考研数三考试题型及答案

考研数三考试题型及答案

一、单项选择题，(总共10题，每题2分)。1.若函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2，则当x→x0时，f(x)的增量Δf(x)与x-x0的比值的极限为（）。A.1B.2C.x0D.0答案：B2.函数f(x)=|x-1|在x=1处的导数是（）。A.1B.-1C.0D.不存在答案：D3.若级数∑(n=1to∞)an收敛，则下列级数中必定收敛的是（）。A.∑(n=1to∞)an^2B.∑(n=1to∞)(-1)^nanC.∑(n=1to∞)(1+an)^2D.∑(n=1to∞)(an)^3答案：B4.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）。A.2B.-2C.8D.-8答案：C5.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，这是（）。A.中值定理B.罗尔定理C.拉格朗日中值定理D.泰勒定理答案：C6.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则f'(x0)=0，这是（）。A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：C7.若函数f(x)在区间I上连续可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间I上（）。A.单调递增B.单调递减C.可能递增也可能递减D.不变答案：A8.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f''(x0)存在，则下列说法正确的是（）。A.若f''(x0)>0，则f(x0)是极大值B.若f''(x0)<0，则f(x0)是极大值C.若f''(x0)>0，则f(x0)是极小值D.若f''(x0)<0，则f(x0)是极小值答案：C9.若函数f(x)在区间I上连续，且在区间I上的每一点处都可导，则f(x)在区间I上（）。A.必定单调B.必定可积C.必定连续D.必定可微答案：B10.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则下列说法正确的是（）。A.若f'(x0)>0，则f(x0)是极小值B.若f'(x0)<0，则f(x0)是极大值C.若f'(x0)=0，则f(x0)可能是极值D.若f'(x0)=0，则f(x0)一定不是极值答案：C二、多项选择题，(总共10题，每题2分)。1.下列函数中，在x=0处可导的是（）。A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2C.f(x)=x^3D.f(x)=sin(x)答案：BCD2.下列级数中，收敛的是（）。A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(1/n^2)C.∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n)D.∑(n=1to∞)(1/n^3)答案：BD3.下列函数中，在区间(-1,1)内单调递增的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=e^xC.f(x)=-xD.f(x)=ln(x)答案：BD4.下列说法中，正确的是（）。A.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则f'(x0)=0B.若函数f(x)在区间I上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)C.若函数f(x)在区间I上连续可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间I上单调递增D.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f''(x0)存在，则若f''(x0)>0，则f(x0)是极小值答案：ABCD5.下列级数中，条件收敛的是（）。A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(1/n^2)C.∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n^2)D.∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n)答案：CD6.下列函数中，在x=0处取得极值的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=sin(x)D.f(x)=cos(x)答案：AC7.下列说法中，正确的是（）。A.若函数f(x)在区间I上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)B.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则f'(x0)=0C.若函数f(x)在区间I上连续可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间I上单调递增D.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f''(x0)存在，则若f''(x0)>0，则f(x0)是极小值答案：ABCD8.下列级数中，绝对收敛的是（）。A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(1/n^2)C.∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n^2)D.∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n)答案：BC9.下列函数中，在区间(-1,1)内连续的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=sin(x)D.f(x)=cos(x)答案：ABCD10.下列说法中，正确的是（）。A.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则f'(x0)=0B.若函数f(x)在区间I上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)C.若函数f(x)在区间I上连续可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间I上单调递增D.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f''(x0)存在，则若f''(x0)>0，则f(x0)是极小值答案：ABCD三、判断题，(总共10题，每题2分)。1.若函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处必定连续。（）答案：正确2.若级数∑(n=1to∞)an收敛，则级数∑(n=1to∞)|an|必定收敛。（）答案：错误3.若函数f(x)在区间I上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。（）答案：正确4.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则f'(x0)=0。（）答案：正确5.若函数f(x)在区间I上连续可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间I上单调递增。（）答案：正确6.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f''(x0)存在，则若f''(x0)>0，则f(x0)是极大值。（）答案：错误7.若函数f(x)在区间I上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。（）答案：正确8.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则f'(x0)=0。（）答案：正确9.若函数f(x)在区间I上连续可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间I上单调递增。（）答案：正确10.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f''(x0)存在，则若f''(x0)>0，则f(x0)是极小值。（）答案：正确四、简答题，(总共4题，每题5分)。1.简述函数在某点处可导的定义。答案：函数f(x)在点x0处可导，是指当x→x0时，函数f(x)的增量Δf(x)与自变量x的增量x-x0的比值lim(x→x0)Δf(x)/(x-x0)存在。2.简述级数收敛的定义。答案：级数∑(n=1to∞)an收敛，是指其部分和数列Sn=a1+a2+...+an的极限lim(n→∞)Sn存在。3.简述函数在某点处取得极值的必要条件。答案：函数f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则f'(x0)=0。4.简述函数在某点处取得极值的充分条件。答案：函数f(x)在点x0处取得极值，且f''(x0)存在，则若f''(x0)>0，则f(x0)是极小值；若f''(x0)<0，则f(x0)是极大值。五、讨论题，(总共4题，每题5分)。1.讨论函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的单调性和极值。答案：函数f(x)=x^3-3x的导数为f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，解得x=±1。在区间[-2,-1)上，f'(x)>0，函数单调递增；在区间(-1,1)上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间(1,2]上，f'(x)>0，函数单调递增。函数在x=-1处取得极大值f(-1)=2，在x=1处取得极小值f(1)=-2。2.讨论级数∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n)的收敛性。答案：级数∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n)是交错级数，满足交错级数收敛的条件，即项的绝对值单调递减且趋于0。因此，级数