可；（2）连接PP′交CO于点D，结合菱形的性质可得PC=PO，且PD⊥CO，进一步求得点P的纵坐标为−4，代入函数解析式有x2（3）连接PO，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点P的坐标为m,m2−2m−8．则AO=2，OB=4，PM=−m2【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B4,0两点，与把B4,0，C0,−8代入得16a+4b+c=0c=−8解得∴该抛物线的函数表达式为y=x当y=0时，0=x2−2x−8，解得x=4∴点A的坐标为−2,0；（2）解：假设抛物线上存在点P，使四边形POP′C为菱形，连接PP′∵四边形POP′C为菱形，∴PC=PO，且PD⊥CO，∴OD=DC=4，即点P的纵坐标为−4．由x2−2x−8=−4，得x1故存在这样的点P，此时点P的坐标为1+5（3）解：连接PO，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点，如图，设点P的坐标为m,m∵A−2,0，B4,0，∴AO=2，OB=4，PM=−m2+2m+8∴=1∵−2<0，0<m<4，∴当m=2时，S有最大值，最大值为32，此时m2此时点P的坐标为2,−8，即当点P运动到2,−8时，四边形ABPC的面积最大，四边形ABPC的最大面积为32．【题型06：二次函数与矩形存在性问题】25．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于A−1,0、B3,0两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点D的坐标为1,4，连接(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上B、D两点之间的部分（不包含B、D两点），是否存在点G，使得S△BGH=3S(3)如图②，将拋物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，M为直线x=1上一个动点，在平面内是否存在一个点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是以BE为对角线的矩形，若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)存在，G(3)N点坐标为2,−1或2,2．【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可；（2）求出直线BC的解析式，过点G作GM∥x轴交对称轴于点M，过点G作GN∥y轴交直线BC于点N，分别表达出G，（3）设点E关于直线BC的对称点为E′，利用折叠和等腰三角形的性质求得E0,1．设M1,n，求得EM2=n2−2n+2【详解】（1）解：∵拋物线的顶点D的坐标为1,4，∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)∵抛物线过点A−1,0∴a−1−1解得a=−1，∴抛物线的解析式为y=−x−1（2）解：存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为y=−x令x=0，则y=3，∴C0,3设直线BC的解析式为y=kx+b，代入C0,3和Bb=33k+b=0解得：k=−1b=3∴直线BC的解析式为：y=−x+3，∵抛物线的对称轴与BC交于点H，∴把x=1代入y=−x+3可得：y=2，∴H1,2∴DH=2，过点G作GM∥x轴交对称轴于点M，过点G作GN∥y轴交直线设点G的坐标为m,−m2+2m+31<m<3，则∴GM=m−1，GN=−m∴S△BGH=1∵S△BGH∴−m解得m=3或m=−∴G3（3）解：由（2）知，OB=OC=3，又∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，设点E关于直线BC的对称点为E′则CE=CE′，∵∠OCB=45°，∴∠CEE∴∠CE即△ECE∴∠ECE由抛物线的对称性可知，E′∴CE∴CE=2，∴OE=1，∴E0,1∵BE是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线，∴∠BME=90°，设M1,n∵EM2=12∴n2∴n=2或n=−1，当n=2时，M1,2∴N2,−1当n=−1时，M1,−1∴N2,2综上所述：N点坐标为2,−1或2,2．【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键．26．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,6)(1)求抛物线的表达式和顶点M的坐标；(2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为Q，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使以A，P，Q，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=2x2−8x+6(2)点Q的坐标为3,−32或(1,−2)，当点Q的坐标为3,−32时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移12【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可（2）设P(2,m)，分三种情况讨论：①以AQ为对角线时，由AP2+AM2=PM2，求出m的值，再由中点坐标公式，求得Q3,−32，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移12个单位长度；②以本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C(0,6)，∴y=ax将A(1,0)，B(3,0)代入y=ax得a+b+6=0,9a+3b+6=0,解得∴抛物线的表达式为y=2x∴y=2x∴顶点M的坐标为(2,−2)；（2）存在．