年中考数学一轮复习专题3几何证明与计算课件（福建）

专题突破篇专题三几何证明与计算类型1类型2类型3类型4例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，以CD为底边向右作等腰三角形CDE，CE＝DE，使∠CDE＝∠A，DE与BC交于点F.类型1利用特殊三角形的性质证明与计算(1)求证：△CDF是直角三角形.类型1类型2类型3类型4

类型1类型2类型3类型4

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1．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC于点D，E是BC上一点，连接AE，与BD相交于点O，连接OC，DE，且OB＝OC.(1)求证：AE垂直平分BC.类型1类型2类型3类型4类型1类型2类型3类型4证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵OB＝OC，∴点O在线段BC的垂直平分线上．∴AO垂直平分BC，即AE垂直平分BC.(2)若∠BAC＝60°.①求证：△CDE是等边三角形；②若OB＝2，则BC＝______．类型1类型2类型3类型4证明：由(1)知AB＝AC，∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°.例2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，P为射线BC上一动点(点P不与点B重合)，以AP为直角边在AP的右侧作等腰直角三角形APQ，∠PAQ＝90°.类型2利用全等三角形证明与计算类型1类型2类型3类型4(1)如图①，当点P在线段BC上时，求点Q到直线AC的距离；类型1类型2类型3类型4解：如图①，作QD⊥AC交AC于点D，则∠ADQ＝90°，∵∠PAQ＝90°，△APQ是等腰直角三角形，∴∠PAC＋∠DAQ＝90°，AP＝AQ.∵∠ACB＝90°，∴∠PAC＋∠CPA＝90°，∴∠DAQ＝∠CPA，又∵∠ADQ＝∠ACB＝90°，∴△ADQ≌△PCA，∴QD＝AC＝1，∴点Q到直线AC的距离为1.(2)如图②，当点P运动到BC的延长线上时，连接BQ，交直线AC于点M，求证：QM＝BM.类型1类型2类型3类型4证明：如图②，作QE⊥MC交直线MC于点E，则∠E＝90°.∵∠PAQ＝90°，∴∠EAQ＋∠PAC＝180°－∠PAQ＝90°.∵∠ACP＝90°，∴∠CPA＋∠PAC＝90°，∴∠EAQ＝∠CPA.∵∠E＝∠ACP＝90°，AQ＝AP，∴△EAQ≌△CPA，∴EQ＝CA.∵AC＝CB，∴EQ＝CB.∵∠EMQ＝∠CMB，∠E＝∠MCB＝90°，∴△EMQ≌△CMB，∴QM＝BM.2．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，P为线段AD上一动点(点P不与点A，D重合)，以PB为边在PB的下方作等边三角形PBQ，连接CQ.(1)求∠BCQ的度数．类型1类型2类型3类型4类型1类型2类型3类型4∵△ABC与△PBQ都是等边三角形，∴AB＝BC，BP＝BQ，∠ABC＝∠PBQ＝60°，∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ.∴△ABP≌△CBQ.∴∠BCQ＝∠BAD＝30°.(2)如图②，M，N为直线CQ上两点，且BM＝BN，△BMN的周长为16，CD＝4，则MN的长为________．类型1类型2类型3类型46例3：如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，D为BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，连接BE.(1)求证：CD2＝DE·DA；类型3利用相似三角形证明与计算类型1类型2类型3类型4类型1类型2类型3类型4证明：∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACB＝90°，∴∠DCE＋∠CDE＝∠CDE＋∠CAD＝90°，∴∠DCE＝∠CAD，∴△CDE∽△ADC，(2)求证：∠DAB＝∠EBD；类型1类型2类型3类型4证明：∵D为BC的中点，∴CD＝BD.∵CD2＝DE·DA，∴BD2＝DE·DA，∴

.∵∠BDE＝∠ADB，∴△BDE∽△ADB，∴∠DAB＝∠EBD.(3)若AE＝4，DE＝1，求

的值．类型1类型2类型3类型4解：如图，过点E作EH⊥BC于点H，

∴∠EHD＝90°.∵AE＝4，DE＝1，∴AD＝AE＋DE＝5.类型1类型2类型3类型43．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC>BC，D是边AB上一动点，连接CD，将线段DC绕点D顺时针方向旋转90°得到线段DE，连接AE，CE.[2025龙岩质检节选](1)如图①，若D是AB的中点，∠DAE＝75°，求∠BDC的度数；类型1类型2类型3类型4类型1类型2类型3类型4解：由旋转的性质可得DE＝CD，∠CDE＝90°.∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AD，∴DE＝AD，∴∠DEA＝∠DAE＝75°，∴∠ADE＝180°－∠DEA－∠DAE＝30°，∴∠BDC＝180°－∠ADE－∠CDE＝180°－30°－90°＝60°.(2)如图②，当AE⊥AB时，求证：.类型1类型2类型3类型4证明：过点C作CF⊥AB于点F，如图，则∠DCF＋∠CDF＝90°.由(1)知DC＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CDF＋∠ADE＝180°－90°＝90°，∴∠DCF＝∠ADE.又∵AE⊥AB，∴∠EAD＝∠CFD＝90°，∴△ADE≌△FCD，∴AD＝CF.例4：如图，已知直线l1∥l2.(1)在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1之间的距离恰好等于l与l2之间的距离；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)类型4尺规作图和几何证明与计算类型1类型2类型3类型4解：如答图①，直线l就是所求作的直线.(2)在(1)的条件下，若l1与l2之间的距离为2，点A，B，C分别在l，l1，l2上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积.[2024福建10分]类型1类型2类型3类型4

②如答图③，当∠ABC＝90°，BA＝BC时，分别过点A，C作直线l1的垂线，垂足为M，N，∴∠AMB＝∠BNC＝90°.∵l∥l1∥l2，直线l1与l2之间的距离为2，且l与l1之间的距离等于l与l2之间的距离，类型1类型2类型3类型4

类型1类型2类型3类型44.如图，BD是矩形ABCD的对角线.(1)求作☉A，使得