2023年高考数学概率与统计知识点

高中数学之概率与记录

求等也许性事件、互斥事件和互相独立事件的概率

解此类题目常应用如下知识：

⑴等也许性事件(占典概型川勺概率:P(A)=EI=叱

等也许事件概率口勺计算环节：

计算一次试验的基本领件总数〃;

设所求事件A,并计算事件A包括的基本领件H勺个数团;

P(A)=—

依公式”求值;

答,即给问题•种明确日勺答复.

(2)互斥事件有一种发生的概率:P(A+B)=P(A)+P(B);

特例：对立事件H勺概率:P(A)+P(EI)=P(A+回)=1.

⑶互相独立事件同步发生的概率:P(A-B)=P(A)•P(B);

特例：独立反复试验的概率:Pn(k)=l3.其中P为事件A在•次试验中发生的概率，此式为二

项式[(1-P)+P]n展开H勺第k+1项.

⑷处理概率问题要注意,'四个环节，一种结合”：

求概率H勺环节是：

第一步，确定事件性质团

即所给H勺问题归结为四类事件中H勺某一种.

第二步，判断事件日勺运算团

即是至少有一种发生，还是同步发生，分别运用相加或相乘事件.

第三步，运用公式团求解

例L第四步，答，即给毙出的问题有一种明确的答复.

例2.在五个数字国中，。

若随机取出三个数字，则剩余两个数字都是奇数的概率是(成

果用数值表达）.

qC33

C；5x410-

［解答过程］03提醒：2

例2.一种总体具有100个个体，以简朴随机抽样方式从该总体中抽取一种容量为5的样本,

则指定日勺某个个体被抽到的概率为

［解答过程］20提醒：10020

例3.接种某疫苗后，出现发热反应W、J概率为0.80.既有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热

反应的概率为.（精确到0.01）

［考察目H勺］本题重要考察运用组合、概率的基本知识和分类计数原理处理问题的能力，以及

推理和运算能力.

［解答提醒］至少有3人出现发热反应的概率为

C；O.8O30.2。2+C；-0.804•0.20+C/-O.8O5=0.94

故填0.94.

离散型随机变量的分布列

1.随机变量及有关概念

①随机试验的成果可以用一种变量来表达，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母1、n

等表达.

②随机变量也许取口勺值，可以按一定次序一一列出，这样的J随机变量叫做离散型随机变量.

③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量M做持续型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

①离散型随机变量的分布列的概念和性质

■般

地，

设离

散型••••••

随机

变量团

也许

取日勺

值为

段

团，•••

为随机变量邮勺概率分布，简称那9分布列.

•••

/

团，•••由概率的性质可知，任一禽散型随机变量的

…，0

取每分布列都具有下述两个性质：

一种

(1)0,01,2,…;(2)0-=1.

值0

(01,②常见的离散型随机变量日勺分布列：

2,…

…)的J(1)二项分布

概率P

(0)

题

则称

下表.

PP1P2•••P♦・♦

0次独

立反复

试验

中，事

件A发

生的次

数团是

一种随

机变

量，其

所有也

许的取01•••k•••n

值为0,

1,

2,…n,

并且团，

其中团，

团随

机变量

0口勺分

布列如

下：

g

pO尸•••C：PZ°

称这样随机变量团服从二项分布，记作团其中团、团为参数，并记:团.

(2)几何分布

在独立反复试验中，某事件第•次发生时所作的试验的次数回是•种取值为正整数的离散型

随机变量，“团”表达在第k次独立反复试验时事件第一次发生.

随机变

量团的

概率分123•••k•••

布为：

彳

2••••••

PPqpqpq"\p

例1.

厂家在产品出厂前，需对产品做检查,厂家将一批产品发给商家时，商家按协议规定也需随机

抽取一定数量的产品做检查，以决定与否接受这批产品.

