专题1.1 集合的概念（举一反三讲义）高一数学人教A版2019必修第一册（原卷版）

2/30专题1.1集合的概念（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1对集合概念的理解】 1【题型2判断是否为同一集合】 2【题型3利用集合元素的特性求参数】 3【题型4判断元素与集合的关系】 4【题型5根据元素与集合的关系求参数】 4【题型6集合中的元素个数问题】 5【题型7列举法表示集合】 6【题型8描述法表示集合】 6【题型9集合元素中的新定义问题】 8知识点1集合的概念1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法.【题型1对集合概念的理解】【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（

）A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数【变式1-1】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（）A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合C．数1,0,5,2D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4【变式1-2】（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法：①所有接近于0的数构成一个集合；②2019年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；③高科技产品构成一个集合；④所有不大于3的自然数构成一个集合；⑤1，0.5，32，12组成的集合含有其中正确的是（

）A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④【变式1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法中正确的是（

）A．与定点A,B等距离的点不能组成集合B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5C．一个集合中有三个元素a,b,c，其中a,b,c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形D．高中学生中的游泳能手能组成集合【题型2判断是否为同一集合】【例2】（2025高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（

）A．M=−1,3，N=3,−1 B．M=C．M=x,y|y=x2+3x，N=【变式2-1】（24-25高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M={(3,2)}，N={(2,3)} B．M=(x,y)x+y=1C．M={1,2}，N={(1,2)} D．M=y|y=x【变式2-2】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（

）①xx②yy=2③xx=④x,yA．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式2-3】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）下列各组中的M、P表示同一集合的个数是（

）①M=3,−1，P={(3,−1)}②M={(3,1)}，P={(1,3)}；③M=y∣y=x④M=y∣y=x2A．0 B．1 C．2 D．3【题型3利用集合元素的特性求参数】【例3】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知集合A=12,a2+4a,a+10，5∈A，则a=A．−5 B．−5或1 C．1 D．5【变式3-1】（24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合A=−x,x，则x应满足（A．x>0 B．x<0C．x=0 D．x≤0【变式3-2】（24-25高一上·陕西·阶段练习）若−3∈a−3,2a−1,a2−1，则A．－1 B．0 C．1 D．2【变式3-3】（24-25高一上·广东东莞·期中）若x∈1,2,x2，则xA．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2知识点2元素与集合的关系1．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.2．常用的数集及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR【题型4判断元素与集合的关系】【例4】（24-25高一上·云南大理·阶段练习）给出下列关系：①12∈R；②2∈Z；③−3∉NA．1 B．2 C．3 D．4【变式4-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合A=xx=3k−1,k∈Z,B=xx=3k+1,k∈ZA．2a∉B B．2b∉A C．a+b∈C D．b+c∈A【变式4-2】（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①−2∉N*；②0∉Z；③2∈Q；④A．1 B．2 C．3 D．4【变式4-3】（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）非空集合A具有如下性质：①若x,y∈A，则xy∈A；②若x,y∈A，则x+y∈A下列判断中，错误的是（A．−1∉A B．2022C．若x,y∈A，则xy∈A D．若x,y∈A，则x−y∈A【题型5根据元素与集合的关系求参数】【例5】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合A={x2mx−3>0}，若1∉A且3∈A，则实数m的取值范围是（

A．m12<m≤32 B．m1【变式5-1】（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合A=1,a+9,a2+a，若6∈A，则A．−2或3 B．−3或2 C．2 D．−3【变式5-2】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合A=x2x−a<0a∈R，且1∈AA．a≤4 B．a>2C．2<a<4 D．2<a≤4【变式5-3】（24-25高一上·江西萍乡·期末）已知集合A=−1,a2−2a+1,a−4，若4∈A，则A．−1，3 B．−1 C．−1，3，8 D．−1，8【题型6集合中的元素个数问题】【例6】（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合A=1,3,5，B=2,4,6，则C=xx=a+b,a∈A,b∈BA．5 B．6 C．7 D．8【变式6-1】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合A=x|ax2−3x+2=0,x∈R，若集合A中至多有一个元素，则实数A．a=0 B．a≥98 C．a=0或a≥【变式6-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合A=x|a(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；(2)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围；(3)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围．【变式6-3】（2025高一·全国·课后作业）集合A中的元素是实数，且满足条件①若a∈A，则11−a∈A，②(1)A中至少有几个元素？(2)若条件②换成3∈A，A中至少含有的元素是什么？(3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.知识点3集合的表示法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．3．图示法图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法.【题型7列举法表示集合】【例7】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合A=x∈N3x−1∈ZA．−2,0,1,2,4 B．−2,0,2,4 C．0,2,4 D．2,4【变式7-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）集合x∈N*|x−2≤1A．0,1,2,3 B．1,2,3 C．0,1,2,3,4 D．1,2,3,4【变式7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程2x2−x−3=0(4)一次函数y=x+3与y=−2x+6的图象的交点组成的集合D．【变式7-3】（24-25高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合：(1)方程x−12(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合；(3)函数y=2x−1的图象与坐标轴的交点组成的集合．【题型8描述法表示集合】【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；(2)抛物线y=x(3)使函数y=2x−1有意义的实数【变式8-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）用描述法表示下列集合：(1)被7除余1的正整数组成的集合；(2)平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合；(3)函数y=2x【变式8-2】（2025高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合.(1)方程x2(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合；(3)二次函数y=x【变式8-3】（25-26高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合．(1)所有不在第一、三象限的点组成的集合；(2)所有被3除余1的整数组成的集合；(3)使y=1x2(4)方程x−22【题型9集合元素中的新定义问题】【例9】（24-25高一上·重庆南岸·阶段练习）定义集合A,B的一种运算：A⊗B={x|x=b2−a,a∈A,b∈B}，若A={1,4},B={−1,2}，则A⊗B中的元素个数为（A．1 B．2 C．3 D．4【变式9-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算A⊗B=xx=x1⋅x2A．48 B．54 C．42 D．36【变式9-2】（24-25高一上·江苏常州·期中）对