专题2.8 圆与圆的位置关系（举一反三讲义）数学人教A版2019选择性必修第一册（原卷版）

2/30专题2.8圆与圆的位置关系（举一反三讲义）【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断圆与圆的位置关系】 2【题型2根据圆与圆的位置关系求参数】 3【题型3由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 3【题型4两圆的公切线长】 5【题型5求两圆的公切线方程】 5【题型6两圆的公切线条数问题】 6【题型7相交圆的公共弦方程】 7【题型8两圆的公共弦长问题】 8【题型9圆系方程及其应用】 9知识点1圆与圆的位置关系及判定1．圆与圆的位置关系及判断方法(1)圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.(2)圆与圆的位置关系的判定方法

①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：

设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下：位置关系关系式图示公切线条数外离d>r1+r2四条外切d=r1+r2三条相交|r1-r2|<d<r1+r2两条内切d=|r1-r2|一条内含0≤d<|r1-r2|无②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.

当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离.【题型1判断圆与圆的位置关系】【例1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知圆C1：x2+y2=4，C2A．相交 B．外切 C．内切 D．内含【变式1-1】（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆C1:(x−6)2+A．外离 B．相切C．内含 D．相交【变式1-2】（24-25高二上·河北沧州·期末）圆C:x2+y2A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【变式1-3】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆C1:x2+y2−2x+my+1=0m∈R的面积被直线x+2y+1=0平分，圆C2:x+22A．相离 B．相交 C．内切 D．外切【题型2根据圆与圆的位置关系求参数】【例2】（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆C1:x+42+y−32=9与圆A．−∞,29 C．−20,29 D．−28,29【变式2-1】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知圆C1:x+12+y−12=1A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-2】（24-25高二上·山东日照·期末）若两圆C1：x2+y2+2x=0与C2A．m>4 B．m<4 C．0<m<4 D．4<m<20【变式2-3】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知圆C1:x2+y2−6x+4y+12=0与圆C2:x2A．14 B．34 C．14或34 D．14或45【题型3\t"/gzsx/zj165989/_blank"\o"由圆与圆的位置关系确定圆的方程"由圆与圆的位置关系确定圆的方程】【例3】（24-25高二上·江苏·期中）圆C:x2+y2−2x+4y=0关于直线l:x−y+2=0A．(x+4)2+(y−3)C．(x+4)2+(y−3)【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆x−52+y+7A．x−5B．x−52+C．x−5D．x−52+【变式3-2】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）以3，−4为圆心，且与圆x2+yA．x+32+y+4C．x−32+y−42=16【变式3-3】（24-25高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:(x−4)2+(y−8)2=1，圆C2:(x−6)2+A．x2+yC．x2+y知识点2两圆的公切线1．两圆的公切线(1)两圆公切线的定义

两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.

(2)两圆的公切线位置的5种情况①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；

②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；

③相交时，有2条公切线，都是外公切线；

④内切时，有1条公切线；

⑤内含时，无公切线.

判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系.

(3)求两圆公切线方程的方法

求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.【题型4两圆的公切线长】【例4】（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆C1：x+12+y+22=1与圆CA．3 B．5 C．26 D．4【变式4-1】（2025高二上·河北·学业考试）若直线l与圆C1:x+12+y2=1，圆C2A．1 B．2 C．3 D．2【变式4-2】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆C1:x(1)当m=8时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程．(2)若两圆外切，求m的值及外公切线的长．【变式4-3】（24-25高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为x2+y2−2x−2y−7=0，圆B的方程为(1)判断圆A与圆B是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.(2)求两圆的公切线长.【题型5求两圆的公切线方程】【例5】（24-25高三下·山东·开学考试）圆C1:x2+A．y=−x+1 B．y=−x+1或y=x+5C．y=−x+5 D．y=x+1或y=2x+5【变式5-1】（24-25高二上·山东聊城·期末）已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：xA．3x−4y−5=0 B．3x−4y+5=0C．4x−3y−5=0 D．4x−3y+5=0【变式5-2】（24-25高二下·四川成都·开学考试）已知圆M经过A(1,0)，B(3,2)两点，且与x轴相切，圆O：x2(1)求圆M的一般方程；(2)求圆M与圆O的公切线方程.【变式5-3】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点P到两定点A(0,0)和B(3,0)的距离之比为12.(1)求动点P的轨迹C1(2)已知圆C2：(x−1)2+y2【题型6两圆的公切线条数问题】【例6】（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）圆x2+y2+2x=0与圆A．1 B．2 C．3 D．4【变式6-1】（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知圆M:x−12+y−22=2与圆A．15 B．23 C．21 D．17【变式6-2】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知圆C1:x2+A．4 B．3 C．2 D．1【变式6-3】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知⊙C1:(x+1)2+y+A．0<m<6 B．154<m<234 C．知识点3两圆的公共弦1．两圆的公共弦问题(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.设圆:，①

圆:，②

①-②，得，③

若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.(2)求两圆公共弦长的方法

①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长.【题型7相交圆的公共弦方程】【例7】（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆C1：x−22+y+32=16与圆C2：x2+y−2A．4x−10y−3=0 B．4x+10y+3=0C．4x−10y−9=0 D．4x+10y+9=0【变式7-1】（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）若圆C1:x2+y2+2x+y=0，圆A．x−1=0 B．x+y+1=0 C．x+1=0 D．x−y−1=0【变式7-2】（24-25高二上·云南·期中）已知圆C1:x2+A．8x+3y−20=0 B．4x+3y−10=0C．4x−3y+10=0 D．2x+3y+5=0【变式7-3】（24-25高二上·广东东莞·期中）已知圆C1：x2+y2−2x−4y−4=0与圆CA．3x−3y−4=0 B．3x−3y+4=0C．x+y−3=0 D．x+y+3=0【题型8两圆的公共弦长问题】【例8】（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知圆C1:x2+y−22=5和C2A．3 B．23 C．23 D．【变式8-1】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）圆M:x2+(y−2)2A．6 B．8 C．9 D．10【变式8-2】（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆C的圆心在直线y=−x上，且经过点0,−6，0,2．(1)求圆C的方程；(2)求圆C与圆M：x2【变式8-3】（24-25高二上·福建三明·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点A1,0和点B−1,2，且圆心C在直线(1)求圆C的标准方程；(2)已知圆C′的方程为x2+y2知识点4圆系方程及其应用1．圆系方程及其应用技巧具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种：

(1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是.

(2)与圆同心的圆系方程是.

(3)过同一定点(a,b)的圆系方程是.

(4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是.(5)过两圆:和:的交点的圆系方程是().(其中不含有:,注意检验是否满足题意，以防漏解).①当时，l:为两圆公共弦所在的直线方程.②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程.【题型9圆系方程及其应用】【例9】（24-25高二上·重庆