第三章 一次方程与方程组重难点检测卷（教师版）

第三章一次方程与方程组重难点检测卷（满分100分，考试时间120分钟，共25题）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；4.测试范围：七年级上册第三章；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）下列方程的变形中，正确的是（）A．由得，B．由得，C．由得，D．由得，【答案】C【详解】本题考查了等式的性质．逐一验证每个选项的变形是否符合等式的基本性质，如移项变号、等式两边同乘同除等．【分析】解：A：，移项得，，原变形错误；B：，两边同乘2得，原变形错误；C：，移项得，，原变形正确；D：，两边同除以2得，原变形错误；故选：C．2．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）某书中有一个方程，■处在印刷时被墨盖住了．若已知书后的答案为，则■处的数字应是（

）A．7 B．5 C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，把代入原方程，得到关于■的一元一次方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵是方程的解，∴∴∴，解得：，故选B.3．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）解方程组①和②，采用较为简单的解法应为（

）A．均用代入法 B．①用代入法，②用加减法C．均用加减法 D．①用加减法，②用代入法【答案】B【分析】本题考查了解二元一次方程组的两种方法，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．根据方程组系数的特点选择解法：当有一个方程直接表示一个变量时，代入法简单；当相同未知数的系数互为相反数时，加减法简单．【详解】解：对于方程组①：∵第一个方程中x的系数为1，且直接表示为，∴采用代入法较为简单；对于方程组②：∵两方程中y的系数分别为9和，互为相反数，∴采用加减法可直接消去y，较为简单，故选：B．4．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（

）A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数【答案】B【分析】此题考查的是解二元一次方程组和奇偶数的性质，根据奇偶数的性质一一验证即可得出答案．【详解】解：．当x为奇数，y是偶数时，则p为奇数，q为奇数，与题干不符，故该选项不符合题意；．当x为偶数，y是奇数时，则为偶数偶数偶数，为偶数奇数奇数，与题干符合，故该选项符合题意；．当x为偶数，y是偶数时，则p为偶数，q为偶数，与题干不符，故该选项不符合题意；．当x为奇数，y是奇数时，则为奇数偶数奇数，与题干不符，故该选项不符合题意；故选：B．5．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出、的值．根据，其中，是不等于0的常数，且．，可以得到，，然后两个式子相减或相加，可以求得，，从而可以求得、的值，再计算即可．【详解】解：∵，，，，，，∵，是不等于0的常数，且．∴化简得：，，即，解得，，故选：C．6．（24-25七年级上·安徽池州·期中）已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．将方程组变形为，根据关于x，y的方程组的解是，得到，解之即可．【详解】解：方程组变形为，∵关于x，y的方程组的解是，∴，解得：，故选：B．7．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，成本价x元，提高后标价为，再打8折即乘以，售价为224元，因此方程为，即可求解．【详解】解：设成本价为x元，∵标价，∴售价，又∵售价，∴，即选项B正确．故选：B．8．（24-25七年级上·安徽六安·期中）已知关于x，y的方程组

给出下列结论：①是方程组的解；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y都为自然数的解有4个．其中不正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】把a看作已知数表示出方程组的解，利用二元一次方程解的定义，以及相反数性质判断即可．此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解．【详解】解：得：，即，把代入①得：，当，即时，，把代入，此时，∴，不是方程组的解；选项①错误；假设x与y互为相反数，，无解，选项②正确；当时，代入，中，解得，代入中，成立，∴也是方程的解，选项③正确；由x与y都为自然数，∴，都为自然数，∴，解得，，为整数，故和为偶数，为奇数，∴，自然数解有4对，选项④正确．∴不正确结论的个数为1个；故选：A．9．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（

）A．40 B．88 C．107 D．110【答案】D【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设中间一个数为x，则上方两个数为、，下方两个数为、，得出五个数的和为，再结合各选项逐一列方程判断即可．【详解】解：设中间一个数为x，则上方两个数为、，下方两个数为、，所以这五个数的和为，若，解得，此时左上数字为空，不符合题意；若，解得，不是整数，不符合题意；若，解得，不是整数，不符合题意；若，解得，符合题意；故选：D．10．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，一个长方形的周长为30cm．如果这个长方形的长减少4cm，宽增加3cm，就可以围成一个正方形，那么这个长方形的长为（

