《概率论与数理统计》习题及答案选择题 (一)

《概率论与数理统计》习题及答案

选择题

单项选择题

1.以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为().

(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；

(B)“甲、乙两种产品均畅销”；

(C)”甲种产品滞销或乙种产品畅销”：

(D)“甲种产品滞销”.

解：设'甲种产品畅销'，'乙种产品滞销'，

‘甲种产品滞销或乙种产品畅销'.选C.

2.设是三个事件，在下列各式中，不成立的是().

(A)-

(B)(AUB)—3=A;

(C)=

(D)(4UB)—C=(A—C)U(B—C).

解：A对._

====B不对

(4U8)—A8=(A-8)U(8—A)=A8UW及C对/.选B.

同理D也对.

3.若当事件同时发生时，事件必发生，则().

(A)P(C)WP(H)+P(8)-1；

(B)P(C)NP(A)+P(3)-1；

(C)P(C)=P(AB);

(D)P(C)=P(AB).

解：

・•・选B.

4.设，则等于().

(A)a-bx(B)c-b\(C)a(\-b)；(D)b-a.

解：

?.选B.

5.设是两个事件，若，则().

(A)A3互不相容；(B)AB是不可能事件；

(C)2(4)=0或夕(8)=0；(D)A8未必是不可能事件.

解：.选D.

6.设事件满足，则下列结论中肯定正确的是().

(A)A,看互不相容；(B)A,看相容；

(C)P(AB)=P(A)P(B)；(D)P(A-B)=P(A).

解：相容A不对.

A=B,B=A,AB=6/.B错.

,而不一定为0C错.

.选D.

7.设，则()

(A)互不相容；(B)A3互为对立；

(C)4,8不独立；(D)A8相互独立.

解：

P(-8)(1—P(B))+7(8)(1—P(4)—P(B)+P(A3))

P(B)-p2(B)=P(AB)+P(B)-P(A)P(B)-P\B)

P(AB)=P(A)P(B)选D.

8.下列命题中，正确的是().

(A)若，则是不可能事件；

(B)若，则互不相容；

(C)若，则；

(D)P(A-B)=P(A)-P(B).

解:

由，A.B错.

只有当时，否则不对.选C.

9.设为两个事件，且，则下列各式中正确的是().

(A)P(A\JB)=P(A)；(B)P(AB)=P(A)；

(C)P(B|A)=P(B)；(D)P(B—A)=P(8)—P(A).

解：选A.

10.设是两个事件，且；

(A)；(B),则有()

(C)P(A)>P(A\B)；(D)前三者都不一定成立.

解：要与比较，需加条件.选D.

11.设且，则下列等式成立勺是()二

(A)P(AU4旧)=P(AI豆)+尸(41目);

(B)P(A]BJA2B)=P(AB)+P(A2B)；

(C)P(AUA)=P(A|B)+P(AIB)；

(D)P(B)=P(A)P(8|A)+P(A2)P(B14).

解1:

=>P(44|B)=0=>P(AtA2B)=0

p(4B(JA2B)=P(AIB)+P(A2B)-P(AlA2B)=P(AB)+P(A2B)

选B.

解2:由得

p(48J48)=P(4B)+P([8)

P(B)-P(B)

可见尸(A3J4或=p(AB)+P(A2B)

...选B.

12.假设事件满足，则().

(A)6是必然事件；(B)&6)=1；

(C)P(A—B)=0；(D)Au3.

解：

=>尸(4-8)=0?.选C.

13.设是两个事件，且,则下列选项必然成立的是().

(A)P(A)<P(AIB)；(B)P(A)〈尸(A|B)；

(C)P(A)>P⑷8)；(D)P(A)>P(A\B)

解：

AuB=>P(A)WP(8)O<P(B)<1/.选B

(或者：)

14.设互不相容，则下列各式中不一定正确的是().

(A)尸(44|8)=0；

(B)P(AU4I8)=P(4|8)+P(416；

(C)P(AA13)=1；

(D)P(4U，2|A)=L

解：

P(44|3)=P(A4")=0A对.

P(B)

P(A|B)=P(A|B)+P(A2IB)-P(Ai4|B)

=P(4|3)+尸(4|3)B对.

p(AAIB)=P(Au&iB)=i—p(aUAifi)

=l-p(4|3)-P(4|3)wlc错.

