2025-2026学年天津市河西区达标名校数学高二第一学期期末综合测试模拟试题含解析

2025-2026学年天津市河西区达标名校数学高二第一学期期末综合测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线是圆的对称轴，过点A作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.82．已知，，若，则实数的值为（）A. B.C. D.23．过双曲线的左焦点作x轴的垂线交曲线C于点P，为右焦点，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.4．设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（）A. B.C. D.5．已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为（）A. B.C. D.6．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（）A.－23 B.－3C.－12 D.－137．已知圆柱的底面半径是1，高是2，那么该圆柱的侧面积是（）A.2 B.C. D.8．圆的圆心坐标和半径分别为（）A.和 B.和C.和 D.和9．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（）A. B.C. D.10．已知数列为等比数列，则“，”是“为递减数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11．下列命题中是真命题的是（）A.“”是“”的充分非必要条件B.“”是“”的必要非充分条件C.在中“”是“”的充分非必要条件D.“”是“”的充要条件12．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员，依照品级递减石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正三品分得俸粮是（）A.石 B.石C.石 D.石二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆：，：.则这两圆的连心线方程为_________（答案写成一般式方程）14．已知函数，则________15．对某市“四城同创”活动中100名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为的数据不慎丢失，则依据此图可估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在的人数为________16．已知函数，若过点存在三条直线与曲线相切，则的取值范围为___________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在等差数列中，记为数列的前项和，已知：.（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的的值.18．（12分）已知圆：，，为圆上的动点，若线段的垂直平分线交于点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知为上一点，过作斜率互为相反数且不为0的两条直线，分别交曲线于，，求的取值范围.19．（12分）已知函数．其中e为然对数的底数（1）若，求函数的单调区间；（2）若，讨论函数的零点个数20．（12分）已知椭圆的长轴长是6，离心率是.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设O为坐标原点，过点的直线l与椭圆E交于A，B两点，判断是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21．（12分）已知椭圆的右焦点为F(，0)，且点M(－，)在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，过原点O作l的垂线，垂足为P，若，求λ的值.22．（10分）某公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间x/分101112131415等候人数y/人232526292831调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”.（1）若选取的是中间4组数据，求y关于x的线性回归方程=x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”.（2）假设该起点站等候人数为24人，请你根据（1）中的结论预测车辆发车间隔多少时间合适?附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】首先将圆心坐标代入直线方程求出参数a，求得点A的坐标，由切线与圆的位置关系构造直角三角形从而求得.【详解】圆即，圆心为，半径为r=3，由题意可知过圆的圆心，则，解得，点A坐标为，，切点为B则，故选:C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.2、D【解析】由，然后根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：因，，所以，因为，所以，即，解得，故选：D.3、D【解析】由题知是等腰直角三角形，，又根据通径的结论知，结合可列出关于的二次齐次式，即可求解离心率.【详解】由题知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故选：D.4、B【解析】根据椭圆的定义写出，再根据条件即可解得答案.【详解】根据P为椭圆C：上一点，则有，又，所以，故选：B.5、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【详解】，0，，，1，，，，，，在上的投影为，则点到直线的距离为.故选：D6、A【解析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.【详解】因为圆，圆心为，半径为；圆可化为，圆心为，半径，又圆与圆有且仅有一条公切线，所以两圆内切，因此，即，解得.