江苏省宿迁市沭阳县南湖初级中学2025-2026学年九年级上学期数学10月考试试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省宿迁市沭阳县南湖初级中学2025-2026学年九年级上学期数学10月考试试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．已知的半径为6，为线段的中点，当时，点与的位置关系为（

）A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定3．已知一组数据5，4，，3，9的平均数为5，则这组数据的中位数是（）A．3 B．4 C．5 D．64．有下列五个命题：①等弧所对的圆心角相等；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④长度相等的两条弧是等弧；⑤直角三角形的外心是斜边的中点．其中正确的有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个5．如图，是的直径，弦交于点G．连接，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．6．已知是方程的一个根，则c的值为（

）A． B． C．2 D．17．电影《孤注一掷》于2023年8月8日在中国大陆上映，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达13亿元，若把每天的平均增长率记作x，则方程可以列为（

）A． B．C． D．8．如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心坐标．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（

）A． B． C． D．二、填空题9．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是．

10．一顶简易的圆锥形帐蓬,帐篷收起来时伞面的长度有4米,撑开后帐篷高3米,则帐篷撑好后的底面直径是米．11．九年级某班准备从甲、乙、丙三名同学中选一人参加学校组织的跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是190个/分，方差分别是，，，要从中选一名平均成绩好，且发挥稳定的去参加比赛，则派同学去参赛更合适（填“甲”、“乙”、“丙”）．12．在2025年江苏省城市足球联赛(“苏超”)中，13个地级市分别组建代表队，于5月10日正式开赛．比赛分为常规赛和淘汰赛两个阶段：第一阶段为常规赛，13支球队采用单循环赛制，前八名进入淘汰赛；第二阶段采用单回合淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军．那么本次联赛共进行了场比赛．13．定义：顶点在圆内，并且角的两边与圆相交的角叫圆内角．例如图中为圆内角，设的两边及其反向延长线所夹的弧、的度数分别为、，则的度数是（用、表示）14．如图，正方形的边长为4，以为直径作半圆E，过点D作切半圆E于点G，交于点F，则的长为．15．如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为．16．已知，，且，则的值为．17．如图，在坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，直线l过点P且与AB垂直，点C为l与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为、、，则．18．如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为．三、解答题19．解方程：(1)；(2)．20．已知关于的方程（为常数）．(1)求证：不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的两个实数根为和，且，求的值．21．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE．求证DE∥AB．22．某校举行国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩（单位：分）如下．甲组学生的成绩．5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．根据以上信息．整理分析数据如下．组别平均数中位数众数方差甲组7a62.6乙组77bc(1)填空______，_______，_______；(2)若从甲、乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．23．圆锥的母线长为，底面圆的半径为．(1)侧面展开图的圆心角度数是．(2)如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）．24．已知是的弦．

(1)如图①，只用无刻度的直尺作弦，使；(2)如图②，点Q是圆外一点，用无刻度的直尺和圆规过Q点作弦．25．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？26．如图，在中，，的平分线交于点，为上的一点，，以为圆心，长为半径作，，．

