湖南省衡阳市2025-2026学年高二上数学期末教学质量检测试题含解析

湖南省衡阳市2025-2026学年高二上数学期末教学质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设等差数列，的前n项和分别是，若，则（）A. B.C. D.2．在正方体中，下列几种说法不正确的是A. B.B1C与BD所成的角为60°C.二面角的平面角为 D.与平面ABCD所成的角为3．经过点的直线的倾斜角为，则A. B.C. D.4．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）A.3 B.1C.0 D.﹣15．若等差数列的前项和为，首项，，，则满足成立的最大正整数是（）A. B.C. D.6．在等比数列{}中，，，则=（）A.9 B.12C.±9 D.±127．已知命题，，则p的否定是（）A. B.C. D.8．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为“求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（）盏.A.192 B.128C.3 D.19．已知，,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()A. B.C. D.10．已知向量与平行，则（）A. B.C. D.11．按照小李的阅读速度，他看完《三国演义》需要40个小时.2021年12月20日，他开始阅读《三国演义》，当天他读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《三国演义》的日期为（）A.2022年1月8日 B.2022年1月9日C.2022年1月10日 D.2022年1月11日12．数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，且，则的最小值是____________.14．若命题P：对于任意，使不等式为真命题，则实数的取值范围是___________.15．在正方体中，二面角的大小为__________（用反三角表示）16．函数在处的切线方程为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点.（1）证明：AB1//面BC1D；（2）若AA1=AB，求二面角B1-AC-C1的余弦值.18．（12分）已知圆C：（1）若过点的直线l与圆C相交所得的弦长为，求直线l的方程；（2）若P是直线：上的动点，PA，PB是圆C的两条切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值19．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）如图，直四棱柱中，底面是边长为的正方形，点在棱上.（1）求证：；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作已知，使得平面，并给出证明.条件①：为的中点；条件②：平面；条件③：.（3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值.21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，为侧棱上一点（1）求证：；（2）若为中点，平面与侧棱于点，且，求四棱锥的体积22．（10分）已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4.（1）求C方程；（2）若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】结合等差数列前项和公式求得正确答案.【详解】依题意等差数列，的前n项和分别是，由于，故可设，，当时，，，所以，所以.故选：C2、D【解析】在正方体中，利用线面关系逐一判断即可.【详解】解：对于A，连接AC，则AC⊥BD，A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正确；对于B，∵B1C∥D，即B1C与BD所成的角为∠DB，连接△DB为等边三角形，∴B1C与BD所成的角为60°，故B正确；对于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴BC⊥A1B，∵AB⊥BC，平面A1BC∩平面BCD＝BC，A1B⊂平面A1BC，AB⊂平面BCD，∴∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正确；对于D，∵C1C⊥平面ABCD，AC1∩平面ABCD＝A，∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角，∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D错误故选D【点睛】本题考查了线面的空间位置关系及空间角，做出图形分析是关键,考查推理能力与空间想象能力3、A【解析】由题意，得，解得；故选A考点：直线的倾斜角与斜率4、C【解析】线性规划问题，作出可行域后，根据几何意义求解【详解】作出可行域如图所示，，数形结合知过时取最小值故选：C5、B【解析】由等差数列的，及得数列是递减的数列，因此可确定，然后利用等差数列的性质求前项和，确定和的正负【详解】∵，∴和异号，又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，，由，所以，，∴满足的最大自然数为4040故选：B【点睛】关键点睛：本题求满足的最大正整数的值，关键就是求出，时成立的的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.6、D【解析】根据题意，设等比数列的公比为，由等比数列的性质求出，再求出【详解】根据题意，设等比数列的公比为，若，，则，变形可得，则，故选：7、A【解析】直接根据全称命题的否定写出结论.【详解】命题，为全称命题，故p的否定是：.故选：A【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题8、A【解析】根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解.【详解】设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，所以，解得，所以这个塔的最底层有盏灯.故选：A.9、A【解析】已知，,2成等差数列,得到，化简得到【详解】已知，,2成等差数列,得到，化简得到可知是焦点在x轴上的抛物线的一支.故答案为A.