2025年河北省中考数学试卷

第46页（共46页）2025年河北省中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）1．（3分）（2025•河北）从﹣5℃上升了5℃后的温度，在温度计上显示正确的是（）A． B． C． D．2．（3分）（2025•河北）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝（）A．70° B．100° C．110° D．130°3．（3分）（2025•河北）计算：（10+6）（A．2 B．4 C．6 D．84．（3分）（2025•河北）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和4cm，笔的实际长度为14cm，则该化石的实际长度为（）A．2cm B．6cm C．8cm D．10cm5．（3分）（2025•河北）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（）A． B． C． D．6．（3分）（2025•河北）若一元二次方程x（x+2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（3分）（2025•河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为12，出现数字2的概率为1A． B． C． D．8．（3分）（2025•河北）若a＝﹣3，则a2A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．69．（3分）（2025•河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（）A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠310．（3分）（2025•河北）在反比例函数y=4x中，若2＜y＜A．12＜x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜4 D．4＜x11．（3分）（2025•河北）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（）A．∠1＝45°﹣α B．∠1＝α C．∠2＝90°﹣α D．∠2＝2α12．（3分）（2025•河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（）A．(75，115) B．(85二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）（2025•河北）计算：2a2+4a2＝．14．（3分）（2025•河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n的值可以为．（写出一个即可）15．（3分）（2025•河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的13与乙纸条的25叠合在一起，形成长为81的纸条，则a+b＝16．（3分）（2025•河北）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为．（参考数据：sin15°=6-24眼肌运动训练图使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行．三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）（2025•河北）（1）解不等式2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其解集；（2）解不等式3﹣x＜5，并在如图所给的数轴上表示其解集；（3）直接写出不等式组2x18．（8分）（2025•河北）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：计算：（﹣6）×（12解：（﹣6）×（12＝﹣6×1＝﹣3+4﹣5……第二步＝﹣4……第三步请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．（2）计算：|2-2|﹣（﹣2）2×（119．（8分）（2025•河北）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD．（1）求证：△ABC≌△AFD；（2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD．20．（8分）（2025•河北）某工厂生产A，B，C，D四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．类别数据产品ABCD调整前单件成本/（元/件）18262036调整后单件成本/（元/件）方案甲1322m40方案乙16n1832说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题：（1）求调整前A产品的年产量；（2）直接写出m，n的值；（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．21．（9分）（2025•河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为EMF．（1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数；（2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；（3）当∠EOF＝150°时，求EMF的长．22．（9分）（2025•河北）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在0﹣100℃（本题涉及的温度均在此范围内），原长为lm的铜棒、铁棒受热后，伸长量y（m）与温度的增加量x（℃）之间的关系均为y＝alx，其中a为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数aCu＝1.7×10﹣5（单位：/℃）；原长为2.5m的铁棒从20℃加热到80℃伸长了1.8×10﹣3m．（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高50℃，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．（2）求铁的线膨胀系数aFe；若原长为1m的铁棒受热后伸长4.8×10﹣4m，求该铁棒温度的增加量．（3）将原长相等的铜棒和铁棒从0℃开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高20℃，求该铁棒温度的增加量．23．（11分）（2025•河北）综合与实践[情境]要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线．[模型]已知矩形ABCD（数据如图2所示）．作一条直线MN，使MN与BC所夹的锐角为45°，且将矩形ABCD分成周长相等的两部分．[操作]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．