高考数学大一轮复习 第十二章 算法、统计与概率 第68课 几何概型及互斥事件的概率 文-人教版高三全册数学试题

第68课几何概型及互斥事件的概率

（本课时对应学生用书第页）

自主学习回归教材

漱活思旗

1.（必修3P110习题5改编）取一根长度为3〃邢J绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的

长都不小于1疝勺概率是.

【答案】

（第1题）

【解析】如图，取线段AB的两个三等分点C,D,则在线段CD内任何一点剪断都满足条件，所以

所求概率为线段CD与AB的长度比，即P=.

2.（必修3P109练习3改编）在10000〃病的海域中有40痴•'的大陆架贮藏着石油，假如在该海域中

任意一点钻探，钻到油层面的概率是.

【答案】

【解析】P=.

3.（必修3Pli5练习1改编）抛掷一枚质地均匀骰子的试验,事件A表示“出现小于5的偶数点”，

事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A+发生的概率为.

【答案】

【解析】事件A+表示出现的点数为1,2,3,4,所以P==.

4.（必修3P120复习题6改编）一个装有6个彩色球（3红、2黄、1蓝）的盒子中随机取出2个球，则

这2个球颜色相同的概率是.

【答案】

【解析】记3个红球为红1,红2,红3,2个黄球为黄1,黄2,1个蓝球为蓝1,则从这6个彩色球

中随机取出2个球的所有可能情况为（红1,红2）,（红1,纥3）,（红1,黄1），（红1，黄2）,（红

1,蓝1）,（红2,红3）,（红2,黄1）,（红2,黄2）,（红2,蓝1）,（红3,黄1）,（红3,黄2）,

（红3,蓝1）,（黄1,黄2）,（黄1,蓝1）,（黄2,蓝1）,共15个基本事件.记事件八表示取出两个

红球，事件B表示取出两个黄球，则事件A与事件B互斥，所以取出2个球颜色相同的概率为

P(A+B)=P(A)+P(B)=+=

5.(必修3Pli6习题4改编)在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：

排队人数012345人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

则至少有两人排队的概率为.

【答案】0.74

【解析】所求概率为1-(0.1+0.16)=0.74.

知叙就理

1.几何概型

(1)几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域的测度(长度、面积及体积)成比例，那么称这

样的概率模型为几何概型.

(2)几何概型的概率公式

在区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域讷”为事件A,则事件A发生的概

率为P(A)=.

(3)几何概型的特点

①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个；

②每个基本事件出现的可能性相等.

2.互斥事件与对立事件

(1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.

(2)对立事件：两个事件必有一个发生的互丘事件叫对立事件.互为对立的两个事件一定互反,

但互斥事件不一定是对立事件.

(3)互斥事件的概率

如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生(即A,B中有一个发生)的概率,等于事件A,B分别发生

的概率和,即P(A+B)=P(A)+P(B),推广：如果事件％,A2,…，A,彼此互斥，那么

P(4+期+…+A)=P(AJ+PQ)+…+P(A).

(4)对立事件的概率

事件A的对立事件表示为；对立事件的概率和等于1,即P(A)+P():P(A+)=L

【要点导学】

要点导学各个击破

几何概型

例1如图，在圆心角为90'的扇形中，以圆心0为起点作射线0C,求使得NA0C和NBOC都不小

于30。的概率.

(例1)

【思维引导】首先确定射线0C所在的区域，即区域D：然后确定所求的事件中射线0C所在

区域d;分别计算区域D和前勺测度；最后计算所求概率为.

【解答】记F={作射线OC,使NA0C和NB0C都不小于30°},作射线0D,0E,使

/10)=30°,ZA0E=30°.

当0C在ND0E内时，NA0C和NB0C都不小于30°,

所以P(F)==.

【精要点评】古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要

求基本事件有有限个，而凡何概型则是无限个：对于几何概型的应用题，关键是将实际问题转

化为概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型问题，构造出随机事件A对应的匚何图

形，利用图形的测度来求随机事件的概率.

变式如图(1),ZA0B=60o,0A=2,0B=5,在线段0B上任取一点C.

(1)求AAOC为钝角三角形的概率:

(2)求△AOC为锐角三角形的概率.

【解答】如图(2),由平面几何知识知,当ADJLOB时,OD=1；当OAJLAE时，0E=4,BE=1.

(1)当且仅当点C在线段0D或BE(不包括端点)上时，AAOC为钝角三角形，记“△AOC为钝

角三角形”为事件M,则P(M)===0.4,即△△()€为钝角三角形的概率为0.4.

