材料力学 课件 第二章 拉伸、压缩与剪切

材料力学安阳工学院第二章拉伸、压缩与剪切第二章拉伸、压缩与剪切§2.1轴力与轴力图§2.2拉压杆的应力与圣维南原理§2.3材料拉伸时的力学性能§2.4材料压缩时的力学性能§2.5轴向拉压杆的强度计算§2.6轴向拉伸或压缩时的变形§2.7轴向拉伸或压缩时的应变能§2.8拉伸、压缩超静定问题§2.9应力集中§2.10剪切与挤压的实用计算第二章拉伸、压缩与剪切§2.1轴力与轴力图§2.2拉压杆的应力与圣维南原理§2.3材料拉伸时的力学性能§2.4材料压缩时的力学性能§2.5轴向拉压杆的强度计算§2.6轴向拉伸或压缩时的变形§2.7轴向拉伸或压缩时的应变能§2.8拉伸、压缩超静定问题§2.9应力集中§2.10剪切与挤压的实用计算2.1轴力与轴力图2.1轴力与轴力图2.1轴力与轴力图1、轴向拉伸与压缩的概念轴向载荷——外力的合力作用线完全与杆的轴线重合。轴向拉伸（压缩）：受力特点－－外力合力的作用线与杆件的轴线重合变形特点－－轴向伸长或缩短受轴向拉(压)的杆件，简称拉(压)杆。2.1轴力与轴力图

轴向压缩

轴向拉伸2、轴向拉伸与压缩的计算简图2.1轴力与轴力图[思考题]下列杆件中，（）是轴向拉压杆？D2.1轴力与轴力图(1)截开：在截面m-m

处，假想地将杆截为两部分。(3)代替：取任一部分作为研究对象。弃去部分对其的作用，用截开面上的内力代替，用FN表示。3、拉压杆的轴力计算－－截面法qFN(2)留下：留下左半部分或右半部分。2.1轴力与轴力图对右段部分列平衡方程FN

=F(4)平衡物体系统平衡

每个构件平衡单个构件局部平衡对左段部分列平衡方程FN

=F2.1轴力与轴力图4、轴力的正负号规定轴力FN为正轴力FN为负同一位置处左右侧截面上的内力具有相同的正负号。内力的正负：为方便考虑变形而作的约定！轴力规定：以拉力为正；以压力为负。2.1轴力与轴力图外力个数n＞2，分段计算各截面上的轴力。用逐个截面截取杆件(n个外力，则取n－1个截面)；作轴力图步骤：将轴力值绘制成几何图线。横坐标——杆的轴线纵坐标——轴力数值分别对截取的各部分列平衡方程，求得轴力值；123轴力图直观反映出轴力与截面位置变化关系，确定最大轴力的数值及其所在横截面位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。5、轴力图—轴力的直观描述2.1轴力与轴力图6、画轴力图注意事项1）横轴与杆轴线平行，端部对齐，各力作用面对应；2）标明内力的性质－－轴力FN；3）画出内力变化规律，注明内力数值；4）标明内力正负号；5）标明内力单位。5152.1轴力与轴力图例2-1如图所示，等直杆上A、B、C、D四点分布作用着大小为5F、8F、4F、F的轴向外力，试求杆的轴力，并画出杆的轴力图。2.1轴力与轴力图练习1F1F3F2F4ABCD已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。练习2CABD600300500400E40kN55kN25kN20kN一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。2.1轴力与轴力图思考题图示杆长为L，受分布力q=kx

作用，方向如图，试画出杆的轴力图。Lq(x)第二章拉伸、压缩与剪切§2.1轴力与轴力图§2.2拉压杆的应力与圣维南原理§2.3材料拉伸时的力学性能§2.4材料压缩时的力学性能§2.5轴向拉压杆的强度计算§2.6轴向拉伸或压缩时的变形§2.7轴向拉伸或压缩时的应变能§2.8拉伸、压缩超静定问题§2.9应力集中§2.10剪切与挤压的实用计算2.2拉压杆的应力与圣维南原理杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。