如图3，嘉嘉的思路如下：①连接AC，BD交于点O；②过点O作EF⊥BC，分别交BC，AD于点E，F；……如图4，淇淇的方法如下：①在边BC上截取BG＝AB，连接AG；②作线段GC的垂直平分线l，交BC于点M；③在边AD上截取AN＝GM，作直线MN．[探究]根据以上描述，解决下列问题．（1）图2中，矩形ABCD的周长为；（2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；（3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求．[拓展]操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．（4）如图5，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH．①当∠PQC＝45°时，求tan∠BCH的值；②当∠BCH最大时，直接写出CH的长．24．（12分）（2025•河北）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P．抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C（12，2）．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L1，L2（1）求b，c的值及点P的坐标．（2）点D在L1上，到x轴的距离为234．判断L2能否经过点D，若能，求a（3）直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L1于点E，点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐标的一半．①若点E与点P重合，点M恰好落在L2上，求a的值；②若点M为直线AE与L2的唯一公共点，请直接写出k的值．

2025年河北省中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案BCBCACABDBD题号12答案A一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）1．（3分）（2025•河北）从﹣5℃上升了5℃后的温度，在温度计上显示正确的是（）A． B． C． D．【考点】有理数的加法．【专题】实数；运算能力．【答案】B【分析】根据题意列出算式﹣5+5，然后根据互为相反数的两个数相加得0计算即可判断．【解答】解：根据题意得﹣5+5＝0（℃），即温度计上显示0℃，故选：B．【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．（3分）（2025•河北）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝（）A．70° B．100° C．110° D．130°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】由平行线的性质推出∠BAD+∠ABC＝180°，即可求出∠BAD的度数．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝70°，∴∠BCD＝110°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．3．（3分）（2025•河北）计算：（10+6）（A．2 B．4 C．6 D．8【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据平方差公式计算即可．【解答】解：（10+6）（＝10﹣6＝4，故选：B．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4．（3分）（2025•河北）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和4cm，笔的实际长度为14cm，则该化石的实际长度为（）A．2cm B．6cm C．8cm D．10cm【考点】比的应用．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】根据题意列出比例即可解答．【解答】解：设该化石的实际长度为xcm，根据题意得：147解得x＝8，所以该化石的实际长度为8cm．故选：C．【点评】本题考查了比的应用，正确列出比例是解答本题的关键．5．（3分）（2025•河北）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（）A． B． C． D．【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【答案】A【分析】根据主视图和俯视图，可判断左视图．【解答】解：由俯视图中的正方形位于横向的对称轴的位置上，故选项A的左视图符合题意．故选：A．【点评】本题考查三视图判断几何体，解题的关键是学会观察，灵活运用所学知识解决问题．6．（3分）（2025•河北）若一元二次方程x（x+2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】根与系数的关系；点的坐标．【专题】一元二次方程及应用；推理能力．【答案】C【分析】先求出两根之和、两根之积，从而判断m，n的符号可以得解．【解答】解：由方程x（x+2）﹣3＝0，得到x2+2x﹣3＝0．两根之和：-2两根之积：-31∴m，n都为负数，∴点（m，n）在第三象限．故选：C．【点评】本题主要考查了根与系数的关系、点的坐标，解题时要熟练掌握根与系数的关系是解题关键．7．（3分）（2025•河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为12，出现数字2的概率为1A． B． C． D．【考点】概率的意义；概率公式．【专题】概率及其应用；运算能力．【答案】A【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：∵向上一面出现数字1的概率为12，出现数字2的概率为1∴6个面中要有3个面标有“1”，有2个面标有“2”，∴只能有一个面标有“3”，∴该木块不可能是选项A．故选：A．【点评】此题考查了概率公式以及概率的意义，概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．8．（3分）（2025•河北）若a＝﹣3，则a2A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．6【考点】代数式求值．【专题】计算题；整式；运算能力．【答案】B【分析】先化简再求值即可．【解答】解：原式=当a＝﹣3时，原式=-3+6故选：B．【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．9．（3分）（2025•河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（）A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3【考点】相似三角形的判定．