）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm【答案】D【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解决本题的关键是根据长方形的周长表示出其宽及变化后正方形的边长．设长方形的长为xcm,由长方形的周长为知长方形的宽为,根据正方形的边长相等可列出方程，求解即可．【详解】解：设长方形的长为，则长方形的宽为，根据题意，得：，解得：，故选：．第II卷（非选择题）填空题（6小题，每小题2分，共12分）11．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）若代数式比的值大，那么的值为．【答案】【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤和方法．根据题意，列出一元一次方程，然后解一元一次方程，即可得到答案．【详解】解：根据题意得：去分母得：去括号得：合并同类项，移项得：系数化为得：故答案为：．12．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）已知关于、方程组的解满足，则的值．【答案】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组中的两个方程相加推出，进而得到方程，解方程即可得到答案．【详解】解：得，∴，∵，∴，解得，故答案为：．13．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为．【答案】【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出，根据题意可得是6的正约数，得出满足题意的所有值，算出和即可．【详解】解：解得：，方程的解为整数，且k是正整数，∴是6的正约数，当时，（正整数，符合）当时，（不是正整数，舍去）当时，（正整数，符合）当时，（不是正整数，舍去）所有值的和为故答案为：14．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是，则可列方程组：．【答案】【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设甲的速度是km/h，乙的速度是km/h，根据路程=速度×时间结合两次运动的情形，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：设甲的速度是km/h，乙的速度是km/h，依题意，得：故答案为：15．（2025·安徽·模拟预测）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表：卡片编号A，BB，CC，DD，EE，A两数和4860536542根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为，最大数所对应的卡片编号为．【答案】【分析】此题考查方程的应用，设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，根据题意列得，由得，得，进而求出c的值，即可得到其他卡片对应的数，即可解答问题．【详解】解：设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，由题意得：，得，得，∴，∴，∴，∴,∴最小数所对应的卡片编号为A，最大数所对应的卡片编号为B，故答案为：A，B．16．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）如图是一个运算器的示意图，A，B是输入的两个数据，C是输出的结果．右表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值．A29−10B39C571619请据此判断，当，时，则；当，时，则．【答案】11【分析】本题考查了有理数的混合运算，绝对值的意义，找出运算方法，运算规律解决问题，在解绝对值方程时，注意取值．观察表格可知，运算规律为，根据发现的规律求解．【详解】解：由表格的运算规律可知，当，时，，当，时，，解得：，即．故答案为：11，．解答题（9小题，共68分）17．（24-25七年级上·安徽池州·期中）（1）解方程组：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查一元一次方程及二元一次方程组的解法，熟记一元一次方程及二元一次方程组的解法步骤是解决问题的关键．（1）将方程组中②得，将方程组中两个方程的系数转化为相反数，由加减消元法求解即可得到答案；（2）由一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可得到答案．【详解】解：（1），②得③，由①③得，解得；将代入②得，解得；原方程组的解为；（2），去分母得，去括号得，移项得，合并同类项得，．18．（25-26七年级上·安徽蚌埠·课后作业）解下列方程：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．（1）（2）（3）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为求解即可．【详解】（1）解：去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为，得．（2）解：去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为，得．（3）解：去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为，得．19．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）根据如图所示“程序”计算代数式的值，若输出的值为32，求x．【答案】【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据程序可得一元一次方程，再根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解即可.【详解】解：根据题意，得，去括号，得，移项，合并同类项，得，系数化为1，得.20．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得到方程组的解为，乙看错了方程组中的，而得到方程组的解为．(1)求出和的值；(2)求出原方程组的正确解．