专题01 指、对、幂数的大小比较必考七类问题（举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第一册（解析版）

2/30专题01指、对、幂数的大小比较必考七类问题（举一反三专项训练）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【类型1利用函数的性质比较大小】 2【类型2中间值法比较大小】 4【类型3作差法、作商法比较大小】 6【类型4构造函数法比较大小】 9【类型5数形结合比较大小】 12【类型6利用基本不等式比较大小】 17【类型7放缩法比较大小】 19知识点1指、对、幂数比较大小的一般方法1．单调性法当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小.2．中间值法当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．3．作差法、作商法(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4．估算法(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.5．构造函数法构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.6．放缩法(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.【类型1利用函数的性质比较大小】1．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知a=log72,b=log0.70.2,c=0.70.2，则a,b,c的大小关系为（

）A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小即可.【解答过程】因为y=log7x在(0,+所以log71<log72<因为y=log0.7x在(0,+所以log0.70.2>log因为y=0.7x在R上单调递减，且所以0.70>0.7所以a<c<b.故选：A.2．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）已知a=log315，b=40.3，c=log13A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【答案】A【解题思路】根据指数及对数函数的单调性即可得出判断．【解答过程】因为y=log3x在0,+∞单调递增，所以因为y=4x在R上单调递增，所以40.3因为y=log13x在0,+∞所以b>c>a，故选：A．3．（24-25高一上·云南曲靖·期末）下列大小关系，正确的是（