如图，设P(2,m)．①以AQ为对角线．此时AP2=(2−1)2∴AP即1+m2+5=∵AQ，PM为矩形的对角线，∴由中点坐标公式，得Q3,−∴平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移12②以AM为对角线．∵∠APM=90°，∴点P在x轴上，∴P(2,0)，则Q(1,−2)，∴平移的方向为向左平移1个单位长度．③以AP为对角线时，矩形不存在．综上所述，点Q的坐标为3,−32或(1,−2)，当点Q的坐标为原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移12当点Q的坐标为(1,−2)时，原抛物线向左平移1个单位长度．27．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），点A、B的坐标分别是−1,0、3,0，与y轴交于点C，点C的坐标是0,3，点D(1)求抛物线的解析式；(2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，求线段FG的最大值；(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，求点P和Q的坐标．【答案】(1)y=x+1(2)9(3)P0,−12或P0,【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）记AD于y轴的交点为E，证明△OAE为等腰直角三角形，过F作FN∥y轴交AD于N，△FGN为等腰直角三角形，则FG=22FN（3）如图，当P在AM的右边，记直线AM交y轴于R，y=−x2+2x+3=−x−12+4，则M1,4，求解直线AM的解析式为y=2x+2，可得R0,2，设P0,y，而四边形APQM为矩形，可得∠RAP=90°，再利用勾股定理建立方程求解P0,−1【详解】（1）解：把A−1,0，3,0，0,3分别代入y=ax2解得a=−1b=2∴抛物线的解析式为y=−x（2）解：由（1）知y=−x∴抛物线对称轴为直线x=1，∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D2,3设直线AD的解析式为y=kx+b，把A−1,0，D2,3分别代入得解得k=1b=1∴直线AD的解析式为y=x+1记AD于y轴的交点为E，当x=0时，y=x+1=1，则E0,1∴OA=OE，∴△OAE为等腰直角三角形，∴∠EAO=∠AEO=45°，过F作FN∥y轴交AD于∴∠FNG=45°，∴△FGN为等腰直角三角形，∴FG=2设Fx,−x2∴FN=−x当x=12时，FN有最大值∴FG的最大值为：94（3）解：如图，当P在AM的右边，记直线AM交y轴于R，y=−x2+2x+3=−设直线AM的解析式为y=mx+n，把A−1,0、M1,4分别代入得解得m=2n=2∴直线AM的解析式为y=2x+2，当x=0时，y=2x+2=2，则R0,2设P0,y，而四边形APQM∴∠RAP=90°，∴2−y解得：y=−12，即由平移的性质可得：Q2,如图，当P在AM的左边，同理可得：y−22解得：y=92，即由平移的性质可得：Q−2,综上：Q2,72【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键．28．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A−1,0、B3,0两点（点A在点B的左边），与y(1)求直线AD和抛物线的表达式；(2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，求线段FG的最大值；(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，【答案】(1)直线AD解析式为y=x+1；抛物线表达式为y=−(2)线段FG的最大值为9(3)Q2,7【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，则可求得点C的坐标与抛物线的对称轴，从而求得点D的坐标，再用待定系数法即可求得直线AD的解析式；（2）设AD交y轴于点E，则△OAE为等腰直角三角形；过F作FN∥y轴交AD于点N，则△FGN为等腰直角三角形，FG=22FN（3）分两种情况：当点P在AM的右边时，设直线AM交y轴于点R，易得M(1,4)，求出直线AM的解析式y=2x+2，得点R的坐标；设P(0,y)，由四边形APQM为矩形，可得∠RAP=90°，再利用勾股定理建立方程求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标；当点P在AM的左边时，同理求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标．