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．（1）把代入②可解得正确的b，把代入①可解得正确的a；（2）把，代入得，利用加减消元法求解即可．【详解】（1）解：把代入②得，解得；把代入①得，解得：；（2）把，代入得得，把代入③得∴原解方程组的解为．21．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）关于，的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足＝，则称这个方程组为“美好”方程组．(1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）；①；②；③④．(2)若关于，的方程组是“美好”方程组，求的值．【答案】(1)②③(2)【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解“美好”方程组的定义是解题的关键；（1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解；（2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解．【详解】（1）解：①，解得：，此时；②，解得：，此时；③，解得：，此时；④，解得：，此时；故答案为：②③；（2）解：，由得：，解得：，把代入①得：，解得：，∵关于x，y的方程组是“美好”方程组，∴，∴，解得：．22．（24-25七年级上·安徽池州·期中）对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：．(1)求．(2)若，求．(3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值．【答案】(1)(2)，(3)【分析】本题是新定义题，考查了定义新运算，解方程组．解题关键是根据新定义列出方程组；（1）根据新定义得出，，得出，，代入代数式，进行计算即可求解；（2）根据新定义得出，解方程组，即可求解；（3）由，得，即，得①，由，得②，，得③，解以上方程组成的方程组即可求得、、、的值．【详解】（1）解：∵，∴由①得，代入②得∴∴∴（2）依题意得，由（1）可得，代入③得，解得：∴（3）解：，，，有一个不为零的数使得对任意有理数，则有①，，②，，③，又，，解得．∴23．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）某商场在年底为了促进消费，推出赠送优惠券活动，其中优惠券分为三种类型．如表：A型B型C型满368减100满168减68满50减20在此次活动中，小西领到了三种不同类型的优惠券若干张，准备给家人们买礼物．(1)若小西同时使用了A，B型优惠券共5张，共优惠了404元，那么他使用了A，B型优惠券各几张？(2)若小西共领到三种不同类型的优惠券各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的优惠券消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？【答案】(1)他使用了型优惠券张，型优惠券张；(2)有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张．【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列方程（组）并求解是解题的关键．（1）通过设未知数，根据使用的A、B型优惠券数量和以及优惠金额列出方程组，求解得出A、B型优惠券各自的使用数量．（2）设小西使用了A型“优惠券”a张，B型“优惠券”b张，C型“优惠券”c张，根据题意，分三种情况∶①若使用了A，B两种类型的优惠券，②使用了B，C两种类型的优惠券，③使用了A，C两种类型的优惠券，分别列方程，求解即可确定使用方案．【详解】（1）解：设他使用了型优惠券张，型优惠券张，解得答：他使用了型优惠券张，型优惠券张；（2）解：设小西使用A型a张，B型b张，C型c张．根据题意可得三种情形：①若小西使用了A，B型优惠券，则有化简为：∵a，b都为整数，且，∴，②若小西使用了B，C型优惠券，则有化简为：∵b，c都为整数，且，∴，③若小西使用了A，C型优惠券，则有化简为：∵a，c都为整数，且，∴无解．综上所述，有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张．24．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）点A，B，C在数轴上，若点B与点A之间的距离是点B与点C之间的距离的3倍，则称B是【A，C】的伙伴点．如图1，点A，B，C，D在数轴上，O是原点，O是【D，A】的伙伴点，O也是【D，B】的伙伴点．【概念认识】（1）如图1，在点A，B，D中，______是【C，O】的伙伴点．【深入探究】（2）已知点E，F，P在数轴上，P是【E，F】的伙伴点．①如图2，利用刻度尺或圆规在数轴上画出所有的点E．（保留画图痕迹，写出必要的文字说明）②若点E，F表示的数分别为e，f，则点P表示的数是______（用含e，f的代数式表示）．【问题解决】（3）如图1，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点O，D分别以每秒3个单位长度、1个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，直接写出O是【A，D】的伙伴点时t的值．【答案】（1）点A；（2）①见解析；②或；（3）或5【分析】本题主要考查了数轴动点问题、一元一次方程实际应用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）先求出两点的距离，再根据伙伴点的定义判断即可；（2）①分类讨论，点在之间，点在点的右侧，画出图形即可；②根据①的图形结合，分类讨论，列式求解即可；（3）由题意得点A表示的数为，点O表示的数为，点D表示的数为，分当点O在点A和点D之间和当点D在点A和点O之间时，两种情况讨论，．【详解】解：（1）∵，，∴，∴点A是【C，O】的伙伴点；∵，，∴，∴点B不是【C，O】的伙伴点；∵，，∴，∴点D不是【C，O】的伙伴点；故答案为：点A；（2）①根据点P是【E，F】的伙伴点的定义得，如图，点和是所作的点；②设点P表示的数分别为x，若点，F表示的数分别为e，f，且，∴，解得；若点，F表示的数分别为e，f，且，∴，解得；综上，点P表示的数是或；故答案为：或；（3