第一章 有理数（复习讲义）学生版

第一章有理数（复习讲义）一、学习目标1.理解掌握正负数的相关概念；2.熟练掌握有理数的分类；3.掌握数轴、相反数和绝对值相关概念及其几何意义；4.能灵活应用相反数和绝对值相关性质比较大小.5.熟练掌握有理数运算法则6.熟练掌握近似数的概念和能准确进行近似数运算二、学习重点：数轴、相反数、绝对值的性质运用；有理数运算法则;三、学习难点：数轴、相反数、绝对值性质运用，有理数混合运算,理解应用题题意求解知识点1正数和负数正数的概念：大于0的数叫做正数.负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数.注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数.（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.）知识点2相反意义的量意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量.知识点03：有理数的概念概念：整数和分数统称有理数.整数：正整数、0、负整数统称为整数.分数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数.知识点04：有理数的分类两种分类：⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点05：数轴概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。应用：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。知识点06:相反数1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0.2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数.3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数.（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）知识点07:绝对值1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值.2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0.3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a=0，|a|=0；③a＜0，|a|=-a.注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数.4.性质：绝对值是a(a＞0)的数有2个，他们互为相反数.即±a.5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0；6.利用绝对值比较大小:1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小.知识点08:有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.⑶一个数同0相加，仍得这个数.知识点09：有理数的加法运算定律（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a＋b=b＋a；加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）；知识点10：有理数的减法法则减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b知识点11：有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数同0相乘，都得0.（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1.知识点12：有理数的乘法运算律（1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：．知识点13：确定乘积符号（1）若a＜0，b＞0，则ab<0；（2）若a＜0，b＜0，则ab>0；（3）若ab＞0，则a、b同号；（4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab=0，则a、b中至少有一个数为0.知识点14：有理数除法法则◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.知识点15：有理数的乘方一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂.知识点16：有理数的乘方运算（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值.知识点18：科学记数法把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．知识点19：有理数的混合运算（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右的顺序进行。（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。题型一题型一正负数与0的识别【例1】下列数中，属于负数的是（

）A．2025 B．0 C．0.25 D．【变式1-1】把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，．(1)正数：______________________．(2)负数：______________________．(3)既不是正数也不是负数：___________．【变式1-2】北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（

）A． B． C．1 D．【变式1-3】在数5，，，，0.76中负数有，正数有．题型二题型二相反意义的量【例2】“白茶清欢无别事，我在等风也等你．”白茶使用沸水冲泡易使其口感苦涩，冲泡温度通常建议在左右，若茶水温度比低记作，则茶水温度比高记作（

）A． B． C． D．【变式2-1】我国古代的《九章算术》是世界数学史上首次正式引入负数的文献，若收入元可记作元，则支出元可记作（

）A．元 B．元 C．元 D．元【变式2-2】一次考试中，老师采取一种记分制：得130分记为分，得50分记为分．如果小明的成绩记为分，那么他的实际得分为分．【变式2-3】下列各组量中，具有相反意义的是（

）A．长大3岁和减少3kg B．上升了6m和下降了7mC．卖出10斤米和盈利10元 D．向东行30m和向北行30m题型题型三正负数的实际应用【例3】体育老师根据如图所示的实心球质量参考规格去器材室挑选实心球，则下列实心球质量符合标准的是（

）A． B． C． D．【变式3-1】某火锅店以每天盈利元为标准，盈利超过元的部分记作正数，不足元的部分记作负数，如某天盈利元，记作元．下面是该火锅店某周的盈利情况统计表（单位：元）星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日请你计算该火锅店这周共盈利多少元．【变式3-2】学校对七年级学生进行体质健康测试，在引体向上项目中，男生引体向上个数为10个以上记为优秀，9~10个记为良好，4~8个记为及格，低于4个记为不合格．以9个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中12名男生的成绩记录如下表：序号1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号11号12号成绩（个）0(1)表中“”表示的意义是___________；(2)这组男生引体向上的成绩优秀率是多少？(3)你对成绩没有达到良好的同学有些什么建议？【变式3-3】如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示哪个数？如果一组开锁密码为“”，要想打开锁，应如何旋转锁盘？锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？题型题型四有理数的概念的理解【例4】下列各数中有理数的是（