）A．0.983>0.99C．1.80.3>0.99【答案】C【解题思路】应用幂函数，指数函数及对数函数单调性判断各个选项即可.【解答过程】因为y=x3是增函数，0.98<0.99，所以因为y=log2x是增函数，0.98<0.99因为1.80.3因为−25故选：C.4．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知0<m<n<1，x=lognm，y=mnA．x<y<z B．y<x<zC．z<y<x D．y<z<x【答案】D【解题思路】根据对数函数单调性可得x∈1,+∞，再由指数函数以及幂函数性质可判断【解答过程】因为0<m<n<1，所以x=lognm>则y=mn<又z=nm<易知指数函数fx=m又幂函数fx=x即可得y=m因此可得y<z<x.故选：D.5．（24-25高一上·广东广州·期末）已知a=40.3,b=30.6【答案】b>a>c【解题思路】根据指数函数以及对数函数的单调性，分别判断出a、b、c三个数的范围，在由指数化成根式比较a、b的大小，可得答案.【解答过程】因为a=4又a=4而43=64,36=729所以，b>a>c.故答案为：b>a>c.6．（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小．(1)log2π与(2)log20.3与(3)log0.76，0.76【答案】(1)log(2)log(3)6【解题思路】（1）根据y=log（2）利用对数函数单调性和中间值比较出log2（3）利用指数函数和对数函数单调性和中间值比较出大小【解答过程】（1）因为函数y=log2x在0,+∞上是增函数，又（2）由于log20.3<log（3）因为60.7>6所以60.7【类型2中间值法比较大小】7．（25-26高三上·重庆·阶段练习）设a=log34,b=log12A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>a>c【答案】B【解题思路】通过中间值0和1，即可比较大小.【解答过程】因为a=log所以a>c>b，故选：B.8．（2025高二下·天津南开·学业考试）设a=20.2，b=lg4.5，c=logA．a<c<b B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a【答案】B【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性，借助中间值0和1，比较大小即可求解.【解答过程】因为指数函数y=2x在R上单调递增，所以20.2因为对数函数y=lgx在0,+∞上单调递增，所以0因为对数函数y=log3x在0,+∞上单调递增，所以所以c<0<b<1<a，即c<b<a.故选：B.9．（24-25高一上·北京·期中）比较a=2−12，b=3A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a<b<c【答案】B【解题思路】利用指数函数，对数函数的性质，在a,b,【解答过程】根据指数函数的性质知a=2因为y=2x是增函数，所以2−因为y=log13于是c<0<a<1<3=b，即故选：B.10．（24-25高一上·陕西汉中·期末）已知a=ln3, b=logA．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a【答案】B【解题思路】利用换底公式，由对数函数的单调性，利用中间值法，可得答案.【解答过程】由a=ln3, 由函数y=log3x在0,+∞上单调递增，即由c=0.20.6<故选：B.11．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知a=0.10.2，b=30.1，c=log30.1，则a、b、c【答案】c<a<b【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答过程】因为指数函数y=0.1x在R上为减函数，则指数函数y=3x在R上为增函数，则对数函数y=log3x在0,+因此，c<a<b.故答案为：c<a<b.12．（25-26高一·全国·随堂练习）已知x=lnπ，y=log(1)比较x，y的大小；(2)比较y，z的大小．【答案】(1)x>y(2)y<z【解题思路】（1）利用对数函数的单调性，x,y和中间值1比较大小，即可判断；（2）利用对数函数的单调性，以及对数式的运算，y,z和中间值12【解答过程】（1）因为π>e，所以ln因为1<2<5，所以0=log51<所以x>y；（2）y=log52<log5z=e−1所以y<z.【类型3作差法、作商法比较大小】13．（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）已知a=2ln4，b=ln3A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a【答案】D【解题思路】通过两式作差可判断大小.【解答过程】因为e2<2.8所以a<c，b−c=ln3ln综上b>c>a.故选：D.14．（2025·重庆·模拟预测）已知a=log64A．a<b<c B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a【答案】B【解题思路】利用对数函数单调性比较a,c和b,c的大小，再根据作商法比较a,b的大小可得答案.【解答过程】因为0=log61<log6所以a<c,b<c，又ab所以a>b，所以c>a>b.故选：B.15．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）已知a=12+A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b【答案】B【解题思路】利用作差法、对数的运算性质、对数函数的性质比较即可.【解答过程】a−b==−16+a−c=1则a>c，所以b>a>c.故选：B.16．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）设a=log23，b=log3A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a【答案】D【解题思路】利用对数的运算与换底公式比较b,c，利用中间数32，分别作差比较a,c【解答过程】因为b=log34=又因为lg64>0，0<lg25<又因为log2因32>23，3>232又log58−32=log5所以log58−32<0故a>c>b.故选：D.17．（24-25高一上·上海·单元测试）已知0<a<b<1<c，m=logac，n=logbc，则m与【答案】m>n【解题思路】利用作差法，结合换底公式可比较大小.【解答过程】m−n=logac−因为0<a<b<1<c，所以lga<0，lgb<0，lgc>0所以m−n=lgclg故答案为：m>n.18．（24-25高三·全国·对口高考）（1）比较aabb（2）已知a>2，比较log(a−1)a与【答案】（1）aab【解题思路】（1）利用作商法，分类讨论即可；（2）利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可.【解答过程】（1）因为a>0,b>0，所以aa所以①当a=b>0时，aa所以aa②当a>b>0时，ab即ab所以aa③当b>a>0时，0<a即ab所以aa综上所述：当a>0,b>0，aa（2）log==lg因为a>2，所以lga+1所以lga由lg=lg所以lg2所以lg2即log(a−1)故log(a−1)【类型4构造函数法比较大小】19．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知a=0.60.4,b=log0.6A．b<a<c B．c<b<a C．a<b<c D．c<a<b【答案】D【解题思路】构建函数y=0.6x，【解答过程】由y=0.6x是R上的减函数，所以有0<0.6函数y=log0.6x为0,+所以b>1,c<0，故c<a<b.故选：D.20．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知a=log32，b=1512A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．c<a<b【答案】C【解题思路】利用中间变量法得到a>b，利用构造函数法得到c<b即可.【解答过程】因为a=log32>所以a>b，而b=151故我们构造指数函数f(x)=125x，得到由指数函数性质得f(x)在R上单调递减，因为14<13，所以故选：C.21．（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知实数a,b,c满足2a+a=2，2b+b=5A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a【答案】A【解题思路】由对数函数单调性得c<12，构造函数f(x)=2【解答过程】由对数函数单调性得，c=log构造函数f(x)=2x+x,x∈R因为y=2x和y=x单调递增，所以因为2<5，即f(a)<f(b)，所以a<b又f(12)=21所以c<a<b，故选：A．22．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知实数a，b满足2a+a=2,b=logA．a>b B．a<b C．a=b D．a，b的大小无法判断【答案】A【解题思路】根据给定条件，构造函数f(x)=2【解答过程】函数f(x)=2x+x在R上单调递增，且f(12又b=log163<故选：A.23．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知a=e−1，b=3A．b>c>a B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a【答案】C【解题思路】根据给定条件，构造函数f(x)=e【解答过程】令f(x)=ex−1x，x>0，显然函数y=ex而a=e−1=f(1)，b=e又lnπ<1<所以b>a>c.故选：C.24．（24-25高一上·全国·课后作业）已知a=log25A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．a<c<b【答案】C【解题思路】利用对数函数的性质确定a,b,c与“0”和“1”的大小关系，再结合对数换底公式与对数运算性质构造函数fx=lgx−lg【解答过程】易知0=log又a=log故设fx=lg又lg5−lg4>0,y=lgx在区间0,5即f2>f3，所以a>b故选：C.【类型5数形结合比较大小】25．（2025·江西·模拟预测）若aea=bA．a<b B．a=b C．a>b D．无法确定【答案】A【解题思路】令aea=b【解答过程】因为a>0，所以ae因为ae所以blnb>0，可得令aea=b所以ea设f(x)=ex，g(x)=ln作出它们的图象如图：由图可知a<b.故选项A正确.故选：A.26．（24-25高一上·浙江台州·期中）已知x1=log213，x2A．x1<x2<x3 B．x1【答案】A【解题思路】利用指数、对数函数单调性结合函数图象，可限定出各数值的取值范围，可得结论.【解答过程】根据y=log2x由y=3x单调递增可得由(1e)x3=ln如下图所示：由图可知x3>1.因此可得故选：A.27．（2024·全国·模拟预测）已知a=12a,1A．a<b<c B．a<c<bC．c<b<a D．c<a<b【答案】D【解题思路】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a,b,c∈0,1，得到logab<1=loga【解答过程】令fx又f0由零点存在性定理得a∈0,1则y=logax画出y1=1