在拉（压）杆的横截面上，与轴力FN对应的应力是正应力。根据连续性假设，横截面上到处都存在着内力。于是得静力关系：1、拉压杆的应力2.2拉压杆的应力与圣维南原理

横向线ab、cd仍为直线，且仍垂直于杆轴线，只是分别平行移至a’b’、c’d’。观察变形：平面假设—变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。2.2拉压杆的应力与圣维南原理从平面假设可以判断：（1）所有纵向纤维伸长相等（2）因材料均匀，故各纤维受力相等（3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量

2.2拉压杆的应力与圣维南原理

该式为横截面上的正应力σ计算公式。正应力σ和轴力FN同号。即拉应力为正，压应力为负。例2-2一钢制阶梯杆如图所示，各段面积A1=1600mm2,A2=625mm2,A3=900mm2，试画出轴力图，并求出此杆的最大工作应力。2.2拉压杆的应力与圣维南原理练习阶梯杆OD，左端固定，受力如图所示，OC段的横截面面积是CD段横截面面积A的两倍，求杆内最大的轴力和最大正应力的大小及其位置。2.2拉压杆的应力与圣维南原理拉压杆横截面上没有切应力，只有正应力，斜截面上是否也是这样？2、拉压杆斜截面的应力斜截面形心横截面轴线2.2拉压杆的应力与圣维南原理以pα表示斜截面k-k上的应力，于是有1）截面法p

=F

/A

A

=A/cosp

=F

/A

=Fcos/A=cosF

=F2.2拉压杆的应力与圣维南原理沿截面法线方向的正应力

沿截面切线方向的剪应力

将应力pα分解pα=cos

=p

cos

=p

sin=cos·cos=/2(1+cos2

)=/2·sin2=cos·sin=·cos2

)2.2拉压杆的应力与圣维南原理(1)

角：自x

转向n符号的规定(2)正应力：拉伸为正，压缩为负。(3)切应力：对研究对象任一点取矩顺时针为正，逆时针为负。逆时针时

为正，顺时针时

为负。2.2拉压杆的应力与圣维南原理单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质：互相平行的面上应力均布。取拉压杆内一点M为应力单元体2）单元体法AA2.2拉压杆的应力与圣维南原理截取单元体的一部分由分离体平衡得：得到左侧分离体cos=p

将p

分解为

和

=p

cos

=p

sin=cos·cos=

(1+cos2

)=

·sin2

=cos·sinA=A

cos

·

A=pα

·A

·A

cos=pα

·A

s与p

是否相等？2.2拉压杆的应力与圣维南原理

=cos·cos=

(1+cos2

)=

·sin2

=cos·sin结论：斜截面方位不同，截面上的应力不同。

=

max=

，

=0①

=0时，轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。结果讨论(4种特殊情况)2.2拉压杆的应力与圣维南原理②

=450时，③

=－450时，

④

=900时，

=0，

=0

=

max=

=

min=－

轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线成450截面上。在平行于杆轴线的截面上σ、τ均为零。切应力互等定理

=

(1+cos2

)

=

·sin2

2.2拉压杆的应力与圣维南原理O

•过O点的不同截面上的应力过一点有无数的截面，过这一点各个截面上的应力情况总和，称为这点的应力状态。2.2拉压杆的应力与圣维南原理[思考题]

拉压杆内只有正应力，没有切应力，这种说法是否正确？(1)拉压杆横截面上的内力只有轴力，因此，横截面上只存在正应力，没有切应力。(2)拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的,即

=FN/A(3)拉压杆的斜截面上一般既有正应力，又有切应力。正应力最大值位于横截面上，数值为

；切应力最大值在与轴线成45˚角的截面上，数值为

。应从下列角度理解拉压杆的应力：2.2拉压杆的应力与圣维南原理解：先计算横截面上的应力，再根据斜截面上的应力公式求出斜截面上的应力：[例]直径为d=1cm杆受拉力F=10kN，试求最大剪应力，并求与横截面成30˚夹角斜截面上的正应力和剪应力。