）A． B． C． D．【变式4-1】在，，，，，（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有个．【变式4-2】这些数：8，，，0，，中，有理数有（）个．A．6 B．5 C．4 D．3【变式4-3】在实数中，有理数有（）个A．2 B．4 C．3 D．5题型题型五有理数的分类【例5】把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称．，0，，，，【变式5-1】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里．，，，，，，，，．整数集合{______________________…}；分数集合{______________________…}；非负数集合{______________________…}；负有理数集合{______________________…}．【变式5-2】把下列各数填入相应的大括号里：6，0，，，0.5，，，，，整数集合{

…}；负分数集合{

…}；正有理数集合{

…}；负有理数集合{

…}．【变式5-3】将下列各数填入相应的括号里：，，

0，

8，，

，

，

，

（1）负分数集合

{}；（2）整数集合

{}；（3）负有理数集合{}；（4）非负数集合

{}；题型题型六数轴的三要素及其画法【例6】如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（）A．

B．

C．

D．

【变式6-1】下列各图中所画数轴正确的是（

）A． B．C． D．【变式6-2】下列数轴表示正确的是（

）A． B．C． D．【变式6-3】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（）A． B．C． D．题型题型七用数轴上的点表示有理数【例7】画出数轴并标出表示下列各数的点．【变式7-1】在数轴上标出下列各数：，0，，，，，并把它们用“”连接起来．【变式7-2】如图，数轴上点表示的数为．【变式7-3】在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“”号连接起来．，，，，0．题型题型八数轴上两点之间的距离【例8】在数轴上，距原点距离为2的点是．【变式8-1】已知分别是两个不同的点所表示的有理数，且，它们在数轴上的位置如下图所示．(1)试确定的值．(2)两点之间的距离为多少？【变式8-2】如下图，一根木棒放置在数轴上，它的两端分别落在和上．将木棒在数轴上水平移动，点的对应点分别为点．（1）若点表示的数为，在图中画出此时木棒的位置并标出点的位置．（2）若点与点的距离为，求点表示的数．【变式8-3】我们知道，在数轴上表示数a到原点的距离，这也是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B分别用a、b表示，那么A、B两点之间的距离．根据数轴和绝对值的知识解答下列问题：(1)数轴上4和1之间的距离是______，和3之间的距离是______；(2)在数轴上如果表示x的数和之间的距离是2，求x表示的数．题型题型九数轴上整点覆盖问题【例9】一滴墨水滴在了数轴上，根据图中的数据可判断被墨迹盖住的整数有个．【变式9-1】数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数．（1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有个；（2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有个．【变式9-2】小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式9-3】如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？题型题型十根据数轴判断大小正负【例10】如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中所表示的数最小的点是（

）A．A B．B C．C D．D【变式10-1】(1)把下列各数的绝对值在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序排列，用“>”连接起来．(2)把下列各数及它们的相反数在数轴上表示出来，并把这些数及它们的相反数按从小到大的顺序排列，用“<”连接起来．【变式10-2】给出数轴比较变式为画数轴比较（1）若，用“”连接，其结果是．（2）若表示数的点在原点的两侧，且，则用“”把，连接起来为．【变式10-3】如图，在数轴上有三个点，请回答下列问题：(1)若将点向左移动5个单位长度后，则点________所表示的数最大，是________．(2)若将点向右移动4个单位长度后，到达点，用“”把三点表示的数连接起来为________．(3)若将点向左移动8个单位长度后，点所表示的数比点表示的数小________．(4)怎样移动其中两个点，可以使三个点表示的数相同且最大？最大为多少？题型题型十一数轴上的动点问题【例11】随着网购的快速发展，相关的快递送达范围也越来越广泛，达到惠及乡村的目的．某快递公司快递员开面包车从某快递点出发，先向东行驶到A村，继续向东行驶到B村，然后向西行驶到C村，最后回到快递点．(1)以该快递点为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示画数轴，并在该数轴上表示出三个村庄的位置．(2)C村离A村有多远？(3)已知面包车行驶耗油，那么此次任务面包车耗油多少升？【变式11-1】点A在数轴（向右为正方向）上先向左移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度到达点B的位置．已知点B与原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为．【变式11-2】点A在数轴上表示的数是a，当点A在数轴上向左移动了6个单位长度后到点B，点A与点B表示的数恰好互为相反数，则数a是（