可以得到b∈0,1又y2=ax在R上单调递减，画出

可以看出c∈0,1因为12b<12因为a,c∈0,1，故a由ac=log综上，c<a<b．故选：D．28．（2024·广东茂名·一模）已知x,y,z均为大于0的实数，且2x=3y=A．x>y>z B．x>z>yC．z>x>y D．z>y>x【答案】C【解题思路】根据题意，将问题转化为函数y=2x,y=【解答过程】解：因为x,y,z均为大于0的实数，所以2x进而将问题转化为函数y=2x,y=故作出函数图像，如图，由图可知z>x>y故选：C.29．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知正实数a，b，c满足a+log2a=b+A．b+log2a>4 B．a+log2c>4【答案】C【解题思路】由已知条件分析出a是函数y=log2x与y=4−x交点的横坐标，b是函数y=2x与y=4−x交点的横坐标，c是函数y=log2x与【解答过程】∵a+log∴log2a=4−a，2∴a是函数y=log2xb是函数y=2x与c是函数y=log2x如下图所示，则1<b<c<a<4，且2c选项A：∵a+log2a=4∴b+log选项B：∵2c+∴a+log选项C：∵b+2b=4∴c+2选项D：∵c>b>1，∴log又∵2∴2故选：C．30．（24-25高一上·山东潍坊·期末）若aea=blnb=clgc=1，则a，b【答案】c>b>a【解题思路】先由aea=blnb=clgc=1可得0<a<1，b>1，c>1，由blnb=clgc=1【解答过程】由aea=1，得当a≥1时，aea>1，当由blnb=1，得当0<b≤1时，bln由clgc=1，得当0<c≤1时，clg由blnb=clgc=1，得因此b为y=lnx和y=1x图象交点的横坐标，c为在同一个平面直角坐标系作出y=lnx，y=lg由图得c>b>1，所以c>b>a.故答案为：c>b>a.【类型6利用基本不等式比较大小】31．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）若a=log23，b=log34，c=log45A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．b>a>c【答案】A【解题思路】利用作差法、换底公式、基本不等式可得出a、b、c的大小关系.【解答过程】因为a−b==ln32b−c==ln42−ln故选：A.32．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）设a=lg35A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．b<c<a【答案】A【解题思路】根据对数函数的性质、对数的运算法则及基本不等式判断即可.【解答过程】因为a=lgc=1又lg3>0，lg5>0，所以b=lg且lg3+lg5>2所以a<b<c.故选：A.33．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）我们知道当0<x<2或x>4时，2x>x2.若A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a【答案】B【解题思路】由ca结合基本不等式和对数运算可知c<a，由题意结合对数的运算性质可判断b>a【解答过程】因为c=2logca所以c<a，因为0<3<2，所以23所以b>a>c.故选：B.34．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）设a=log32，b=log6A．c<b<a B．a<b<c C．b<a<c D．a<c<b【答案】B【解题思路】根据对数函数的性质判断a<b，作商法结合基本不等式可判断b<c.【解答过程】因为log23=log49所以log64>log又因为b=log所以bc所以b<c，所以a<b<c.故选：B.35．（24-25高二下·浙江温州·期中）已知x1=logA．x1<x2<x3 B．x【答案】A【解题思路】先判断出x1<1，x2【解答过程】由题意，x1=log32<由换底公式，x3x2由于ln4≠ln6故x2−x3<0故选：A.36．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知a=log45,b=A．c>b>a B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c【答案】D【解题思路】由于都为正数，可用作除法，结合基本不等式和对数性质比较大小.【解答过程】ba=logcb=log综上知道a>b>c.故选：D.【类型7放缩法比较大小】37．（2025·四川乐山·三模）若a=log32,b=log