(1)求证：是的切线；(2)求线段的长．27．【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交轴于点、，则、为方程的两个实数根．【探究】（1）由勾股定理得，，，．在中，，所以．化简得：．同理可得：________．所以为方程的两个实数根．【运用】（2）在图2中的轴上画出以方程两根为横坐标的点、．（3）已知点、，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由．【拓展】（4）在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是________．28．在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，称点为点关于点的“伴随点”，图1为点关于点的“伴随点”的示意图．(1)已知点，①当点的坐标分别为时，点关于点的“伴随点”的坐标分别为_______，_______；②点是点关于点的“伴随点”，探究点的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由；(2)如图2，点的坐标为，以为圆心，1为半径作圆，直接写出在上点关于点的“伴随点”的个数以及的纵坐标对应的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《江苏省宿迁市沭阳县南湖初级中学2025-2026学年九年级上学期数学10月考试试卷》参考答案题号12345678答案CCBCCDDA1．C【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，本选项不符合题意；B、化简后为不是一元二次方程，本选项不符合题意；C、是一元二次方程，本选项符合题意；D、不是整式方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．C【分析】点与圆心的距离为圆的半径为当点在圆外，当点在圆上，当点在圆内，根据判定方法可得答案.【详解】解：为线段的中点，，如图，的半径为6，而在的内部，故选C【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系的判定方法是解本题的关键.3．B【分析】先根据平均数的定义求出的值，再把这组数据从小到大排列，然后求出最中间两个数的平均数即可．【详解】解：∵5，4，，3，9的平均数为5，∴，解得：，把这组数据从小到大排列为：3，4，4，5，9，则这组数据的中位数是4；故选B．【点睛】此题考查了平均数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，关键是求出的值．4．C【分析】此题考查了等弧、确定一个圆的条件、三角形的外心等知识，根据相关知识进行逐项判断即可．【详解】解：①等弧所对的圆心角相等，命题正确；②经过不在同一条直线上的三个点一定可以作圆，故选原命题错误；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，命题正确；④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误；⑤直角三角形的外心是斜边的中点，命题正确．综上可知正确的有①③⑤，故选：C5．C【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，圆周角所对的弦是直径，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据圆周角定理得到，，结合，得到，最后根据三角形的外角计算的度数．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故选：C．6．D【分析】先把x=代入方程，解关于c的一次方程即可．【详解】解：∵是方程的一个根，∴，解得c=1．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．7．D【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由第一天为3亿，根据增长率为得出第二天为亿，第三天为亿，根据三天累计为13亿，即可得出关于的一元二次方程．【详解】解：设增长率为，根据题意得：．故选：D．8．A【分析】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以2为半径的圆的周长，据此找到规律求解即可．【详解】解：由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以2为半径的圆的周长，，∴当圆心经过的路径长为时，图形旋转了圈，∵图形每旋转一圈圆心横坐标增加，∴当图形旋转506圈时的横坐标为，再转圈横坐标增加，∴当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是，故选：A．9．1【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解．【详解】解：设这个数为，则有，，，，解得．故答案为：1．10．【详解】解：根据题意可知圆锥的母线长为4米，高3米和地面半径构成直角三角形，底面半径，底面直径为2．【点睛】此题主要考查了圆锥的特点．解此题的关键是要知道圆锥的母线，高和地面半径构成直角三角形，利用勾股定理求出底面半径是一个常用的方法．11．丙【分析】本题考查了利用方差做决策，熟练掌握方差的稳定性是解题关键．只有当两组数据的平均数相等或接近时，才能用方差比较它们波动的大小．方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小，由此即可得．【详解】解：∵甲、乙、丙三名同学的平均成绩都是190个/分，方差分别是，，，且，∴丙同学发挥最稳定，∴派丙同学去参赛更合适，故答案为：丙．12．85【分析】本题主要考查的知识点是常规赛和淘汰赛赛制的比赛场次计算．先计算第一阶段常规赛的比赛场次，再根据第二阶段淘汰赛的比赛场次，最后将两阶段场次相加得到总场次．【详解】解：设总比赛场次为场第一阶段∶单循环赛制，每支球队都要与其他球队比赛一场；每支球队需比赛的场次为球队总数减(不与自己比赛)，支球队共比赛场，但每场比赛被重复计算两次，所以需除以得到实际场次．（场）第二阶段∶淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军，因此，总场次等于第一阶段循环赛场次加上第二阶段淘汰赛场次，（场），故答案为：．13．【分析】本题考查了圆内角的度数推导及圆周角定理的应用，解题的关键是通过作辅助线（如连接）将圆内角转化为两个圆周角的和，再利用“圆周角的度数等于它所对弧度数的一半”的性质推导圆内角度数．连接，利用三角形外角性质（）将圆内角拆分为两个圆周角；其中是弧所对的圆周角，是弧所对的圆周角；根据圆周角与弧的关系，分别表示出两个圆周角的度数，再相加即可得到的度数．【详解】解：连接，