=

(1+cos2

)

=

·sin2

2.2拉压杆的应力与圣维南原理3、圣维南原理离开载荷作用点一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。变形示意图：(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)2.2拉压杆的应力与圣维南原理第二章拉伸、压缩与剪切§2.1轴力与轴力图§2.2拉压杆的应力与圣维南原理§2.3材料拉伸时的力学性能§2.4材料压缩时的力学性能§2.5轴向拉压杆的强度计算§2.6轴向拉伸或压缩时的变形§2.7轴向拉伸或压缩时的应变能§2.8拉伸、压缩超静定问题§2.9应力集中§2.10剪切与挤压的实用计算力学性能：材料在外力作用下表现出的变形和破坏等方面的特征，主要由实验测定得到。变形的分类：1.弹性变形；2.塑性变形2.塑性变形又称永久变形或残余变形。1.弹性变形为变形后外力撤除后可恢复的变形；脆性材料：断裂前塑性变形很小的材料，如铸铁、石料塑性材料：断裂前产生较大塑性变形的材料，如低碳钢

要对构件进行强度分析时，除计算应力外，还应了解材料的力学性能。2.3材料拉伸时的力学性能2.3材料拉伸时的力学性能1、试验条件常温：室内温度(2)静载：以缓慢平稳的方式加载(3)标准试件：采用国家标准统一规定的试件l=10d

或l=5d

2.3材料拉伸时的力学性能万能试验机(1)万能材料试验机

(2)游标卡尺2、试验设备2.3材料拉伸时的力学性能2.3材料拉伸时的力学性能3、拉伸图(F-

l

曲线)

拉伸图与试样的尺寸有关。为了消除试样尺寸的影响，把拉力F除以试样的原始面积A，得正应力；同时把

l除以标距的原始长度l,得到应变。表示F和

l关系的曲线，称为拉伸图。FOΔlefhabcdd′gf′Δl02.3材料拉伸时的力学性能低碳钢的拉伸表示应力和应变关系的曲线，称为应力-应变图2.3材料拉伸时的力学性能

p1）弹性阶段

试样的变形完全弹性的。

比例极限

fOf′h

a(1)线弹性阶段

此阶段内的直线Oa段，这一阶段应力与应变成正比，即：胡克定律可写为：弹性模量2.3材料拉伸时的力学性能b点是弹性阶段的最高点。弹性极限

p

fOf′h

ab

e(2)非线弹性阶段

超过比例极限后，从a到b，不再是直线，但解除拉力后变形可完全消失，即该阶段变形仍未弹性变形。2.3材料拉伸时的力学性能2）屈服阶段当应力超过b点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服。

sc点为屈服极限

e

p

fOf′h

abc屈服极限2.3材料拉伸时的力学性能

s

b3）强化阶段

过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力。这种现象称为材料的强化。e点是强化阶段的最高点

e

p

fOf′h

abce强度极限2.3材料拉伸时的力学性能4）局部变形阶段过e点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现颈缩现象.一直到试样被拉断。

s

b

e

p

fOf′h

abceFOΔlefhabcfΔl02.3材料拉伸时的力学性能5）卸载定律与冷作硬化dd′g弹性范围卸载过弹性范围卸载卸载定律：材料卸载过程应力应变按直线规律变化。卸载后短期内再加载d′d段为新的弹性阶段。再次加载过程中，材料比例极限提高，塑性变形和伸长率降低——冷作硬化。2.3材料拉伸时的力学性能6）伸长率和断面收缩率试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由l变为l1，横截面积原为A

