河南省新乡市2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河南省新乡市2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某校高三年级有1200名学生，其中男生有660人，现按男女生人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则女生应抽取的人数是（

）A．22 B．18 C．16 D．142．复数的虚部为（

）A． B． C． D．3．已知集合，若，则实数的值为（

）A．1 B．0 C． D．24．已知，则（

）A． B． C． D．5．已知是函数的两个极值点，且，则的图象的一个对称中心为（

）A． B． C． D．6．某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有（

）A．20排 B．21排 C．22排 D．23排7．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．8．已知椭圆的左､右焦点分别为，点为上一点，设的内切圆为，连接并延长交轴于点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（

）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若是等差数列，则D．若是等比数列，且（为常数），则10．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．有三个单调区间B．在定义域上没有最值C．若有三个零点，且有两个极值点，则成等差数列D．若有三个零点，且有两个极值点，则成等比数列11．我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系中，双曲线（，且为常数）的左､右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两浙近线于点，则（

）A．的离心率B．线段长度的最小值是C．一定是线段的中点D．面积的最小值是三、填空题12．已知非零向量满足，则与的夹角大小为.13．若函数的两个极值点均为正数，则实数的取值范围为.14．在直三棱柱中，，点分别是棱和棱上的点，且为等边三角形，若二面角的平面角为，则.四、解答题15．在中，角的对边分别是，已知.(1)求；(2)若，且的外接圆半径为2，求.16．已知抛物线仅经过中的一点.(1)求的方程；(2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点.17．如图，在四棱锥中，，，且.

(1)求证：；(2)若，求平面与平面所成角的余弦值.18．已知函数.(1)若关于的方程有唯一实数根，求实数的值；(2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.19．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分.已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响.(1)求小明答4道题后积分小于5的概率.(2)设小明答5道题后积分为，求.(3)若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为时最终积分为10的概率为，则.（i）证明：为等比数列；（ii）求的值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河南省新乡市2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题》参考答案题号12345678910答案BDCADBBACDABD题号11答案ACD1．B【分析】根据给定条件，利用分层抽样列式求解.【详解】依题意，高三年级有女生540名学生，因此女生应抽取的人数为.故选：B2．D【分析】根据给定条件，利用复数除法，结合复数概念求解判断.【详解】复数，所以所求虚部为.故选：D3．C【分析】根据给定的交集运算的结果，结合集合元素的互异性求解.【详解】由，得，解得，由，得且，解得且且且，即且且且，由，得，因此，即，则或（舍去），所以实数的值为.故选：C4．A【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解.【详解】由，得.故选：A5．D【分析】结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求出对称中心．【详解】图象上两个极值点，满足，，即，，，所以，所以，，，，当时，，，所以点为函数的图象的一个对称中心．故选：D．6．B【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式列式，再利用单调性确定答案.【详解】依题意，该会场的座位构成以为首项，2为公差的等差数列，其前项和，则，显然数列是递增数列，，由，得，所以该会场的座位至少有21排.故选：B7．B【分析】由的奇偶性和时，，排除选项求解.【详解】因为，且，则是奇函数，排除选项A；当时，，故排除选项C；又，，故排除选项D，故选：B8．A【分析】由题意根据角平分线推可得出，利用比例关系可得出，再结合可求得椭圆的离心率的值.【详解】如图，连接、，是的内心，则、分别是和的角平分线，为的角平分线，

