三角函数的概念学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.2.1三角函数的概念【学习目标】1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.(数学抽象)2.掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.(逻辑推理)3.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、正切值.(数学运算)4.掌握公式并会应用.(数学运算)【重点难点】重点：三角函数的概念难点：三角函数的定义【导问引领，新知生成】问题1.初中我们已经学习了在直角三角形里三角函数的定义，那么，一个锐角的正弦，余弦，正切是如何定义的？问题2.我们在平面直角坐标系中，让锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于点M,得一直角三角形OMP，设P(x,y),|OP|=r.则角α的正弦、余弦、正切值分别等于什么吗?，，；思考:对确定的锐角α,sinα,cosα,tanα的值是否随着点P在终边上的位置改变而改变?问题3:当|OP|=1时,sinα,cosα,tanα的值怎样表示?1，任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)定义正弦叫作α的正弦,记作sinα,即sinα=余弦叫作α的余弦,记作cosα,即cosα=正切叫作α的正切,记作tanα,即tanα=三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数【思议探究，新知升华】对任意角的三角函数的定义，角还是只能是锐角吗？三角函数值还只是一个正数吗？是否与P点的位置有关呢？你又该如何理解三角函数的符号？特别提醒：(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确α是一个任意角.(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)所在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定.(3)要明确sinx是一个整体,不是sin与x的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的.【展示交流，新知应用】例题1：(1)已知角α的终边与单位圆的交点为(y<0)，则tanα=.(2)已知角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,求sinα,cosα的值.【方法总结，提升能力】利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上，求a的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标。然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的正弦值，余弦值，正切值；当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.【导问引领，新知生成】2.三角函数的定义域三角函数定义域s1nαc0sαtanα{a|a≠kπ+π/2,k∈z}3.三角函数值的符号如图所示：【展示交流，新知应用】例题2(1)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)0(填“<”或“>”)【方法总结，提升能力】正弦、余弦函数值的正、负规律【导问引领，新知生成】设某一扇形广场的半径为12m，弧长为8πm,圆心角为α.问题1：求圆心角α的值.问题2：求与角α终边相同的角的集合A.问题3:在问题2的基础上,若β∈A,求sinβ,cosβ.诱导公式一：即终边相同的角的同一三角函数值【展示交流，新知应用】例题3计算下列各式的值：sin(-1395°)cos1110°+cos(-1020°)·sin750°;【方法总结，提升能力】利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤【课堂检测】1.已知角α的终边过点(a≠0)，则=2.已知角α的终边过点，则的值是()A.B.C.D.若，则点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.当α为第二象限角时，().A.1B.0C.2D.-25.cos405°的值是().A.B.C.D.