∵是的外角，

∴；

∵是弧所对的圆周角，弧的度数为，

∴；

∵是弧所对的圆周角，弧的度数为，

∴；

∴．故答案为：．14．1【分析】本题考查的是正方形的性质，切线的判定与性质，切线长定理的应用，先证明，．设，再表示，，再利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：∵，，∴，为半圆E的切线，又∵为半圆E的切线，∴，．设，则有，，在中，由勾股定理得，即，解得．故答案为：．15．【分析】如图，为边的高，利用两圆相切的性质得到AB=AC=BC=8，则可判断△ABC是等边三角形，CH=4，易求出OC的长度，则OE=OC+CE，用大圆面积减去15个小圆面积即可．【详解】解：如图，为边的高，所有小圆相切，，为等边三角形，，，，，与相切，的半径，阴影部分的面积．故答案为：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和圆的切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，熟练掌握相关内容是解题的关键．16．3【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系等知识点，先变形得到，则a和可看作方程的两根，然后根据根与系数的关系求解，熟练掌握其性质是解决此题的关键．【详解】∵，∴，∴方程两边同时除以，再乘变形为，∵，∴a和可看作方程的两根，∴，∴，故答案为：3．17．【分析】连接，根据垂径定理可得直线l为的垂直平分线，因此，在中，根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：连接，、，，，P为圆心，且P在直线l上，P到点A、B的距离相等，直线l为的垂直平分线，，在中，，，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．18．/【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，圆周角定理，点到圆上的最短距离，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．过点作轴，交的延长线于点，利用判定出得到，再根据推出点的运动轨迹，取的中点，连接，用勾股定理求出的长，即可求得最小值．【详解】解：如图，过点作轴，交的延长线于点，∵，∴．∵，轴，∴，，∴，又∵，，∴（ASA），∴，∵，∴点在以为直径的圆上，取的中点，连接，∴，，∴当点三点共线时，有的最小值为；故答案为：．19．(1)(2)【分析】本题主要查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）先把原式化为一般式，得，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】（1）解：∴，∴，解得：；（2）解：，整理得：，∴，∴，解得：．20．(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）根据根的判别式，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得出，，利用即可得到k的值．【详解】（1）证明：由题意知，，，，则，所以，无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：由题意知，，，∵，∴，解得：．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根．21．见解析【分析】根据圆周角定理和内接四边形解答即可【详解】∵

AC＝BC，∴

∠A＝∠B．∵

四边形ABED是⊙O的内接四边形，∴

∠EDA＋∠B＝180°，又

∠EDA＋∠CDE＝180°，∴

∠CDE＝∠B，∴

∠CDE＝∠A．∴

DE∥AB．【点睛】此题考查圆周角定理，解题关键是利用内接四边形的性质解答．22．(1)6；7；2(2)选乙组，理由见解析【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数、中位数、众数定义及方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键．（1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；（2）根据平均数，众数，中位数与方差的意义即可得出答案．【详解】（1）解：根据题意得：甲组位于正中间的两个数均为6，∴；乙组中出现次数最多的是7，，乙组数据平均数，；故答案为：6；7；2；（2）解：根据题意得：两组的平均数相同，乙组的中位数，众数均高于甲组，且乙组的方差小于甲组的，∴乙组的成绩较好，∴选乙组．23．(1)(2)【分析】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图，弧长公式，理解圆锥底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长是解题的关键．（1）先求出侧面展开图的弧长，再根据弧长公式即可求出圆心角的度数；（2）如图2，连接，先证明为等边三角形，再证，最后根据勾股定理求得即可．【详解】（1）解：设侧面展开图的圆心角度数为，∵底面圆的半径为，∴侧面展开图的弧长，，，解得：，故答案为：；（2）解：如图2，连接，则线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，的长为，，令，，解得，，，∴为等边三角形，即，，，在中，，即蚂蚁爬行的最短距离为．24．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接并延长，分别交于点C、D，连接，即为所求；（2）先过点O作的垂线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，连接，作的垂直平分线交于点，再以点为圆心，的长为直径作圆，交以点为圆心，的长为半径的圆于点，作射线交于点，再过点作的垂线交于点，作射线交于点，交于点，即线段为所求．【详解】（1）解：所作图形如下：

∵是的直径，∴，∴四边形是矩形，∴；（2）解：所作图形如下：连接，

由作图依据得，，∴，，∴，∴，同理得，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查作线段的垂线、圆外一点作圆的切线、圆周角定理、矩形的性质与判定、垂径定理、切线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质与判定、垂径定理是解题的关键．25．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为(2)该品牌头盔的实际售价应定为元/个【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可；（2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：，解得：或（舍去）；答：该品牌头盔销售量的月增长率为；（2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得：，解得：，∵尽可能让顾客得到实惠，∴；答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个．26．(1)见解析(2)16【分析】（1）过点D作于F，根据和角平分线的性质可得，从而证得结论；（2）首先证明，进而得证，再由，可知．【详解】（1）过点作于，如图所示，

∵，∴，∵平分，，∴，∴是的切线；（2）在和中，∴，∴．∵，∴，即，∴．【点睛】本题考查切线的判定，直角三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握以上知识点．27．（1）；（2）见解析；（3）与x轴相切，理由见解析；（4）【分析】（1）根据题目中给定的解法求解即可；（2）用尺规作图法作出以为直径的圆即可；（3）先根据题意得出方程，再根据判别式，得出圆与x轴的位置关系；（4）仿照（1）的过程即可求得．【详解】解：（1），，，在中，，∴，化简得：，故答案为：；（2）先在坐标系内找到，，连接，则线段中点为，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：（3）与x轴相切，理由如下：由题意得：，∵，∴方程有两个相等