第六单元第3节与圆有关的计算

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圆第3节第3节第1节圆圆的基本性质与圆有关的位置关系第2节与圆有关的计算与圆有关的计算单元复习规划目录情境串考点考向精练课堂小结

草原上蒙古包与羊群的景色不仅展现了自然的壮美，还蕴含着丰富的文化内涵.无论是广袤的草原、独特的蒙古包，还是成群的牛羊，都共同构成了一幅令人心旷神怡的美丽画卷.

本节课我们将以羊群与蒙古包为视点，复习与圆有关的计算问题.情境串考点问题1

主人将羊拴在如图的柱子上，你能确定这只羊的活动范围吗?羊柱子3m分析：柱子：固定不变

绳子：3m答：这只羊的活动范围为：以柱子为圆心，3m长为半径的圆的圆形区域.问题2你能求出这只羊的最大活动轨迹和活动区域大小吗?

弧长

面积圆的周长C=2πr，面积为S=πr2解：l=2πr=6π(m)，S=πr2=9π(m2)答：这只羊活动的轨迹长为6πm，活动区域为9πm2.·Or问题3

主人将这只羊拴在一处有围挡的墙角柱子处，如图所示，你能画出这只羊的活动区域吗？

答：此时该羊活动的区域为以墙角为圆心，以3m长的绳子为半径，圆心角为两墙夹角大小的扇形，如图所示.羊3m问题4

已知两墙的夹角为90°，请你求出问题3中这只羊的活动轨迹长和面积.扇形弧长、面积计算公式的关系?解：

扇形弧长：

；

扇形面积：.问题5

若这只羊固定在如图所示的墙角处，请你在图中画出这只羊此时的活动区域.羊3m2m∟30°问题6

如图，两面墙的长度分别为3m、2m，两个墙角的角度为90°、30°，请你求出此时这只羊活动的区域弧长和面积.解：答：这只羊的活动区域的面积为.羊3m2m∟30°扇形的相关计算1.弧长公式圆的周长：C＝_____扇形弧长：l＝__________

2.面积公式圆的面积：S＝_______

扇形面积：S扇形＝

＝(r为圆的半径，n°为弧所对的圆心角的度数，l为扇形的弧长)2πrπr2

蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，适于牧业生产和游牧生活.蒙古包外观呈圆形，顶为圆锥形，围墙为圆柱形，这种形状象征圆满和完整.如图为一个蒙古包.问题7

你知道蒙古包包顶的展开图是什么图形吗？Ror答：圆锥侧面展开图是一个扇形.问题8

某牧民要搭建蒙古包，需要购买包顶部分（圆锥部分）的羊毛毡，测量出包顶部分展开形成的扇形的圆心角为288°，蒙古包顶部到门框上边的长度

R=5m，请你算出需要买多大面积的扇形羊毛毡？答：需要买20πm2的扇形羊毛毡.解：R=5m问题9若测量包身一圈的长度是16m，他们需要买的羊毛毡面积和问题8中一样吗？解：答：不一样，需要买40m2的扇形羊毛毡.16mR=5m20π（m2）≈62.8（m2）问题10牧民购买了一块半径为5m的圆形羊毛毡，剪去一块弧长为8πm的扇形羊毛毡制作蒙古包包顶（圆锥部分），若包顶制作完后的形状如图所示，求蒙古包包顶的高度.答：蒙古包包顶的高度为3m.解：OhrR圆锥的相关计算2.数量关系：

(1)

r为圆锥底面圆的半径，α为圆锥侧面展开图的扇形的圆心角，R为母线长，则α＝_______(2)h为圆锥的高，R为圆锥的母线长，r为圆锥底面圆的半径，则r2＋_____＝R2h2Rl1.圆锥与扇形的关系：(1)圆锥的侧面展开图是扇形(2)圆锥的底面周长等于其侧面展开后所得扇形的弧长(3)圆锥的母线长等于其侧面展开后所得扇形的半径如图，AB为⊙O的直径，BC与⊙O相切，连接AC，与⊙O交于点D，⊙O的半径为2.(1)如图1，连接OD，若∠C＝40°，则劣弧

的长为

，图中阴影部分的面积为

；图1

前面计算扇形的面积，我们还可以利用上述知识求不规则图形的面积.(2)如图2，连接OD，若BC＝

，则图中阴影部分的面积为

；(3)如图3，若点D是

的中点，则图中阴影部分的面积为

；图3图2π＋2点拨：S阴影=S扇形AOD-S△AOD点拨：连接OD，S阴影=S扇形BOD+S△AOD(4)如图4，若∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为

；(5)若AB＝

BC，将图5中阴影部分的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的高为

．4图4图5点拨：连接BD，S阴影=S△BCD方法公式法直接和差法图示计算公式S阴影＝S扇形MENS阴影＝S△ABC－S扇形CAD阴影部分图形面积计算方法构造和差法等积转化法图示(C，D是半圆O的三等分点)计算公式S阴影＝S△OBC－S扇形BODS阴影＝S扇形COD阴影部分图形面积计算1.（2025湖南省卷）如图，北京市某处A位于北纬40°(即∠AOC=40°)，东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°(即∠BOC=15°)，东经116°.设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为

()

C考向精练2.（2025云南）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40

cm，则该圆锥的底面圆的半径为

(

)A.9

cm

B.10

cm

C.11

cm

D.12

cmB3.（2025山西）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心，BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为

(

)A.2π-4

B.4π-4C.8π-8

D.4π-8D点拨：S阴影＝2S阴影左＝S扇形BCE－S△ABC.4.（2025浙江）如图，在Rt△ABC中，∠A=35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E.若AB=2，则

的长为

(

)

点拨：①连接CE；②CD=AD=1；③∠ACD=∠A=35°，∴∠CED=∠CDE=70°.B

6.（2025四川成都）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为

.

240点拨：①连接OB；②S阴影＝S扇形AOB.7.（2025江苏苏州）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128

m(即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68

m，摩天轮匀速旋转一圈用时30

min.某轿厢从点

A

出发，10

min后到达点

B，此过程中，该轿厢所经过的路径(即AB)长度为______m.(结果保留π)40π8.（2025江西）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，以BA，BC为边作▱ABCD.(1)当BC经过圆心O时(如图①)，求∠D的度数;解：∵BC经过圆