(I)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检查，求至少有1

件是合格的概率：

(II)若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按协议规定该商家从中任取2件.都

进行检查，只有2件都合格时才接受这批产品.否则拒收，求出该商家检查出不合格产品数引向

分布列及期望石与并求出该商家拒收这批产品的概率.

［解答过程］(I)记“厂家任取4件产品检查，其中至少有1件是合格品”为事件A

用对立事件A来算，有回

(II)13也许的取值为团.

小=0)=冬=些

V)C2190,

V>G)190,

P(^=2)=-S-=—

,)£190

012

136513

p

190190190

记“商家任取2件产品检查，都合格”为事件B,则商家拒收这批产品的概率

'）19095.

因此商家拒收这批产品的概率为固

例12.

某项选拔共有三轮考核，每轮设有一-种问题，能对的回答问题者进入卜一轮考核，否则即被

淘汰.已知某选手能对的问答第一、二、三轮的问题H勺概率分别为0、团、团，且各轮问题能否对

时回答互不影响.

（I）求该选手被淘汰的概率；

（II）该选手在选拔中回答问题日勺个数记为&求随机变量回的分布列与数学期望.

（注：本小题成果可用分数表达）

［解答过程］解法一：（I）记“该选手能对日勺回答第回轮的问题”的事件为团，则&团，回，

该选手被淘汰的概率

P=P（%+AA+&A2%）=P（W）+P（A）P（A）+尸（A）P（4）尸（4）

142433101

=—+-X-+—X-X-=---

555555125.

（II）团的也许值为胤团，

———428

P（^=2）=P（AA）=P（A）^（A2）=-X-=—

4312

=3）=P（A4）=P（A）P（A,）=-X-=—

JJ„.

'J口勺分布列为

自123

\_812

P

52525

解法二：（I）记“该选手能对的I回答第回轮日勺问题”的事件为团，则胤团团.

同该选手被淘汰的概率史.

(II)同解法一.

(3)离散型随机变最日勺期望与方差

随机变量"勺数学期望和方差

(1)离散型随机变量的数学期望:回…；期望反应随机变量取值的平均水平.

⑵离散型随机变量的方差：回…团…；

方差反应随机变最取值的稳定与波动，集中与离散的J程度.

⑶基本性质：回：0.

⑷若(3〜B(n,p),则0;D0=npq(这里q=l-p);

假如随机变量而服从几何分布,团，则团,D团至其中q=l-p.

例012n0i2

1.甲、

乙两名

工人加

工同一

种零

件，两

人每天

加工的1

零件数

相等，

所得次

品数分

别为

£、n,

£和n

时分布

列如

下：

£

P612p532

loToioToW

则比较两名工人的技术水平日勺高下为

思绪：一是要比较两名工人在加工零件数相等H勺条件下B次品数H勺平均值，即期望；二是要

看出次品数H勺波动状况，即方差值日勺大小.

解答过程：工人甲生产出次品数£的期望和方差分别为：

f：=Ox—+lx—+2x—=0.7

6101010,

DE=(0-0.7尸x9+(I—o.7)2x—+(2-0.7)2x—=0.891

101010.

工人乙生产出次品数n的期望和方差分别为：

ca9539

£0x—J2_2X—=0.7=(0-O.7)2X—+(1-O.7)2x—+(2-0.7)2x—=0.664

,;=1()+X1()+1(),101010

由E£=En知，两人出次品的平均数相似，技术水平相称，但D£>D*可见乙的技术比较稳

定.

小结：期望反应随机变量取值日勺平均水平；方差反应随机变量取值的稳定与波动，集中与离

散的程度.

例2.

某商场

经销某

商品，根

据以往

资料记

录，顾客

12345

采用的

付款期

数团於J分

布列为

P0.40.20.20.10.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250

元；分4期或5期付款，其利润为300元.(3表达经销一件该商品的利润.

(I)求事件团：“购置该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率团;

(II)求团的分布列及期望因

［解答过程］(I)由团表达事件“购置该商品口勺3位顾客中至少有1位采用1期付款”.