(2)当且仅当点C在线殁DE(不包括端点)上时，△△()(：为锐角三角形，记“△AOC为锐角三

角”为事件N,则P(N)==0.6,即△△()(：为锐角三角形的概率为0.6.

事件的分类与事件关系的判断

例2判断下列各组事件是否是互斥事件，并说明道理.

某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：

(1)恰有1名男生和恰有2名男生；

(2)至少有一名男生和至少有一名女生；

(3)至少有一名男生和全是男生；

(4)至少有1名男生和全是女生.

【解答】(1)是互斥事件.

理由是：在所选的2名同学中，”恰有1名男生”实质选出的是“一名男生和一名女

生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.

(2)不是互斥事件.

理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，

“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果，它们可能同时

发生.

(3)不是互斥事件.

理由是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男生"，这与

“全是男生”可同时发生.

(4)是互斥事件.

理由是：“至少有1名男生”包括•“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，

它和''全是女生”不可能同时发生.

【精要点评】判断两个事件是否为互斥事件，就是考查它们能否同时发生，如果不能同

时发生，则是互斥事件，否则，就不是互斥事件.判断对立与互斥除了用定义外，也可以利用

集合的观点来判断.注意：①事件的包含、相等、互斥、对立等，其发生的前提条件应是一样

的；②对立是针对两个事件来说的，而互斥可以是多个事件的关系.

变式在10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件.

(1)“恰有1件次品”和“恰有2件次品”是互斥事件吗？

(2)“恰有2件次品”和“至多有1件次品”是对立事件吗？

【解答】(1)“恰有1件次品”和“恰有2件次品”都是随机事件，且不可能同时发生，所

以二者是互斥事件.

(2)”恰有2件次品”，即“2件次品1件正品”，“至多有1件次品”，即“3件正品”或

“1件次品2件正品”，它们不可能同时发生且并起来是必然事件，所以二者是对立事件.

互斥事件、对立事件的概率

例3一盒中共装有除颜色外其余均相同的小球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个

绿球.从中随机取出1个球.

(1)求取出的1个球是红球或黑球的概率；

(2)求取出的1个球是红球或黑球或白球的概率.

【思维引导】事件“取出的1个球是红球或黑球”可以看作事件”取出的1个球是纥球”

和事件”取出的1个球是黑球”的和事件，而这两个事件互斥，所以取出的1个球是红球或黑球

的概率等于取出的1个球是红球的概率加上取出的I个球是黑球的概率.第⑵问正面情形比较复

杂，所以可以考虑对立事件的概率.

【解答】记事件A尸｛任取1个球为红球｝,A?=｛任取1个球为黑球｝,A3=｛任取1个球为白

球｝,A产｛任取1个球为绿球｝,

则P(AJ=,P(A2)=,

P(As)=,P(A,1)=

据题意知事件A”A2,A3,人彼此互斥.

(l)P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=+=.

(2)方法一：P(A1+A2+A3)

=P(A,)+P(A2)+P(A3)

=++=.

方法二：P(A1+A2+A:))=l-P(A.)=l-=

【精要点评】求较复杂的互斥事件的概率，一般有两种方法：一是直接求解法，即将所

求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率和，分解后的每个事件概率的计算通常为等可

能事件的概率计算，这时应注意事件是否互斥，是否完备；二是间接求解法，先求出此事件的

对立事件的概率，再用公式P(R)=I-P0.若解决“至少”、“至多”型的题目，用后一种方法

就显得比较方便.解题时需注意“互斥事件”与“对立事件”的区别与联系，搞清楚“互斥事

件”与“等可能性事件”的差异.

变式抛掷一枚质地均匀的骰子.

(1)求落地时向上的数不小于5的概率；

(2)求落地时向上的数大了1的概率：

(3)求落地时向上的数是最大或者最小的数的概率.

【解答】设“骰子落地时向上的数为片为事件1(占1,2,3,4,5,6),则P(A/)=

(1)设“落地时向上的数不小于5”为事件C,

贝IJP(C)=P(A$+A6)=+=.

(2)设“落地时向上的数大于1”为事件D,

则P(D)=l-P()=l-P(Aj=.

(3)设“落地时向上的数是最大或者最小的数”为事件E,

则P(E)=P(A1+A6)=P(A1)+P(A6)=+=.

1.如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在单位圆内(阴影部分),

现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为.