故选：A.7、D【解析】由圆柱的侧面积公式直接可得.【详解】故选：D8、C【解析】利用圆的一般方程的圆心和半径公式，即得解【详解】可化为，由圆心为，半径，易知圆心的坐标为，半径为.故选：C9、B【解析】根据空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B10、A【解析】本题可依次判断“，”是否是“为递减数列”的充分条件以及必要条件，即可得出结果.【详解】若等比数列满足、，则数列为递减数列，故“，”是“为递减数列”的充分条件，因为若等比数列满足、，则数列也是递减数列，所以“，”不是“为递减数列”的必要条件，综上所述，“，”是“为递减数列”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，考查等比数列以及递减数列的相关性质，体现了基础性和综合性，考查推理能力，是简单题.11、B【解析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义依次判断.【详解】当时，，非充分，故A错.当不能推出，所以非充分，，所以是必要条件，故B正确.当在中，，反之，故为充要条件，故C错；当时，，，，充分条件，因为，当时成立，非必要条件，故D错.故选：B.12、D【解析】令位官员(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)所分得的俸粮数是公差为数列，利用等差数列的前n项和求，进而求出正三品即可.【详解】正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员所分得的俸粮数记为数列，由题意，是以为公差的等差数列，且，解得.故正三品分得俸粮数量为（石）.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求出两圆的圆心坐标，再利用两点式求出直线方程，再化成一般式即可【详解】解：圆，即，两圆的圆心为：和，这两圆的连心线方程为：，即故答案为：14、.【解析】将代入计算，利用和互为相反数，作差可得，计算可得结果.【详解】解：函数则.，，作差可得：，即，解得：代入此时成立.故答案为：.15、【解析】首先根据频率分布直方图计算出年龄在的频率，从而可计算出年龄在的人数.【详解】年龄在的频率为，所以年龄在的人数为.故答案为：.16、【解析】设过M的切线切点为，求出切线方程，参变分离得，令，则原问题等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点，根据导数研究g(x)的图像即可求出m的范围【详解】，设过点的直线与曲线相切于点，则，化简得，，令，则过点存在三条直线与曲线相切等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点∵，故当x<0或x>1时，，g(x)单调递增；当0<x<1时，，g(x)单调递减，又，，∴g(x)如图，∴-2<-m-2<0，即故答案为：﹒三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或.【解析】(1)根据给定条件求出数列的公差及首项即可计算作答.(2)由(1)求出，建立方程求解作答.【小问1详解】设等差数列公差为，因，则，解得，于是得，所以数列的通项公式为：.【小问2详解】由(1)知，，由得：，即，解得或，所以使成立的的值是或.18、（1）动点的轨迹的方程为；（2）的取值范围.【解析】(1)由条件线段的垂直平分线交于点可得，由此可得，根据椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆，结合椭圆的标准方程求动点的轨迹的方程；(2)由(1)可求点坐标，设直线的方程为，，联立方程组化简可得，，由直线，的斜率互为相反数可得的值，再由弦长公式求的长，再求其范围.【小问1详解】由题知故.即即在以为焦点且长轴为4的椭圆上则动点的轨迹的方程为：；【小问2详解】故即.设：，联立（*），，∴，，又则：即若，则过，不符合题意故，∴，故19、（1）单调递减区间为，单调递增区间为和；（2）当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点.【解析】(1)求导，令导数大于零求增区间，令导数小于零求减区间；(2)求导数，分、、a＞2讨论函数f(x)单调性和零点即可.【小问1详解】当时，，易知定义域为R，，当时，；当或时，故的单调递减区间为，单调递增区间为和；【小问2详解】当时，x正0负0正单增极大值单减极小值单增当时，恒成立，∴；当时，①当时，，∴无零点；②当时，，∴有1个零点；③当时，，又当时，单调递增，，∴有2个零点；综上所述：当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点【点睛】结论点睛：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用20、（1）；（2）存在，.【解析】(1)根据给定条件求出椭圆长短半轴长即可代入计算作答.(2)当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，与椭圆E的方程联立，利用韦达定理、向量数量积运算，推理计算作答.【小问1详解】依题意，，半焦距为c，则离心率，即，有，所以椭圆E的标准方程为：.【小问2详解】当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由消去y并整理得：，设，则，，，，，，要使为定值，必有，解得，此时，当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨令，，，当时，，即当时，过点的任意直线l与椭圆E交于A，B两点，恒有，所以存在满足条件.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21、（1）（2）【解析】（1）求得，的值即可确定椭圆方程；（2）分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可确定为定值【小问1详解】由题意知：根据椭圆的定义得：，即，所以椭圆的标准方程为【小问2详解】当直线的斜率不存在时，的方程是此时，所以当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由可得显然△，则，因为，