，断口处的最小横截面积为A1.伸长率衡量材料塑性变形程度的重要指标。断面收缩率同样为衡量材料塑性变形程度的重要指标。值越大，表示材料塑性越好。

≧5%的材料，称作塑性材料

<5%的材料，称作脆性材料2.3材料拉伸时的力学性能4、其他材料拉伸时的力学性能s0.20.2%e

s其他塑性材料拉伸时的σ-ε曲线没有明显屈服阶段的塑性材料拉伸时的σ-ε曲线灰口铸铁（脆性材料）拉伸时的σ-ε曲线α第二章拉伸、压缩与剪切§2.1轴力与轴力图§2.2拉压杆的应力与圣维南原理§2.3材料拉伸时的力学性能§2.4材料压缩时的力学性能§2.5轴向拉压杆的强度计算§2.6轴向拉伸或压缩时的变形§2.7轴向拉伸或压缩时的应变能§2.8拉伸、压缩超静定问题§2.9应力集中§2.10剪切与挤压的实用计算2.4材料压缩时的力学性能1、实验试件常温：室内温度(2)静载：以缓慢平稳的方式加载(3)试件：考虑到试样可能被压弯，。压缩试样2.4材料压缩时的力学性能

sO

e

低碳钢压缩时的σ-ε曲线低碳钢压缩时的弹性模量E屈服极限

s都与拉伸时大致相同。屈服阶段后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，试件不可能被压断，因此得不到压缩时的强度极限。2.4材料压缩时的力学性能铸铁压缩时的σ-ε曲线铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成450～550倾角，表明这类试件主要因剪切而破坏。铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的4～5倍。铸铁拉伸时的σ-ε曲线2.4材料压缩时的力学性能塑性材料：抗拉能力=抗压能力>抗剪能力脆性材料：抗压能力>抗剪能力>抗拉能力拉伸压缩试验可获得材料力学性能三类指标：（1）刚度指标：弹性模量E;（2）强度指标：屈服极限σs（σp0.2

）和强度极 限σb（σbc）;（3）塑性指标：伸长率δ和断面收缩率ψ;2.4材料压缩时的力学性能第二章拉伸、压缩与剪切§2.1轴力与轴力图§2.2拉压杆的应力与圣维南原理§2.3材料拉伸时的力学性能§2.4材料压缩时的力学性能§2.5轴向拉压杆的强度计算§2.6轴向拉伸或压缩时的变形§2.7轴向拉伸或压缩时的应变能§2.8拉伸、压缩超静定问题§2.9应力集中§2.10剪切与挤压的实用计算2.5轴向拉压杆的强度计算1、失效及安全因数失效强度刚度稳定性脆性材料拉断塑性材料出现显著的塑性变形受压杆压扁，压溃轴承变形过大不能保证加工精度等。受压细杆变弯，失稳。许用应力：为保证构件具有足够的强度，并使构件留有必备的强度储备，强度设计时构件在载荷作用下的实际应力最大许可值应低于极限应力。[σ]极限应力：强度极限σb（σbc）;屈服极限σs（σp0.2

）安全系数：将极限应力除以一个大于1的系数，作为许用应力。塑性材料脆性材料2.5轴向拉压杆的强度计算2、强度条件和强度计算强度条件：轴向拉（压）杆在外力作用下的最大工作应力不超过材料的许用应力。根据强度条件，可以解决三类强度计算问题1）强度校核：2）设计截面：3）确定许可载荷：2.5轴向拉压杆的强度计算例2-3刚性梁ACB有圆杆CD悬挂在C点，B端集中力F=25kN，已知CD杆的直径d=20mm，许用应力[

]=160MPa。(1)试校核CD杆的强度;(2)试求结构的许可荷载[F]；(3)若F=50kN，设计CD杆的直径d.2llFABDC2.5轴向拉压杆的强度计算解：(1)求CD杆受力:2llFABDCFNCDFACBYX注意单位！2.5轴向拉压杆的强度计算（2）结构的许可荷载[F]由得[F]=33.5kN（3）若F=50kN由得d=24.4mm取d=25mm注意单位！2.5轴向拉压杆的强度计算ABC=30°=30°DP例2-4重物P由铜丝CD悬挂在钢丝AB之中点C，如图所示，铜丝直径d1=2mm,许用应力[