【答案】-1

【解析】图中空白处的面积为4X2=2Ji-4,

则阴影部分的面积为n-(2n-4)=4-n,往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率P=T.

2.在区间[0,冗]上随机取一个数x,则事件“sinx"发生的概率为.

【答案】

【解析】sin又x£[0,n],所以所以所求蹴率P=.

3.甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，给出下列说法：

①甲获胜的概率是；

②甲不输的概率是；

③乙输的概率是；

④乙不输的概率是.

其中正确的说法是.(填序号)

【答案】①

【解析】设“甲获胜”为事件A,“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获

胜”的概率P(A)=l-=,故①正确；设事件B为“甲不输”，则B是“甲胜”、“和棋”这两个

互斥事件的并事件，所以P(B)=+=,故②错误；设“乙输”为事件C,贝iJP(C)=P(A)=，也③错

误；设“乙不输”为事件D,则P(D)=LP(C)=,故④错误.

4.抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为.

【答案】至多有1件次品

【解析】“至少有〃个”的反面是“至多有止1个”.

5.(2014•南昌模拟)在区间[-6,6]内任取一个元素照，若抛物线V=4y在方施处的切线的倾斜

角为a,则a£的概率为.

【答案】

【解析】当切线的倾斜角a£时，切线的斜率的取值范围是(-8,-1]U[1,+8),抛物线

f=4y在产照处的切线的斜率是刘，故只要向£(-8,-2]U[2,+8)即可.若在区间[-6,6]内取

值,则只能取区间16,-2]U[2,6]内的值,这个区间的长度是8,区间16,6]的长度是12,

故所求的概率是三

趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第135136页.

【检测与评估】

第68课几何概型及互斥事件的概率

一、填空题

1.记不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2

的概率是.

2.（2015•南通期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6的

点的正方体玩具），观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为.

3.（2014•苏北四市期末）在△ABC的边AB上随机取一点P,记ACAP和ACBP的面积分别为&和

S2,则SO2s2的概率是.

4.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率是.

5.（2014•郑州模拟改编）分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域

所示.若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为.

6.（2014•苏州一模改编；已知加£{T,0,1）,{T,1}.若随机选取卬，〃，则直线

勿肝〃好1=0恰好经过第二象限的概率是.

7.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则

8.（2014•心家庄质检改编!在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过

该园的内接等边三角形的边长的概率为.

二、解答题

9.已知正四面体ABCD的体积为V,P是正四面体ABCD内部的点.设“2V”为事件X,求事件X发

生的概率P00.

10.如图，在边长为1的正方形0ABC内任取一点P(x,y).

(1)求△APB的面积大于的概率；

11.(2014•锦州模拟)已知复数支户kJ,y£R)在复平面上对应的点为M.

(1)若集合P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},从集合P中随机取一个数作为x,从集合Q中随机

取一个数作为以求复数z为纯虚数的概率；

(2)若;r£[0,3],yG[0,4],求点M落在不等式组所表示的平面区域内的概率.

【检测与评估答案】

第68课几何概型及互斥事作的概率

1.【解析】如图，平面区域如勺面积为4,到原点的距离大于2的点位于图中阴影部分，其面

积为,所以所求概率为.

(第1题)

2.【解析】记两个点数之积不小于4为事件4则：两个点数之积小于4.因为〃（）二,所以

P（/D=1-三

3.【解析】如图，设点址E/1月上，旦力生2用/,则当点浓线段用/（不包括点初上时，满足

S）2S,即所求的概率六三

（第3题）

4.【解析】如图所示，在边业/上任取一点R因为△月比与△也是等高的，所以事件“△阳。

的面枳大于”等价于事件“BP：AB>",即六三

（第4题）

5.【解析】设49之，则SIWNJI所以所求概率为三

6.【解析】随机选取加，〃，数组5,4有6个，其中（-1,1）,（0,1）使得直线不过笫二象

限，所以所求概率为1-三

7.【解析】如图，设6ZH,根据对称性，由题中条件知，邠J活动范围为2,即夕£（1,3）.

当CA3时，BP=4,解得比'==,所以力〃：力8=：4,

（第7题）

8.【解析】如图，设圆的半径为八圆心为0,/出为圆的一条直径，⑦为垂直于/步的一条弦,

垂足为"若（'妫圆内接正三角形的一条边，则便UC的J距离为.设所为与（丹行旦到圆心施勺距

离为的弦，交直径力行点M