P(ALA2IB)=P(A^IB)=1-P(A1A2IB)=1-O=1D对.

・・・选c.

15.设是三个相互独立的事件，且，则在下列给定的四对事件中不相互

独立的是().

(A)AIJ3与c；(B)衣与仁;

(C)A-B与飞;(D)而与乙

=[1一(P(A)+尸(8)—P(A)P(B))]P(C)=P(AUB)P(C)A对.

P(ACC)=P[(AJC)C]=P(ACJCC)=P(AC)+P(C)-P(AC)

=P(C)P(AC)P(C)而与3不独立/.选B.

16.设三个事件两两独立，则相互独立的充分必要条件是().

(A)A与5c独立；(B)A5与At，。独立；

(C)AB与4c独立;(D)AB与AC独立.

解：两两独立，若相互独立则必有

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(A)P(BC)A与8C独立.

反之，如与独立则

/.选A.

17.设为三个事件且相互独立，则以下结论中不正确的是（）.

（A）若，则与也独立;

（B）若，则与也独立;

（C）若，则与也独立;

（D）若，则与也独立.

解：概率为1的事件与任何事件独立

与也独立.A对.

P[(AC)B]=P\(AC)B]=P(ABBC)

=P(AB)+P(BC)—P(ABC)=P(A.C)P(B)/.B对.

P[(A-C)A]=P(ACA)=P(AC)=P(A)P(C)=尸(A)P(A。)

・・・C对二选D（也可举反例）.

18.一种零件的加工由两道工序组成.第一道工序的废品率为，第二道工序

的废品率为，则该零件加工的成品率为（）.

（A）]-P[—〃2；（B）]-P|P2；

（C）1一一+Pl〃2；（D）（1-P]）+（1-〃2）.

解：设成品零件，第道工序为成品

P（A）=I-PIP（A2）=I-P2

P（A）=P（A4）=P（A）p（4）=（1-A）a-P2）

=i।-〃2+P1P2

・・.选c.

19.设每次试验成功的概率为，现进行独立重复试验，则直到第1（）次试验

才取得第4次成功的概率为（）.

（A）CIQ/?4（1—p）6；（B）C；p4（l-p）6；

（C）C；p4（l—p）5;（D）C；p3（l—p）6.

解：说明前9次取得了3次成功・・・第10次才取得第4次成功的概率为

*/（J〃）6P=—“）6

・・・选B.

20.设随机变量的概率分布为，则().

(A)4为任意正实数;(B)2=〃+1；

(C)2=-^；(D)Z=—.

1+/?h-\

解:

1

/I=选c.

1+b

21.设连续型随机变量的概率密度和分布函数分别为和，则下列各式

正确的是().

(A)0<f(x)<1；(B)P(X=x)=f(x)；

(C)P(X=x)=F(x)；(D)P(X=x)<F(x).

解：・•・选D.

22.下列函数可作为概率密度的是().

(A)/(x)=e-|r|,xeR；

(B)/(x)=-乃--(-1-+---f丁)、xsR；

1

x>0,

(C)fM=7^

0,x<0;

1,13

(D)/(幻=〈

0,|x|>l.

解:A:・•・错.

B:

且小)=小

选B.

23.下列函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是().

(A)(B)F(x)=—+—arctanx；

2兀

x>0

(C)FM=

0x<0;

(D),其中

解：对A：，但不具有单调非减性且・・,A不是.

对B:.

由arctanx是单调非减的/。)是单调非减的.

F(—co)=—+—•(——)=0F(+oo)=—+—•—=1.

2"2'27i2

具有右连续性.・•・选B.

24.设是随机变量，其分布函数分别为，为使是某一随机变量的分布函

数，在下列给定的各组数值中应取().

3,22,2

(A)a=—,b=—；(B)rz=—,h=—；

5533

1,313

(C)ci=—,b=一；(D)a=—,b=—.

2222

解：，，只有A满足

・•・选人

25.设随机变量的概率密度为，且是的分布函数，则对任意实数有

().

(A)F(-a)=1_JfMdx；

(B)/(一〃)=：一］；/。)公；

(C)F(-a)=F(a)；

(D)F(-a)=2F(a)-\.

解：

I一1；八力公

p+0C-KOr+00fU

由(f\x)dx=2of\^dx=1nJ。f(x)dx=jf(x)dx=-

J-00.