）A． B． C．6 D．3【变式11-3】如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒．(1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______；(2)当时，求、两点间的距离；(3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．题型题型十二数轴上的规律探究问题【例12】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【变式12-1】正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是．【变式12-2】三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（

）A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025【变式12-3】正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（

）．A． B． C． D．题型题型十三相反数概念的运用【例13】下列各组数中，互为相反数的有（

）①与；

②与；③与；

④与．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【变式13-1】的相反数是（

）A．2024 B． C． D．【变式13-2】如果a与互为相反数，那么a的值是（

）A． B． C． D．2024【变式13-3】已知A，B是数轴上的两点，则点A，B在数轴上表示的数可能互为相反数的是（

）A． B．C． D．题型题型十四化简多重符号【例14】（1）________．（2）________．（3）回答下列问题：①当前面有2024个负号时，化简后的结果是多少？②当前面有2025个负号时，化简后的结果是多少？③你能总结出什么规律？【变式14-1】在一个数前添加“”表示求这个数的相反数，添加“”就表示原来这个数，那么下列各组数中，不相等的是（）A．和 B．和C．和 D．和【变式14-2】化简下列各数：（1）．（2）．（3）．（4）．【变式14-3】下列化简中，正确的是（

）A． B． C． D．题型题型十五求绝对值【例15】（

）A． B． C．3 D．【变式15-1】的相反数是（

）A． B． C． D．【变式15-2】的绝对值为（

）A．5 B． C． D．【变式15-3】，题型十六绝对值的非负性题型十六绝对值的非负性【例16】已知是非负数，且非负数中最小的数是0．（1）已知，则的值是；（2）当时，有最小值，最小值是．【变式16-1】如果是有理数，则的最小值是．【变式16-2】若，则，．【变式16-3】若与的值互为相反数，则的值分别为（

）A．， B．， C．， D．，题型题型十七绝对值的应用题【例17】正式排球比赛对所用排球的质量有严格的规定，允许有的误差．下面是个排球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的千克数，用负数记不足规定质量的千克数，单位：）：1号2号3号4号5号6号（1）请你指出哪几号排球符合要求．（2）请你对6个排球按照最好到最差排名．【变式17-1】如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数．(1)各表示什么？(2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由．【变式17-2】某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下：零件号数①②③④⑤数据(1)符合要求的零件是哪几个？(2)这5个零件中质量最好的是哪一个？【变式17-3】检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球更接近标准（

）A． B． C． D．题型题型十八绝对值的几何意义【例18】（1）已知，则．（2）已知，则．（3）已知，则．【变式18-1】马小哈在计算一道有理数运算时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他便问同桌，同桌故弄玄虚地说：“该题计算的结果等于6．”被墨水遮住的数是（

）A．3 B． C．3或 D．或9【变式18-2】根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题：(1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____．(2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____．【变式18-3】（1）数轴上表示3的点与原点的距离是_________，所以3的绝对值是_________，即_________；（2）数轴上表示的点与原点的距离是_________，所以的绝对值是_________，即_________；（3）数轴上表示0的点与原点的距离是_________，所以0的绝对值是_________，即_________．题型题型十九有理数的大小比较【例19】比较有理数的大小：(1)和；(2)和【变式19-1】若，且，则，．（写出一种情况即可）【变式19-2】比较大小：（填“”或“”）．【变式19-3】比较大小：．（用“”“”或“”连接）题型题型二十有理数加法运算【例20】（1）计算：；

