概率论与数理统计知识要点

知识要点

一概念：

随机事件：用等表示

互不相容：

互逆：且，此时，

互逆互不相容，反之不行

相互独立：或

运算律：

(1)交换律：

(2)结合律：

(3)分配律：

(4)DeMorgen律(对偶律)A\JB=ABAB=AuB

推广：

随机事件的概率：

有界性OWP(A)K1

若Au8则P(A)WP(B)

条件概率P(A\B)=P(A8)

P(B)

随机变量.用大写表…

若与独立，则

f(x,y)=fy(x)fy(y)或，y)=PvMPy(y)

不相关：或

独立=不相关反之不成立

当与服从正态分布时，则相互独立不相关

二两种概率模型

古典概型：所包含的基本事件的个数；总的基本事件的个数

伯努利概型：次独立试验序列中事件恰好发生次的概率

n次独立试验序列中事件A发生的次数为肛至I]〃G之间的概率

叫

P(见<m<m2)=X匕(〃?)

，n="h

n次独立试验序列中事件A至少发生;•次的概率

P(m之厂)=£2(〃?)=1一£匕("2)

m=rZM=0

特别的，至少发生一次的概率

三概率的计算公式：

加法公式：

若A,3互不相容，则尸（4十为=。04）十P（8）

推广：

P（AuBuC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）一尸（4。+P（ABC）

若，互不相容，则

乘法公式：或

若相互独立，

推广：

若它们相互独立，则

全概率公式：若为随机事件，互不相容的完备事件组，且

则P（A）=尸（片）P（4片）+口与）P（H殳）+……+p（纥）P（H里）

注：常用作为互不相容的完备事件组

有诸多原因可以引发某种结果，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和，这样的

概率问题属于全概问题.

（1）用全概率公式解题的程序：

（2）判断所求解的问题是否为全概率问题

（3）若是全概率类型，正确的假设事件及，要求是互斥的完备事件组

（4）计算出P@）.「（川耳）

（5）代入公式计算结果

四一维随机变量：

分布函数：

（2）性质：（1）

（3）若，则

（4）右连续

（4）limF（x）=l即F（+oo）=1

X->+00

limF（x）=0即F（-oo）=0（此性质常用来确定分布函数中的常数）

利用分布函数计算概率：

一维离散随机变量：

概率函数：（分布律）

性质：p（x,.）>0

Z〃（七）=1（此性质常用来确定概率函数中的常数）

i

已知概率函数求分布函数F（x）=ZP（X=%）=2M%）

一维连续随机变量：概率密度

性质:

（1）非负性/"）20

（2）归一性「"/（X）公=1（常用此性质来确定概率密度中的常数）

分布函数和概率密度的关系：

£（x）=「fMdx

J-XJ

（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）

利用概率密度求概率P（a<X<b）=^f（x）dx

五一维随机变量函数的分布：

离散情形：列表、整理、合并

..连续情形.分布函数法.先求的分布函.，再求导

六二维随机变量：

联合分布函数：

性质：

（1）尸（-00,-（»）=（）（2）尸（-00，戈）=0

(3)F(-oo,y)=0(4)/(+oo,-|-oo)=1

（此极限性质常用来确定分布函数中的常数）

边缘分布函数：

二维离散随机变量：

联合概率函数p（x「x）=P（X=x.,Y=X）列表

边缘概率函数：

二维连续随机变量：联合概率密度

性质⑴/U,y）>0

（2）rrX/UO?Wv=l（常用此性质来确定概率密度中的常数）

J-«x>J-00

联合分布函数与联合概率密度的关系

oxdy

尸（x，y）=「「必，

（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）

利用联合概率密度求概率

P（（X,y）£R）=J]/（x，y）dxdy

R

已知联合概率密度求边缘概率密度

fM=^f(x,y)dy

x人(y)=岫

(注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数)

七随机变量的数字特征：

若为离散随机变量：

若为连续随机变量：

二维情形若为二维连续随机变量，则

£(X)=j(了心=J：J：xf(x,y)dxdy

E(Y)=J[-COJI-8yf(xyy)dxdy

若为二维离散随机变量，则

E(X)=Em(七)=，X)

iij

E(y)=Zxpy(x)=ZZxp(%，x)

Jji

随机变量的函数的数学期望；

若为离散随机变量：

若X为连续随机变量矶g(X)]=J[g*)/(xMr

方差：定义

方差的计算公式：

注意这个公式的转化：

关于期望的定理：关于方差的定理

(1)E(C)=C(1)£>(C)=0

(2)E(CX)=CE(X)(2)D(CX)=C2D(X)

(3)相互独立：

E(X-Y)=E(X)~E(Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)

(注意：反之不成立)

相互独立

(注意：反之不成立)

A要熟记的常用分布及其数字特征：

0—1分布8(1,p)p(x)=pxq{-xx=0,lE(X)=pD(X)=pq

二项分布B(n,p)p(x,)=C：p'q"-'x=0,1•••/?E(X)=npD(X)=npq

泊松分布p(2)p(x)=—«Yx=0,1...E(X)=AD(X)=4

x!

均匀分布:

E（X）W。（'）=喂

指数分布：

E（X）=；D(X)W

AA

正态分布：

i1Am

以上行不dx

E(X)=〃D(X)=a2

i1x

特别地N(0/)(p(x)=-f=e20)(x)=—j=f1e(2dx(<X>(-x)=1-①(x))

E(X)=OD(X)=1

X~N"d）P[%<X=