第6课时一元二次方程及其应用

第6课时一元二次方程及其应用第二章方程（组）与不等式（组）

知识点1一元二次方程的定义只含有

未知数，并且

，这样

的

方程就是一元二次方程.一元二次方程的一般表达式为

，其

中

是二次项，

叫做二次项系数；

⁠是一次

项，

叫做一次项系数；

是常数项.一个

未知数的最高次数是2

整式

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）

ax2

a

bx

b

c

知识点2一元二次方程的解法直接开平方法适合于（x＋a）2＝b（b≥0）或（ax＋b）2＝（cx＋d）2形式的方程因式分解法基本思想把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0方法规律常用的方法主要是提公因式法，运用平方差公式、完全平方公式等分解因式公式法求根公式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2－4ac≥0时，x＝

⁠一般步骤（1）将方程化成ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形

式；（2）确定a，b，c的值；（3）①若b2－4ac

0，则代入求根公式，得x1，x2；②若b2－4ac

0，则方程无实数根

≥

＜

（续表）配方

法基本思想通过配成完全平方的形式解一元二次方程一般步骤（1）化二次项系数为1；（2）把常数项移到方程的另一边；（3）在方程两边同时加上一次项系数一半的平

方；（4）把方程整理成（x＋a）2＝b的形式；（5）当b

时，运用直接开平方法解方

程；当b＜0时，无解≥0

＞

＝

＜

知识点5一元二次方程的实际应用平均增长率（下降率）问题（1）增长率＝

×100％；（2）设a为原来量，x为平均增长（下降）率，n为增

长（下降）次数，b为增长（下降）后的量，则a

（1±x）n＝b（续表）面积

问题（1）如图1，矩形ABCD的长为a，宽为b，空白部分的宽为

x，则阴影部分的面积为（a－2x）（b－2x）；

（2）如图2，矩形ABCD的长为a，宽为b，阴影部分的宽为

x，则空白部分的面积为（a－x）（b－x）；（3）如图3，矩形ABCD的长为a，宽为b，阴影部分的宽为

x，则空白部分的面积为（a－x）（b－x）（续表）利润问题利润＝售价－成本；总利润＝单件利润×销量；利润率＝

×100％握手、单循环赛问题握手、单循环赛总次数为

（n为人数或队伍数）；送礼物总份数为n（n－1）（n为人数）

考点一

一元二次方程的相关概念

（1）若关于x的一元二次方程（m－3）x2＋x＋m2－9＝0的常数

项等于0，则m的值为（

C

）A.0B.3C.

－3D.

－3或3（2）（2025·达州）已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则

m的值为

⁠；（3）若一元二次方程x2－2x－5＝0的一个解为a，则a（2a－3）＋a

（1－a）的值为

⁠.C2

5

考点二

一元二次方程的解法

解下列一元二次方程：（1）2（x－3）2－18＝0；[答案]

解：整理，得（x－3）2＝9，开方，得x－3＝±3，解得x1＝6，x2＝0.（2）x2＋2x－3＝0；[答案]

解：整理，得x2＋2x＝3，配方，得（x＋1）2＝4，∴x＋1＝±2，解得x1＝－3，x2＝1.解：整理，得（x－3）2＝9，开方，得x－3＝±3，解得x1＝6，x2＝0.解：整理，得x2＋2x＝3，配方，得（x＋1）2＝4，∴x＋1＝±2，（3）2x（x－2）＝1；

（4）4x（x－2）＝2（2－x）.[答案]

解：移项，得4x（x－2）＋2（x－2）＝0，因式分解，得（4x＋2）（x－2）＝0，∴4x＋2＝0或x－2＝0，

解：整理，得2x2－4x－1＝0，∴Δ＝（－4）2－4×2×（－1）＝24＞0，

解：移项，得4x（x－2）＋2（x－2）＝0，因式分解，得（4x＋2）（x－2）＝0，∴4x＋2＝0或x－2＝0，关于解方程，要依据一元二次方程的结构特点，灵活选用“因式分解

法、配方法、公式法”几种方法.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0

（a≠0）.（1）若b＝0，直接开平方；若c＝0，采用因式分解法；（2）当b，c都不为0时，一般遵循“先分解因式→后配方法→再公式

法”的顺序，具体来说：①如果能在有理数范围内分解因式，用因式分解法计算量小；②当方程的一次项系数为偶数，且常数项的绝对值很大时，可以考虑用

配方法；③如果不能在有理数范围内分解因式，且方程的一次项系数为奇数时，

配方法可能计算量较大，此时宜选用公式法来解，而公式法是万能法.考点三

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

（1）（2025·广安）关于x的一元二次方程x2＋3x＋1＝0的根的

情况是（

B

）A.

没有实数根B.

有两个不相等的实数根C.

有两个相等的实数根D.

无法确定B（3）（2025·绥化）已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2

025x＋1

＝0的两个根，则（m＋1）（n＋1）＝

⁠；（4）（2025·广安）已知方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b，则代

数式a2－4a＋b的值为

⁠.2

027

29

k≤－1

考点四

一元二次方程的应用

（2025·新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙

（墙足够长）和24

m长的围栏围成一个面积为40

m2的矩形场地.设矩形

的宽为x

m，根据题意可列方程（

A

）AA.

x（24－2x）＝40B.

x（24－x）＝40C.

2x（24－2x）＝40D.

2x（24－x）＝40

（2025·八中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50

元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，

每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.（1）若某天该商品每件降价3元，当天可盈利多少元？[答案]解：（1）某天该商品每件降价3元，则每件商品盈利（50－3）

元，销售（30＋2×3）件，当天可盈利（50－3）×（30＋2×3）＝1

692（元）.答：当天可盈利1

692元.（2）设每件商品降价x元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少

元时，商场日盈利可达到2

000元？[答案]解：（2）根据题意，得（50－x）（30＋2x）＝2

000，整理，得x2－35x＋250＝0，解得x1＝10，x2＝25.∵为了尽快减少库存，∴x＝25.答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2

000元.

1.

下列是一元二次方程的是（

C

）A.

2x＋1＝0B.

x＋y＝5C.

x2＋3x＋2＝0D.

x＋

＝2C2.

（2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业

呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2

500万元，

预计7月产值将增至9

100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率

为x，可列出的方程为（

A

）A.2

500（1＋x）2＝9

100B.2

500（1－x）2＝9

100C.2

500（1－2x）2＝9

100D.2

500（1＋2x）2＝9

100A3.

（1）（2025·上海）已知关于x的一元二次方程2x2＋x－m＝0没有

实数根，则m的取值范围是

⁠；（2）（202