（2）计算：．【变式20-1】计算：(1)；(2)；【变式20-2】计算：(1)；(2)；【变式20-3】计算下列各题：(1)；(2)；题型题型二十一有理数加减运算律【例21】计算：．【变式21-1】计算：．【变式21-2】运用加法的运算律简单计算：（1）．（2）．（3）．【变式21-3】计算：(1)；(2)；(3)．题型题型二十二有理数的减法运算【例22】计算：(1)．(2)．(3)．(4)．【变式22-1】已知，．(1)若a，b同号，求的值．(2)若a，b异号，求的值．【变式22-2】计算：．【变式22-3】计算：．题型题型二十三有理数的加减混合运算【例23】计算：(1)．(2)．(3)．(4)．【变式23-1】计算：(1)．(2)．【变式23-2】计算：(1)(2)【变式23-3】计算：(1)．(2)．题型题型二十四有理数的乘法运算【例24】计算：(1)．(2)．(3)．(4)．【变式24-1】计算：（1）．（2）．（3）．（4）．【变式24-2】计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【变式24-3】计算：(1)；(2)；(3)；(4)．题型题型二十五有理数的乘法运算律【例25】用简便方法计算：(1)．(2)．【变式25-1】计算：(1)．(2)．【变式25-2】计算：(1)．(2)．【变式25-3】运用乘法运算律计算：(1)．（2）题型题型二十六倒数法运算【例26】写出下列各数的倒数：(1)．(2)．(3)．【变式26-1】若互为相反数，的倒数是p，且m的绝对值为2，求的值．【变式26-2】求下列各数的相反数、倒数和绝对值：(1)1.2；(2)；(3)．【变式26-3】如图中的不完整数轴的单位长度为1，点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，(1)若点B是原点，则；(2)若点A，B表示的数互为相反数，求的值；(3)若点C表示的数的倒数是它本身，且，求p的值．题型题型二十七有理数的除法运算【例27】计算（能简算的要简算）：(1)．(2)．【变式27-1】计算：(1)；(2)．【变式27-2】计算：(1)；(2)．【变式27-3】计算：(1)；(2)；(3)；(4)．题型题型二十八有理数的乘除混合运算【例28】计算：(1)；(2)．【变式28-1】计算：【变式28-3】计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式28-3】计算：(1)；(2)；(3)；(4)．题型题型二十九绝对值化简分类讨论问题【例29】我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题：(1)若都是有理数，，且，求的值；(2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值；(3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？【变式29-1】如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：

①；②；③；④

．其中正确的个数有

（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式29-2】下列说法正确的有（

）①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或；②已知a，b，c是有理数，且时，则的值为或3；③若且，则式子的值为1．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式29-3】下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有．（填序号）题型题型三十幂的概念【例30】下列说法正确的是（

）A．的底数是 B．表示3个2相加C．与意义相同 D．的指数是3【变式30-1】的底数是，指数是；的底数是，指数是；的底数是，指数是．【变式30-2】把写成乘方的形式为，把写成乘方的形式为．【变式30-3】已知：，则（

）A． B． C． D．题型题型三十一有理数的乘方运算【例31】计算：(1)．(2)．【变式31-1】计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【变式31-2】【变式31-3】计算：．题型题型三十二科学计数法【例32】据报道：截至2024年底，我国境内有效发明专利量达到475.6万件，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4756000用科学记数法表示应为（

）A． B． C． D．【变式32-1】2025年“五一”假期，湖北省实现旅游总收入243.6亿元，将数据243.6亿用科学记数法表示为．【变式32-2】电影《哪吒2：魔童闹海》于2025年1月29日在中国大陆上映以来，获得了极高的评价，截至2月26日全球票房突破139亿元，请将数据139亿写成科学记数法为．【变式32-3】2025年4月24日，长征二号F火箭成功发射神舟二十号载人飞船，首次将一种拥有强大再生能力的扁形动物涡虫送上太空．据了解，涡虫是具有亿年进化史的再生生物．将数据520000000用科学记数法表示为（）A． B． C． D．题型题型三十三有理数的四则混合运算【例33】计算：(1)(2)(3)(4)【变式33-1】计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式33-2】计算：(1)；(2)(3)(4)．【变式33-3】计算：(1)；(2)．题型题型三十四有理数的运算:错题复原【例34】淇淇计算时，步骤如下：解：原式①②．③（1）在淇淇的计算过程中，开始出现错误的步骤是（填序号）．（2）正确的答案是．【变式34-1】阅读下面解题过程并解答问题．计算：．解：原式（第一步）（第二步）．（第三步）(1)上面解题过程中错误的步骤是________；(2)请你写出正确的解题过程．【变式34-2】阅读下面的解题过程并解答问题：计算：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）(1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______．(2)请写出正确的解答过程．【变式34-3】阅读下面的解题过程并解决问题计算：；解：原式（第一步）（第二步）（第三步）……(1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误；(2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律）(3)请将正确解答过程补充完整．题型题型三十五流程图的运算【例35】小明编写了一个程序，如图，若输入x是，则输出的值为（