【详解】（1）解：把A、B两点坐标分别代入y=−x2+bx+c解得：b=2c=3∴y=−x上式中令x=0，得y=3，即C(0,3)；∵抛物线的对称轴为直线x=1，C、D关于对称轴对称，∴D(2,3);设直线AD解析式为y=kx+p，把A、D两点坐标代入得：−k+p=02k+p=3解得：k=1p=1∴直线AD解析式为y=x+1；（2）解：如图，设AD交y轴于点E，当x=0时，y=0+1=1，则E(0,1)，∴OA=OE=1，∴△OAE为等腰直角三角形，∴∠EAO=∠AEO=45°；过F作FN∥y轴交AD于点N，则∴△FGN为等腰直角三角形，∴FG=2设F(m,−m2+2m+3)∴FN=−m由于二次项系数为负，则当m=12时，FN有最大值∴FG=2即FG的最大值为92（3）解：如图，当点P在AM的右边时，设直线AM交y轴于点R，∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x=1时，y=−1即M(1,4)；设直线AM的解析式y=k1x+b1∴直线AM的解析式y=2x+2，上式中令x=0，则y=2，即R(0,2)；设P(0,y)，∵四边形APQM为矩形，∴∠RAP=90°，由勾股定理得AP即1+y解得：y=−12，即∵AP∥∴由平移得Q2,如图，当点P在AM的左边时，同理：由勾股定理得：PM即12解得：y=9即P0,由平移得：Q−2综上，Q2,72【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解题的关键．29．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线y=−x+3经过B(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)N0,7【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．（1）先根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）先根据二次函数的性质求得顶点为M1,4，设N0,n,Qp,q，然后分∠BMN=90°、【详解】（1）解：∵B、C分别是直线y=−x+3与x轴，y轴的交点，∴点B的坐标为3，0，点C的坐标为∵B、C在抛物线y=−x∴−9+3b+c=0c=3，解得：b=2∴抛物线解析式为y=−x（2）解：∵抛物线解析式为y=−x∴顶点M1,4设N0,n①如图：当∠BMN=90°时，则1+p2=3∴N0,②如图：当∠NBM=90°时，则1+02=3+p∴N0,−所以N0,72【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】30．如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交x轴于点D．已知线段AB=5，直线y=−12(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)存在，P1(32,4)，【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，两点间距离公式，等腰三角形的定义等知识点．（1）先根据一次函数求出点B坐标，再由AB=5求出A坐标，然后由待定系数法求解即可；（2）先求出对称轴为直线x=32，则D32,0，然后设P32【详解】（1）解：对于y=ax2+bx+2∴C0,2将C0,2代入y=−12∴y=−1当y=0，−1解得：x=4，∴B4,0∵AB=5，∴A−1,0将A,B代入y=ax2解得：a=−1∴抛物线的表达式为y=−1（2）解：存在，由y=−12x2∴设P3则PC2=32①PC=CD时，p2解得：p=4或p=0（舍），∴P3②PC=PD时，p2解得：p=25∴P3③当CD=PD时，p2解得：p=±5∴P32,综上：当△PCD是等腰三角形，P1(32,4)，P31．如图，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是(1)求抛物线的解析式；(2)第一象限内的抛物线上有一动点P，使△BCP的面积最大，求点P的坐标和△BCP面积的最大值；(3)对称轴与x轴交于点N，在对称轴上找一点M，使△MNC是以CN为腰的等腰三角形，求点M的坐标．【答案】(1)y=−(2)32,(3)点M的坐标为1,−10，1,10【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．（1）用待定系数法即可求解；（2）如图，过点P作PE∥y轴交BC于点E，先用含m的解析式表示出S△BCP（3）分①当CN=MN=10时，②当CN=C【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴−b∴b=−2a①将A−1,0代入y=ax2由①②得，a=−1，b=2，∴抛物线的解析式为y=−x（2）解：令y=0得0=−x∴x1=3，∴B3,0令x=0得y=3，∴C0,3设直线BC的解析式为y=kx+b∴3k+b1=0∴直线BC的解析式为y=−x+3，如图，过点P作PE∥y轴交BC于点E，设P点坐标为m,−m2+2m+3，则E∴PE=−m∴S△BCP∴当m=32时，S△BCP∴y=−m∴此时P点坐标为32（3）解：∵对称轴与x轴交于点N，∴N1,0∴ON=1，∵C0,3∴OC=3，∴CN=O①当CN=MN=10如图所示有M11,−10②当CN=CM3=10时，过点∵CN=CM3，∴M3∴M3综上所述：点M的坐标为1,−10，1,10，32．如图，直线y=x−3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=−x2+mx+n与x轴的另一个交点为A(1)求3m+n的值；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)9(2)存在，2,1−25或2,1+25或2,−【分析】本题考查的是二次函数综合运用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．（1）求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；（2）分CP=PQ、CP=CQ、CQ=PQ三种情况，分别求解即可．