【点睛】这个题目考查的是对数的运算以及化简公式的应用，也涉及到了轨迹的问题，求点的轨迹，通常是求谁设谁，再根据题干将等量关系转化为代数关系，从而列出方程，化简即可.10、D【解析】根据两向量平行可求得、的值，即可得出合适的选项.【详解】由已知，解得，，则.故选：D.11、B【解析】由等差数列前n项和列不等式求解即可.【详解】由题知，每天的读书时间为等差数列，首项为20，公差为10，记n天读完.则40小时=2400分钟，令，得或（舍去），故，即第21天刚好读完，日期为2022年1月9日.故选：B12、C【解析】观察，奇偶相间排列，偶数位置为负，所以为，数字是奇数，满足2n-1,所以可求得通项公式.【详解】由符号来看，奇数项为正，偶数项为负，所以符号满足，由数值1，3，5，7，9…显然满足奇数，所以满足2n-1,所以通项公式为，选C.【点睛】本题考查观察法求数列的通项公式，解题的关键是培养对数字的敏锐性，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】应用基本不等式“1”的代换求a+4b的最小值即可.【详解】由，有，则，当且仅当，且，即时等号成立，∴最小值为.故答案为：14、【解析】根据题意，结合指数函数不等式，将原问题转化为关于的不等式，对于任意恒成立，即可求解.【详解】根据题意，知对于任意，恒成立，即，化简得，令，，则恒成立，即，解得，故.故答案为：.15、【解析】作出二面角的平面角，并计算出二面角的大小.【详解】设，画出图像如下图所示，由于，所以平面，所以，所以是二面角的平面角.所以.所以二面角的大小为.故答案为：16、【解析】求得函数的导数，得到且，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，则且，所以函数在处的切线方程为，即，即切线方程为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1），连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）说明平面，取的中点F，连接，以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【小问1详解】证明：记，连接，由直棱柱的性质可知四边形是矩形，则E为的中点.因为D是的中点，所以，又平面平面，所以平面；【小问2详解】因为底面是等边三角形，D是的中点，所以，由直棱柱的性质可知平面平面，平面平面，面，所以平面，取的中点F，连接，则两两垂直，故以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，从而，设平面的法向量为，则，令x=2，得，同理平面的一个法向量为，则cosm由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角B1-AC-C1的余弦值为.18、（1）或.（2）8【解析】（1）先判断当斜率不存在时,不满足条件；再判断当斜率存在时,设利用垂径定理列方程求出k，即可求出直线方程；（2）过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，连结CA、CB，得到.判断出当时,最小，四边形PACB面积取得最小值.利用点到直线的距离公式求出，，即可求出四边形PACB面积的最小值.【小问1详解】圆C：化为标准方程为：，所以圆心为，半径为r=4.（1）当斜率不存在时,x=1代入圆方程得,弦长为,不满足条件；（2）当斜率存在时,设即.圆心C到直线l的距离，解得:或k=0,所以直线方程为或.【小问2详解】过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，连结CA、CB，则.因为,所以所以.所以当时,最小，四边形PACB面积取得最小值.所以，所以，即四边形PACB面积的最小值为8.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点，连接，，证明两两垂直，如图建系，求出的坐标以及平面的一个法向量，证明结合面，即可求证；（2）求出的坐标以及平面的法向量，根据空间向量夹角公式计算即可求解.【小问1详解】如图：取的中点，连接，，因为是边长为等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，可得，，因为面面，面面，，面，所以平面，因为面，所以，可得两两垂直，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设平面的一个法向量，由，可得，令，则，所以，因为，所以，因为面，所以平面.【小问2详解】，，，设平面的一个法向量，由，令，，，所以，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.20、（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）.【解析】（1）连结，，由直四棱柱的性质及线面垂直的性质可得，再由正方形的性质及线面垂直的判定、性质即可证结论.（2）选条件①③，设，连结，，由中位线的性质、线面垂直的性质可得、，再由线面垂直的判定证明结论；选条件②③，设，连结，由线面平行的性质及平行推论可得，由线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明结论；（3）构建空间直角坐标系，求平面、平面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】连结，，由直四棱柱知：平面，又平面，所以，又为正方形，即，又，∴平面，又平面，∴.【小问2详解】选条件①③，可使平面.证明如下：设，连结，，又，分别是，的中点，∴.又，所以.由（1）知：平面，平面，则.又，即平面.选条件②③，可使平面.证明如下：设，连结.因为平面，平面，平面平面，所以，又，则.由（1）知：平面，平面，则.又，即平面.【小问3详解】由（2）可知，四边形为正方形，所以.因为，，两两垂直，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，.由（1）知：平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，令，则.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可得出；（2）分析可知为的中点，平面，计算出梯形的面积，利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积【小问1详解】证明：因为四边形为正方形，则，因为侧面底面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】解：因为，平面，平面，所以，平面，因为平面，平面平面，所以，所以，，则