知.表达事件”购置该商品H勺3位顾客中无人采用1期付款”

团，回.

(n)团的j也许取值为团元方元，团元.

产(〃=200)=尸(4=1)=0.4,

PQ7=250)=P(&=2)+P化=3)=0.2+0.2=0.4

P(〃=300)=1-P(?7=2OO)-P(7；=250)=1-0.4-0.4=0.2

〃的分布列为

7200250300

P0.40.40.2

（30（元）.

抽样措施与总体分布的估计

抽样措施

1.简朴随机抽样：设一种总体U勺个数为N,假如通过逐一抽取的措施从中抽取一种样本，且

每次抽取时各个个体被抽到日勺概率相等，就称这样的抽样为简朴随机抽样.常用抽签法和隙

机数表法.

2.系统抽样：当总体中口勺个数较多时，可将总体提成均衡的几种部分，然后按照预先定出的

规则，从每•部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械

抽样）.

3.分层抽样：当已知总体由差异明显日勺几部分构成时，营将总体提成几部分，然后按照各部

分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.

总体分布的估计

由于总体分布一般不易懂得，我们往往用样本的频率分布去估计总体H勺分布，一般地，样本

容量越大，这种估计就越精确.

总体分布：总体取值的概率分布规律一般称为总体分布.

当总体中日勺个体取不一样数值很少时，其频率分布表由所取样本日勺不•样数值及对应的频

率表达，几何表达就是对应的条形图.

当总体中B勺个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表达对应样本日勺频率分布.

总体密度曲线：当样本容量无限增人，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限

靠近于i条光滑曲线，印总体密度曲线.

经典例题

例1.某工厂生产A.B.C三和不一样型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5.现用分层抽样措

施抽出一种容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n=.

解答过程:A种型号的总体是胤则样本容量出固

例2.一种总体中有100个个体,随机编号0,1,2,…,99,依编号次序平均提成10个小组，组

号依次为1,2,3,…，10.现用系统抽样措施抽取•种容量为10的）样本，规定假如在第1组随

机抽取的号码为团，那么在第团组中抽取H勺号码个位数字与团的个位数字相似，若团，则在第7

组中抽取的号码是

解答过程：第K组的号码为团，团，…,团，当m=6时，第k组抽取的号的个位数字为m+kH勺个

位数字，因此第7组中抽取的号码II勺个位数字为3,因此抽取号码为63.

正态分布与线性回归

1.正态分布的概念及重要性质

（1）正态分布的概念

假如持续型随机变量团的概率密度函数为胤x团其中囱、回为常数，并且回＞0,则称团服

从正态分布，记为田（0,（3）.

（2）期望Et2=u,方差圆

（3）正态分布的性质

正态曲线具有下列性质：

①曲线在x轴上方，并且有关直线x=P对称.

②曲线在x=口时处在最高点，由这•点向左右两边延伸时，曲线逐渐减少.

③曲线的对称轴位置由U确定；曲线的形状由（3确定，团越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.

三。原则即为

数值分布在（U—5U+。）中的概率为0.6526

数值分布在（口-2o,u+2o）中日勺概率为0.9544

数值分布在(H-3O,"3O)中II勺概率为0.9974

(4)原则正态分布

当回=0,团=1时回服从原则的正态分布，记作团(0,1)

(5)两个重要的公式

①叭-x)=1一双工),②P(a<4<b)=0S)-0(a)

(6)NJ。?)与N(0,l)两者联络.

若回，则团；

②若助则回.

2.线性回归

简朴的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系日勺一种数学措施.

变量和变量之间的关系大体可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定FI勺函数关系.不确

定性的)两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的)有关关系H勺一种数量

记录措施.它可以提供变量之间有关关系的经验公式.

详细说来，对n个样本数据(团),(团)，…，(回)，其回归直线方程，或经验公式为：国.其

中此其中例分别为阿、|(3|口勺平均数.

例1.假如随机变量g〜N(U,。2