【详解】（1）直线y=x−3，令y=0，则x=3，令x=0，则y=故点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,−3)，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：n=−30=−9+3m+n解得：m=4n=−3则抛物线的表达式为：y=则点A坐标为(1,0)，顶点P的坐标为(2,1)，∴3m+n=12−3=9；（2）设Q2,t①当CP=CQ时，如图，则C点纵坐标与PQ中点的纵坐标相同，∵P2,1∴1+t2解得：t=−7，故此时Q点坐标为(2,−7)；②当CP=PQ时，如图，∵P2,1,C∴PQ=PC=2−0故此时点Q的坐标为(2,1−25)或③当CQ=PQ时，如图，∴QC2∴2解得：t=−3故此时点Q的坐标为(2,−3综上所述，点Q的坐标为(2,1−25)或(2,1+25)或33．如图，已知抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于点A，B1,0（A在B的左侧），与y轴交于点(1)求出抛物线的表达式；(2)若∠CAB的角平分线与在第一象限的抛物线交于点P，求点P的横坐标；(3)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M．使得以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为y=−(2)点P的横坐标为2−(3)点M坐标为−1,14或−1,−14或−1,3+【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，分类讨论是解本题的关键．（1）直接利用待定系数法求解解析式即可；（2）作∠CAB的角平分线交y轴于点E，交抛物线y=−x2−2x+3于点P，过点E作EF⊥AC于点F，得到EF=OE，先求出点A的坐标，推出∠OCA=45°，进而得到CF=EF，设E0,n，则OE=EF=CF=n，由勾股定理可得CE=2n，结合CE=OC−OE=3−n，可求出n，进而得到E0,3（3）求解抛物线的对称轴为直线x=−1，设M−1,m，求解A−3,0，可得AC2=18【详解】（1）解：将B1,0，C0,3代入抛物线a−2+c=00−0+c=3解得：a=−1c=3∴抛物线的表达式为y=−x（2）如图，作∠CAB的角平分线交y轴于点E，交抛物线y=−x2−2x+3于点P，过点E作EF⊥AC∴EF=OE，令y=0，则−x解得：x1=−3，∴A−3,0∵C0,3∴OA=OC=3，∴∠OCA=45°，又∵EF⊥AC，∴CF=EF，设E0,n，则OE=EF=CF=n∴CE=C又∵CE=OC−OE=3−n，∴3−n=2解得：n=32∴E0,3设直线AP的解析式为y=kx+b，将A−3,0，E−3k+b=00+b=3解得：k=2∴直线AP的解析式为y=2联立：y=2解得：x=−∵点P在第一象限，∴x=−即点P的横坐标为2−2（3）解：∵抛物线的表达式为y=−x∴抛物线的对称轴为直线x=−−2设M−1,m∴AC2=32如图，当AC=AM时，∴m2解得：m=±14∴M−1,14或当AC=CM∴m2−6m+10=18即解得：m=3±17∴M′−1,3+17综上：点M坐标为−1,14或−1,−14或−1,3+1734．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A−3,0，C0,4两点，且与x(1)求抛物线的表达式；(2)已知点M是抛物线对称轴上一点，当△MBC的周长最小时，求M点的坐标．(3)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(4)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)M(3)S=252(4)P的坐标为：−1,0或−1,13或−1,−13【分析】（1）把点A−3,0，点C0,4的坐标带入y=ax2+bx+c，再根据对称轴x=−b2a（2）设直线AC与对称轴的交点为点E，设直线AC的解析式为：y=kx+bk≠0，把点A，点C的坐标代入，求出解析式，再根据点E在AC上，求出点E的坐标；根据直线x=−1垂直平分AB，则MA=MB，EA=EB；根据等量代换，三角形三边的关系，则MA+MC≥AC，当点M在直线AC上，则MA+MC有最小值，根据C△MBC=MB+MC+BC（3）根据题意，则点Dm,−43m2−83m+4，过点D作DG⊥x轴交AC于点F，则点Fm,43m+4，求出DF的值，根据四边形ABCD面积S为：S△ADC+S△ABC，且S（4）根据等腰三角形的性质，分类讨论：①当点P与点B关于y轴对称，则PC=PB，求出点P的坐标；②延长BC交直线x=−1于点P′，此时CP′=CP=BC，三点共线，不存在以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形；③当BP1=BC，求出点P【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A∴9a−3b+4=0c=4∵对称轴为直线x=∴x=∴b=2a，解得：a=−4∴抛物线的解析式为：y=−4（2）设直线AC与对称轴的交点为点E，设直线AC的解析式为：y=kx+bk≠0∴0=−3k+bb=4解得：k=4∴直线AC的解析式为：y=4∴点E−1,∵直线x=−1垂直平分AB，∴MA=MB，EA=EB∴MA+MC=MB+MC，EB+EC=EA+EC=AC，当点M与点E重合时，MA+MC=AC，此时MA+MC有最小值，∴MB+MC=MA+MC=EB+EC=AC，此时MB+MC的值最小，∵C△MBC=MB+MC+BC，∴当点M−1,83故答案为：M−1,（3）过点D作DG⊥x轴交AC于点F，设点D的横坐标为m，∴Dm,−43∴DF=−4∵四边形ABCD的面积=S△ADC+∴S△ADC∴S△ADC当m=−32时，S△ADC∵S△ABC∴当m=−32时，四边形ABCD面积S有最大值为：∴点D−（4）存在，理由如下：∵点A−3,0，对称轴x=−1∴点B1,0∴BC=O设