可得，由比例关系性质可知．又因为，所以椭圆的离心率.故选：A．9．CD【分析】求出判断A；求出通项公式进而判断B；利用等差数列性质判断C；找出通项公式，结合等比数列意义判断D.【详解】对于A，，，数列不是等差数列，A错误；对于B，当时，，满足上式，因此，当时，数列不是等比数列，B错误；对于C，是等差数列，，C正确；对于D，当时，，，由是等比数列，得，因此，，D正确.故选：CD10．ABD【分析】求出函数的导数，再求出单调区间及极值判断AB；求出的值判断CD.【详解】函数定义域为，求导得对于A，由，得；由，得或，函数在上单调递减，在上单调递增，A正确；对于B，由选项A知，在处取得极大值，在处取得极小值，而，，因此在上没有最值，B正确；对于CD，，由选项AB，得，，，不成等差数列，成等比数列，C错误，D正确.故选：ABD11．ACD【分析】根据给定条件，求得，进而求出离心率判断A；再设出切点坐标并写出切线方程，联立切线与双曲线方程，借助判别式求出切线方程，然后逐一判断BCD.【详解】设双曲线的半焦距为，当时，，解得，由双曲线的通径为，得，解得，双曲线，对于A，，因此的离心率，A正确；设点，直线不垂直于轴，设直线方程为，由消去得，，化简可得,又，故，切线的方程为，即，渐近线方程为，对于C，由，得，设，则，一定是线段的中点，C正确；对于B，，则，当且仅当时取等号，B错误；对于D，直线交轴于点，的面积，因此面积的最小值是，D正确.故选：ACD12．【分析】由可得，利用平面向量数量积求解夹角即可.【详解】因为，所以，得，且，所以，设向量与的夹角为，则，又，所以．故答案为：.13．【分析】将的两个极值点均为正数转化为有两个正根，由一元二次方程根的分布可求得结果.【详解】由，则，由的两个极值点均为正数，得有两个正根，显然，故需满足，解得.故答案为：.14．1【分析】根据给定条件，利用几何法确定二面角的平面角，再利用直角三角形边角关系求出目标值.【详解】在直三棱柱中，取DE的中点，连接AF，由为等边三角形，得，在平面内过作于，连接FG，由平面，平面,得，而平面，则平面，又平面，于是，又平面，则平面，平面,故,故二面角的平面角，即，依题意，，又，，因此，所以.故答案为：115．(1)；(2).【分析】（1）利用二倍角的余弦公式化简，再利用正弦定理角化边，利用余弦定理求得答案.（2）由（1）利用和角的正弦及正弦定理求解.【详解】（1）在中，由，得，由正弦定理得，由余弦定理得，则，而，所以.（2）由（1）知，又，则，又的外接圆半径为2，由正弦定理得.16．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）借助抛物线对称性确定所过点，进而求出抛物线方程.（2）设出直线方程，与抛物线方程联立求出点坐标，进而求出直线方程即可.【详解】（1）抛物线关于轴对称，而点关于轴对称，若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意，因此点必在抛物线上，，解得，所以抛物线的方程为.（2）由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴，设直线的方程为，则直线的方程为，由消去得，设，则，线段的中点，同理得线段的中点，当时，直线斜率，直线方程为，整理得，直线过定点，当时，或，直线过定点，所以直线过定点.

17．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用直角梯形特征证得，再利用线面垂直的判定性质推理得证.（2）利用余弦定理求出，再利用线面垂直的判定，结合定义法求出二面角的余弦值.【详解】（1）在直角梯形中，，，连接，，，则，，而，平面，因此平面，又平面，所以.

（2）由（1）得，，则，，又，平面，因此平面，而平面，则，作交于，连接，则，而平面，于是平面，又平面，则，是平面与平面所成的角，，又，则，所以平面与平面所成角的余弦值.18．(1)1；(2).【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数探讨函数性质，借助图象求出值.（2）等价变形恒成立的不等式，构造函数，再利用导数分类探讨求出的的范围.【详解】（1）由，得，令，求导得，令，求导得，函数在上单调递减，，当时，，即；当时，，即，函数在上单调递增，在上单调递减，，且当时，，当时，且，作出的大致图象如图：

又，且有唯一的实数根，所以.（2）依题意，不等式在时恒成立，设，求导得，当时，在上恒成立，函数在上单调递增，则，不满足条件；当时，令，则，当，即时，，则当时，，函数在上单调递减，因此，满足条件；当，即时，由，得，当时，，则，在上单调递增，当时，有，不满足条件，所以实数的取值范围为.19．(1)；(2)；(3).【分析】（1）分小明4题都答错，或答对1题，答错3题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案；（2）设小明答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案；（3）（i）根据全概率公式得