・•・选B.

26.设随机变量，其分布函数和概率密度分别为和，则对任意实数，

下列结论中成立的是().

(A)F(x)=1-F(-x)；

(B)f(x)=/(-x)；

(C)F(l-x)=l-F(l+x)；

(D)

解：以为对称轴对称.

P(X>l+x)=P(X<l-x)

即F(l-x)=l-P(X<l+x)=l-F(l+x)

・•・选C.

27.设，设，，则().

（A）对任意实数〃有Pl=P2；（B）P1<P2；

（C）I%>p2；（D）只对〃的个别值才有Pi=p2.

解：

/z+5/z

/?2=p（r>//+5）=i-p（y<//+5）=i-o|-=1一①（i）

I5/

Pi=p2选A（or利用对称性）

28.设，则随着的增大，概率的值（）.

（A）单调增大；（B）单调减少；

（C）保持不变；（D）增减不定.

解：

/.不随。变/.选C.

29.设随机变量的分布函数为，则的分布函数

五丫（》）为（）.

（A）Fx（5y-3）］(B)5&(>)-3；

(D)：G(y)+3.

（C）尸

解：

口行+3、

・•・选C.

30.设的概率密度为，则的概率密度为（）.

]]

(A)(B)

%(1+4/)万(4+y)2

22

(C)(D)

乃(4+y2)"(1+)，2)

解:

]2

A(y)=1A：.选C.

%(4+y2)

31.设随机变量与相互独立，其概率分布分别为

X-11Y-11

j_J_j_

PP

2222

则下列式子正确的是（).

（A）X=Y；（B）p（x=y）=o；

(Op(x=y)=-；(D)P(X=Y)=\.

解:A显然不对.

=p(x=-i)p(y=-1)+p(x=i)p(r=D=---+---=-

选c.

32.设，且与相互独立，贝I」（）.

（A）p（x+y《o）=g；（B）p（x+r<i）=^；

（op（x-y<o）=-；（D）p（x-y<1）=-.

22

解：且独立・•・

p（x+r<1）=p（x+r>i）=（P（O）=・•・选B.

33.设随机变量

r-ion

Xj〜，X,i=l,2

U24J

且满足，则（).

（A）0；(B)1/4；(C)1/2；(D)1.

解：

-101p.j

-1

0

1o*

-

4

11

--

A-.42

4

P(X]X2=0)=1=P(X1X2^0)=0

・・・P(X,=X2)=P(Xl=X2=-1)+P(X1=X2=0)+P(X1=X2=1)

=()+()+()=()

・•・选A.

34.设随机变量我非负整数值，，且，则的值为（）.

3+753-75

(A)(B)

22

3+百

(C)(D)1/5.

2

・•・选B.

35.设连续型随机变量的分布函数为

h-±

14'A>1,

F(x)=x

0,X<1,

则X的数学期望为（）.

(A)2；(B)0；(C)4/3；(D)8/3.

・・・选C.

36.己知，则二项分布的参数为().

(A)〃=4,〃=0.6；(B)〃=6,p=0.4；

(C)n=8,p—0.3；(D)n=24,/?=0.1.

解：

・•・选B.

37.已知离散型随机变量的可能值为，且，则对应于的概率为

().

(A)P[=0.4,p2—0.1,P3—0.5；(B)=0.1,p2=0.1,P3=0.5；

(C)Pi=0.5,p2=0.1,p3=0.4；(D)Pi=0.4,p2=0.5,“3=0.5.

解：EX=0.1=~P\+P3

DX=EX2-(EX)2EX2=0.89+(0.1)2=0.9=p.+小

Pi=04

=><p2=0.1选A.

p3=0.5

38.设，且独立，记，则.

(A)N(2,1)；(B)N(l,1)；

(C)N(Z13)；(D)N(L5).

解：且独立

・・・EZ=E(3X-2r-6)=2.

DZ=9DX+4Dy=9+4=13.

又独立正态变量的线性组合仍为正态变量，，

・・・选C.

39.设，则之值为().

(A)14；(B)6；(C)⑵(D)4.

解:,

cov(X,y)=EXY-EXEY=6-4=2

D(X-y)=9+l-2x2=6.

・・・选B.

40.设随机变量的方差存在，则().