]1=100MPa，钢丝直径d2=1mm,许用应力[

]2=240MPa。求结构的许可载荷。若不更换铜丝和钢丝，要提高许可载荷，钢丝绳相应的夹角为多少？（结构仍对称）钢丝铜丝解：2.5轴向拉压杆的强度计算(1)求结构许用载荷:以C点为研究对象，受力分析根据平衡条件，有：对铜丝：注意单位！2.5轴向拉压杆的强度计算对钢丝：(2)求钢丝绳的夹角:第二章拉伸、压缩与剪切§2.1轴力与轴力图§2.2拉压杆的应力与圣维南原理§2.3材料拉伸时的力学性能§2.4材料压缩时的力学性能§2.5轴向拉压杆的强度计算§2.6轴向拉伸或压缩时的变形§2.7轴向拉伸或压缩时的应变能§2.8拉伸、压缩超静定问题§2.9应力集中§2.10剪切与挤压的实用计算2.6轴向拉伸或压缩时的变形FFbhb1ll1拉压杆的变形主要表现为沿轴向的伸长或缩短，即纵向变形。沿轴向伸长或缩短的同时，横向尺寸也会相应缩小或增大。2.6轴向拉伸或压缩时的变形

纵向变形横向变形{胡克定律EA为抗拉（压）刚度泊松比横向应变2.6轴向拉伸或压缩时的变形渐变杆变形的计算取微段该微段看做等直杆杆件总变形阶梯轴呢？2.6轴向拉伸或压缩时的变形2.6轴向拉伸或压缩时的变形例2-5如图所示，M12螺栓内径d1=10.1mm，拧紧后在计算长度l=80mm内产生的总伸长为Δl=0.03mm,钢的弹性模量E=210GPa。试计算螺栓内的应力和螺栓的预紧力。思考哪个方向的力？解：拧紧后螺栓轴向的应变为：横截面上的应力：预紧力：2.6轴向拉伸或压缩时的变形例2-6如图所示一阶梯型钢杆，已知杆的弹性模量E=200GPa，AC段的截面面积为AAB=ABC=500mm2,CD段的截面面积为ACD=200mm2,杆的各段长度及受力情况如图所示。试求：（1）杆截面上的内力和应力；（2）杆的总变形。2.6轴向拉伸或压缩时的变形解：截面法求内力沿1-1面截开，取左半段，假设轴力为拉力，则有：沿2-2面截开，取左半段，假设轴力为拉力，则有：则有轴力图：2.6轴向拉伸或压缩时的变形计算各段应力AB段BC段CD段计算总变形负号表示整个杆件是缩短的2.6轴向拉伸或压缩时的变形