）A． B．8 C． D．2【变式35-1】乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（

）A．1 B． C． D．13【变式35-2】【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式35-3】天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（

）A．7 B．6 C．8 D．12基础巩固通关测基础巩固通关测一、单选题1．的相反数是（

）A．2025 B． C． D．2．哈市某天最高气温为8℃，最低气温为-2℃，则这一天的温差为（

）A．-10℃ B．6℃ C．10℃ D．16℃3．在3中，比0小的数是（

）A． B．1 C． D．34．已知，那么的大小关系是（

）A．a＞-b＞-a＞b B．-b＞a＞-a＞bC．a＞b＞-a＞-b D．a＞-b＞b＞-a5．下列叙述正确的是(

)A．不是正数的数一定是负数 B．正有理数包括整数和分数C．整数不是正整数就是负整数 D．有理数绝对值越大，离原点越远6．由四舍五入得到的近似数2.40万精确到了（）A．十分位 B．百分位 C．千位 D．百位7．为了更好地了解家乡、热爱家乡，无为市某校发起了题目为“无为有为，大有作为”的数学活动．七年级小朵同学积极参与，她在网络上查到2022年该市实现地区生产总值610亿元，比上年增长，这标志着该市战胜疫情的不利影响，继续在高质量发展的道路上砥砺前行．请将数据610亿用科学记数法表示，正确的是（

）A． B． C． D．8．若，，，则（

）A． B． C．或 D．或9．某校模型社团制作建筑模型，为确保稳定性，模型高度的精度要求如下：设计高度h（单位：）允许偏差（单位：）社团成员对编号为甲，乙，丙，丁的四个模型进行测量，获得了以下数据：模型编号甲乙丙丁设计高度h（单位：）30.032.074.095.0实际高度（单位：）29.632.072.897.1其中不符合精度要求的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么在①；②；③；④四个关系式中，正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题11．把按四舍五入的方法精确到千分位的近似数为．12．比较大小：（填“”“”或“＝”）．13．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，则、b、的大小关系．14．若，，则n的值为．三、解答题15．计算：16．在数轴上表示下列各数，并用“”连接．，，，，，17．把下列各数分别填在表示它所属的横线上：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦2000；⑧．（填写序号）(1)正数：1；(2)负数：2；(3)整数：3；(4)分数4．18．若互为相反数，的倒数是p，且m的绝对值为2，求的值．19．某领导慰问高速公路养护小组，乘车从服务区出发，沿东西向公路巡视，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，，(1)求该领导乘车最后到达的地方？(2)行驶1千米耗油0.15升，则这次巡视共耗油多少升？20．【新运算】(1)定义一种新运算“*”．规定，求．(2)定义一种新运算“®”，已知，求的值．21．观察下列各式：；根据规律解答下列各题：(1)________________．(2)计算：________．(3)计算：．22．疫情期间，某工厂一周计划生产2100套防护服，平均每天计划生产300套．由于各种原因，实际上每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（增产为正，减产为负）：星期一二三四五六日增减+5+13+16(1)根据记录可知，前三天共生产了________套防护服；(2)产量最少的一天比产量最多的一天少生产了________套防护服；(3)该厂实行计件工资制，每生产一套防护服得20元，超额完成部分则每套防护服奖50元，少生产一套则扣50元，那么该工厂工人这一周的工资总额是多少？23．某仓库在一周的货品运输中，进出情况如表（进库为正，出库为负，单位：吨）：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天合计表中星期五的进出数被墨水涂污了．(1)请你算出星期五的进出数；(2)如果进出的装卸费都是每吨10元，那么这一周要付多少元装卸费？能力提升进阶练能力提升进阶练一、单选题1．的相反数是（

）A．2025 B． C． D．12．为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，光伏发电等可再生能源将发挥重要作用．前年全国光伏发电量为3259亿千瓦时，数据“3259亿”用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．3．若，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．4．数轴上的三个有理数a，b，c的大致位置如图所示，则下列选项中，值最小的是（

）A．a B． C． D．5．已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数，c是最小的正整数，则|a+b-c|等于（）A．-1 B．1 C．0 D．26．已知：，且，，则的值等于（     ）A．1或 B．3或 C．3或1 D．或7．如图，数轴上有，，，四个点，其中所对应的数的绝对值最小的点是（

）A．点 B．点 C．点 D．点8．如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（）A．40