(A)(EX)2=EX\(B)(EX)2>EX2；

(C)(EX)2>EX2；(D)(EX)2<EX2.

解：・・・选D.

41.设相互独立，且均服从参数为的泊松分布，令，则的数学期望为

().

11,1

(A)—4；(B)矛7；(C)—A+A"；(D)—2~9+2.

333

解：独立

E(X(+X2=+X2+X3)=3A

z

D1[■-3(、X.IN+XOJ/]」=-9D(、X,I+XN9+XJ=-3

=EY2-(EY)2=EY2

：.EY2=2r+-・,.选C.

3

42.设的方差存在，且，则().

(A)D(XY)=DXDY；(B)D(X+Y)=DX+DY；

(C)X与丫独立；(D)X与丫不独立.

解：

=OX+OY+2(EXY-EXEY)=DX+DY：.选B.

43.若随机变量满足，且，则必有().

(A)x,y独立；(B)x,y不相关；

(C)DY=O；(D)D(XV)=0.

解：不相关.

・•・选B.

44.设的方差存在，且不等于0,则是().

(A)不相关的充分条件，但不是必要条件；

(B)独立的必要条件，但不是充分条件；

(C)不相关的必要条件，但不是充分条件：

(D)独立的充分必要条件.

解：由与不相关

・・・是不相关的充要条件.A.C不对.

由独立，反之不成立

・・・选B.

45.设的相关系数，则()

(A)x与丫相互独立；(B)x与丫必不相关；

(C)存在常数。力使P(y=aX+A)=l；

(D)存在常数4力使2(丫=第9+。)=1.

解：存在使

・・・选C.

46.如果存在常数，使，且，那么的相关系数为().

(A)1；(B)-1；(C)|夕|=1；(D)|p|<1.

解:

以概率1八

2cov(X,r)以概率।aDXa

DY=aDXPxY~/DX4DYl〃|DX~\a

,以概率1成立.

・・・选c.

47.设二维离散型随机变量的分布律为

X012

00.10.050.25

100.10.2

20.20.10

则().

(A)x,y不独立；(B)x,y独立；

(ox,y不相关；(D)x,y独立且相关.

解：

P(X=O)P(r=0)=(0.14-0.05+0.25)(0.1+0.2)

=0.4x0.3=0.12

p(x=o,y=o)。尸(x=o)尸(y=o)

与不独立,，选A.

48.设为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数和，必有().

(A)P(\X-C\>e)=E\X-C\/£；

(B)P(|X-C|>^)>E|X-C|/^；

(C)P(\X-C\>e)<E\X-C\/^

(D)P(|X-C|>£)<DX/S2.

解：

<frTJ-X----C--\-lfMdx=-1E\X-C\

选c.

49.设随机变量的方差为25,则根据切比雪夫不等式，有().

(A)<0.25；(B)<0.75；(C)>0.75；(D)>0.25.

解：

・•・选C.

50.设为独立随机变量序列，且服从参数为的泊松分布，，则().

(A)limP<--------<x=①(x)；

nA

(B)当充分大时，近似服从标准正态分布;

(C)当充分大时，近似服从；

(D)当充分大时，.

解：由独立同分布中心极限定理近似服从

・•・选C

51.设为独立随机变量序列，且均服从参数为的指数分布，则().

/=!4/

(A)limP,----Z——<X>=O(x)；

ni2r

江x,-n

t=i

(B)limP\——,=①(x)；

"I

-7

(C)limPi=l4<x=O(x)；

”->81/A2

(D)limP\—-------<x,=(D(x).

〃T8n

解:

〃”

江x,-n

由中心极限定理limP<x>=limPi—<x,=①(x).

“一>cc册

：.选B.

52.设是总体的样本,已知，未知，则不是统计量的是().

4

(B)ZX：-"；

(A)X1+5X4；

/=1

4

(D)[X1

(C)Xi—o'

/=!

统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数.

J选C.

53.设总体为来自的样本，则().

(A)p：(B)1—p；

(C)p产；(D)C；(l-pi.

解：相互独立且均服从故

_b_

即nX-B(n,p)则P(X=-)=P(nX=k)=C；p”(1—p)〃u

n

：.选C.

54.i殳—是总体的样本，和分别为样手的均值和样本标准差，则().

(A)X7S〜/(〃—1)；(B)又〜N((),1)；

(C)