新高考数学专项研究：高考题型归纳（14）离散型随机变量

新高考数学专项研究：高考题型归纳（14）十四、离散型随机变量一、条件概率1.互斥、对立事件与概率加法公式（1）互斥事件:若事件A与事件B的交事件A∩B为不可能事件,则称A,B互斥,即事件A与事件B不可能同时发生。推广:若一项试验有n个基本事件:A1（2）概率的加法公式:若A,B互斥,则有PA∪B（3）对立事件:若事件A与事件B的交事件A∩B为不可能事件,并事件A∪B为必然事件,则称事件B为事件①对立事件概率公式:P②对立与互斥的关系:A,B对立,则A,B一定互斥;反过来,如果2.独立事件与概率乘法公式:（1）独立事件：如果事件A发生与否不影响事件B发生的概率,则称事件A与事件B相互独立。（2）若A,B独立,则A与B,B与（3）概率的乘法公式:若事件A,B独立,则A(4)独立重复试验:一项试验,只有两个结果。设其中一个结果为事件A(则另一个结果为A),已知事件A发生的概率为p,将该试验重复进行n次(每次试验结果互不影响),则在n次中事件A恰好发生k次的概率为P=Cnkpk1−p3.条件概率与乘法公式:（1）条件概率:一般地,设A,B为两个事件,且PA为正数,称PB∣A=PABPA（2）乘法公式:设事件A,B,则A（3）乘法公式的区别与联系:①独立事件的交事件概率:P②含条件概率的交事件概率:P【经典例题一】某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数01234≥概率0.300.150.200.200.100.05(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%【名师解析】(I)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A,(II)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B【经典例题二】一盒中装有零件12个,其中有9个正品,3个次品,从中任取一个,如果每次取出次品就不再放回去,再取一个零件,直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望.【名师解析】设取得正品之前已取出的次品数为ξ,显然ξ所有可能取的值为0当ξ=0时,即第一次取得正品,试验停止,则当ξ=1当ξ=2当ξ=2时,即第一、二、三次取出次品,第四次取得正品,试验停止,则ξ0123P3991∴二、离散型随机变量及其分布列(一)随机变量及分布列1.随机变量若用一个变量来表示随机试验的结果,那么该变量称为随机变量,随机变量通常用X,2.分布列一般地,若离散型随机变量X可能取得不同值为x1,x2,⋯,Xxx…x⋯xPpp…p…p称该表格为X的分布列,具有的性质:①pi≥(二)常见分布1.两点分布一项试验有两个结果,其中事件A发生的概率为p,则X的分布列为:X01P1p其中p=2.超几何分布一般地,若一个随机变量X的分布列为PX=k=X01⋯mPCC⋯C则称随机变量X服从超几何分布,记为X3.二项分布在n次独立重复试验中,事件A发生的概率为p,设在n次试验中事件A发生的次数为随机变量X,则有PXX01...k⋯nPCC…C⋯C则称随机变量X符合二项分布,记为X【例1】已知离散型随机变量X的分布列为X0123P8421则X的数学期望EXA.23B.1C.3【名师解析】由题意可得EX【例2】某一离散型随机变量ξ的概率分布如下,且Eξ=1.5ξ0123P0.1ab0.1【名师解析】0.1即a+2b=【例3】设某项试验的成功率为失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则PX=A.1B12.C13【名师解析】设X的分布列为:X01Pp2p“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,设失败的概率为p,成功的概率为2p.由【例4】带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂,现随机地放出5只做实验,X表示放出的蜂中工蜂的只数,则X=A.C201C10D.C【名师解析】X服从超几何分布,P【例5】一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分)。设每次击鼓出现音乐的概率为12(I)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(II)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(III)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。【名师解析】1X可能取值有PP故分布列为X–2001020100P1331（2）由(1)知:每盘游戏出现音乐的概率是p则玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是p三、离散型随机变量的期望与方差【知识归纳】（1）期望:已知离散性随机变量ξ的分布列为:ξξξ⋯ξ…ξPpp…p…p则称p1ξ1+p性质:若两个随机变量ξ,η①Eξ=E（2）方差:已知离散性随机变量ξ的分布列为:ξξξ⋯ξ...ξPpp⋯p⋯p且记随机变量ξ的期望为Eξ,用Dξ表示ξ的方差,则有:Dξ=性质:若两个随机变量ξ,η①Dξ=Eξ2（3）常见分布的期望与方差:①两点分布:则EX②二项分布:若X∼B③超几何分布:若X∼H④几何分布:若X∼G【例1】在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,(I)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B(II)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.【名师解析】(I)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为P(II)由题意知X可取的值为:0,PP因此X的分布列为X01234P151051X的数学期望是EX=【例2】设随机变量X的概率分布为X12⋯nP11⋯1求DX【名师解析】解法一:ED=解法二:由解法一可求得EX又EX∴D四、正态分布1.正态曲线函数φμ,σ2.正态分布一般地,如果对于任何实数a,ba<b,随机变量X满足Pa<X≤b=3.正态曲线性质正态曲线φμ①曲线位于x轴上方,且与x轴不相交.②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,在x=③曲线与x之间的面积为1.④当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.⑤当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越瘦高;σ越大,曲线越矮胖.4.正态总体在特殊区间内取值的概率①P②P③P5.3σ原则我们通常认为服从于正态分布Nμ,σ2的随机变量【例1:利用正态分布的对称性】已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N0,3(附:若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2,则【名师解析】P【例2】已知随机变量X∼N2XP【名师解析】因为X∼N2,1P又P1且P【例3】从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(I)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(II)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布Nμ,δ2,其中μ近似为样本平均数(i)利用该正态分布,求P187.8(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中