纵向变形横向变形{胡克定律EA为抗拉（压）刚度泊松比横向应变第二章拉伸、压缩与剪切§2.1轴力与轴力图§2.2拉压杆的应力与圣维南原理§2.3材料拉伸时的力学性能§2.4材料压缩时的力学性能§2.5轴向拉压杆的强度计算§2.6轴向拉伸或压缩时的变形§2.7轴向拉伸或压缩时的应变能§2.8拉伸、压缩超静定问题§2.9应力集中§2.10剪切与挤压的实用计算2.7轴向拉伸或压缩时的应变能在范围内,有应变能（）：固体在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能。1lD应变能密度（）：单位体积内的应变能。2.7轴向拉伸或压缩时的应变能例2-7如图所示三脚架，斜杆AB由两根80mm×80mm×7mm的等边角钢组成，横杆AC由两根10号槽钢组成，材料均为A3钢，弹性模量E=200GPa，已知载荷F=15KN，α=30°。试用能量法求A点的位移。2.7轴向拉伸或压缩时的应变能1）先进行受力分析2）求节点位移δ统一单位！！！第二章拉伸、压缩与剪切§2.1轴力与轴力图§2.2拉压杆的应力与圣维南原理§2.3材料拉伸时的力学性能§2.4材料压缩时的力学性能§2.5轴向拉压杆的强度计算§2.6轴向拉伸或压缩时的变形§2.7轴向拉伸或压缩时的应变能§2.8拉伸、压缩超静定问题§2.9应力集中§2.10剪切与挤压的实用计算2.8拉伸、压缩超静定问题一、超静定问题及其解法不稳定平衡稳定平衡静定问题超静定问题2.8拉伸、压缩超静定问题2.8拉伸、压缩超静定问题例2-8两端固定的等直杆AB,在C处承受轴向力F，如图所示，杆的拉压刚度为EA，试求支反力。2.8拉伸、压缩超静定问题列静力平衡方程两个未知量，一个方程，怎么解？根据杆的实际变形情况，列出变形的补充方程2.8拉伸、压缩超静定问题根据胡克定律1、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力

（外力、内力、应力）的问题。2、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理方程相结合，进行求解。2.8拉伸、压缩超静定问题实际工作构件由于所处环境温度变化引起物体的热胀冷缩，超静定结构受温度变化无法自由胀缩，从而引起的内力。二、温度应力杆件变形包含两部分：温度引起的变形；杆件内力引起的变形。例2-9如图所示杆件的两端分别于刚性支承连接，已知材料弹性模量为E，线膨胀系数为α，杆各段的长度及截面尺寸见图。试求当温度升高Δt时杆内的温度应力。2.8拉伸、压缩超静定问题列静力平衡方程2.8拉伸、压缩超静定问题由于制造误差使构件尺寸与原设计尺寸存在微小差异，超静定结构由于构件误差在装配时产生的内力。三、装配应力例2-10如图所示杆系结构中，中间杆3的设计长度为l，由于制造误差使得加工后的实际长度比原来设计长度短了δ，试求当3杆与其余两杆装配后，1、2、3杆的内力，已知三杆的抗拉刚度均为EA。2.8拉伸、压缩超静定问题列静力平衡方程根据胡克定律2.8拉伸、压缩超静定问题1）确定静不定次数，列平衡方程；超静定问题的方法步骤：静定问题：杆件的轴力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静定问题。超静定问题：只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。超静定的次数：n=未知力的个数-独立平衡方程的数目2）几何方程——变形协调方程；3）物理方程——胡克定律；4）补充方程：由几何方程和物理方程得；5）解由平衡方程和补充方程组成的方程组。第二章拉伸、压缩与剪切§2.1轴力与轴力图§2.2拉压杆的应力与圣维南原理§2.3材料拉伸时的力学性能§2.4材料压缩时的力学性能§2.5轴向拉压杆的强度计算§2.6轴向拉伸或压缩时的变形§2.7轴向拉伸或压缩时的应变能§2.8拉伸、压缩超静定问题§2.9应力集中§2.10剪切与挤压的实用计算2.9应力集中FF2.9应力集中应力集中：由于构件外形突然变化而引起的局部应力急剧增大的现象。2.9应力集中应力集中系数（因数）：最大局部应力

max与其所在截面上的平均应力

m的比值———衡量应力集中的程度。应力集中系数在工程手册上可以查到。2.9应力集中1）形状尺寸的影响：2）材料的影响：

应力集中对塑性材料的影响不大；应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。

尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。应力集中的利用防止应力集中的措施第二章拉伸、压缩与剪切§2.1轴力与轴力图§2.2拉压杆的应力与圣维南原理§2.3材料拉伸时的力学性能§2.4材料压缩时的力学性能§2.5轴向拉压杆的强度计算§2.6轴向拉伸或压缩时的变形§2.7轴向拉伸或压缩时的应变能§2.8拉伸、压缩