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】D【分析】先根据平行线的性质得到∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，当添加∠B+∠4＝180°时，根据等角的补角相等证明∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对A选项进行判断；当添加CD∥AB时，根据平行线的性质得到∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对B选项进行判断；当添加∠1＝∠4时，根据等角的补角相等证明∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对C选项进行判断；当添加∠2＝∠3时，根据等角的补角相等证明∠AEM＝∠CDN＝∠CND，于是根据相似三角形的判定方法可对D选项进行判断．【解答】解：∵AE∥BC，∴∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，当添加∠B+∠4＝180°时，∵∠DCN+∠4＝180°，∴∠DCN＝∠B，∴∠DCN＝∠MAE，∴△MAE∽△DCN，所以A选项不符合题意；当添加CD∥AB时，∴∠DCN＝∠B，∴∠DCN＝∠MAE，∴△MAE∽△DCN，所以B选项不符合题意；当添加∠1＝∠4时，∵∠MAE+∠1＝180°，∠DCN+∠4＝180°，∴∠DCN＝∠MAE，∴△MAE∽△DCN，所以C选项不符合题意；当添加∠2＝∠3时，∵∠AEM+∠2＝180°，∠CDN+∠3＝180°，∴∠AEM＝∠CDN＝∠CND∴不能判断△MAE∽△DCN，所以D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行线的性质．10．（3分）（2025•河北）在反比例函数y=4x中，若2＜y＜A．12＜x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜4 D．4＜x【考点】反比例函数的性质．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】B【分析】根据反比例函数图象的性质代入函数值的范围即可求出x的取值范围．【解答】解：∵反比例函数y=4x，k＝4＞∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∴当2＜y＜4时，44＜x∴1＜x＜2．故选：B．【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．11．（3分）（2025•河北）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（）A．∠1＝45°﹣α B．∠1＝α C．∠2＝90°﹣α D．∠2＝2α【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．【专题】展开与折叠．【答案】D【分析】根据矩形的性质的可得AD∥BC，∠C＝90°，则∠ADB＝∠1，进而根据折叠的性质得出2∠1＝90°﹣α，∠2＝2α，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠C＝90°，∴∠ADB＝∠1，∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠ADB＝∠A'DB，∴∠1＝∠A'DB，∵∠DEC＝90°﹣α，即2∠1＝90°﹣α，∴∠1=45°-12α∵∠BDE≠∠CDE，∴∠1≠α，故B不正确，∵将矩形ABCD沿对角线ED折叠，∴∠C'ED＝∠CED∠2＝180°﹣2∠CED＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α，故C不正确，D选项正确，故选：D．【点评】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．12．（3分）（2025•河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（）A．(75，115) B．(85【考点】正方形的性质；坐标与图形变化﹣平移．【专题】一次函数及其应用；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】待定系数法求得直线FG的解析式为y＝﹣2x﹣1，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解．【解答】解：设直线FG的解析式为y＝kx+b，代入（﹣1，1），（0，﹣1），∴1=-k+b∴直线FG的解析式为y＝﹣2x﹣1，∵E（1，2），A．当E为(75，115)时，平移方式为向右平移∴直线FG平移后的解析式为y=-2(x-25)-1+1B．当E为(85，2310)时，平移方式为向右平移∴直线FG平移后的解析式为y=-2(x-35)-1+310=-2C．当E为(32，2)∴直线FG平移后的解析式为y=-2(x-D．当E为(32，94)时，平移方式为向右平移∴直线FG平移后的解析式为y＝﹣2（x-12）﹣1+14=-2x+14，此时点E故选：A．【点评】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）（2025•河北）计算：2a2+4a2＝6a2．【考点】合并同类项．【专题】计算题；整式；运算能力．【答案】6a2．【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．【解答】解：2a2+4a2＝（2+4）a2＝6a2．故答案为：6a2．【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．14．（3分）（2025•河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n的值可以为2或3或4或5或6．（写出一个即可）【考点】平行四边形的性质．【专题】三角形；多边形与平行四边形；运算能力．【答案】2或3或4或5或6．【分析】由平行四边形两个邻边长分别为3和4，根据三角形的三边关系，即可求得它的一条对角线长n的取值范围．【解答】解：如图，∵平行四边形两个邻边长分别为3和4，∴它的一条对角线长n的取值范围是：4﹣3＜n＜4+3，即它的一条对角线长n的取值范围是：1＜n＜7．∴n＝2或3或4或5或6．故答案为：2或3或4或5或6．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握三角形三边关系的应用．15．（3分）（2025•河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的13与乙纸条的25叠合在一起，形成长为81的纸条，则a+b＝99【考点】二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】99．【分析】根据将甲纸条的13与乙纸条的25叠合在一起，形成长为【解答】解：根据题意得，13解得a=54∴a+b＝99，故答案为：99．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意列出方程组是解题的关键．16．（3分）（2025•河北）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为6+22（参考数据：sin15°=6-24眼肌运动训练图使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行．【考点】解直角三角形的应用；规律型：图形的变化类．【专题】规律型；解直角三角形及其应用．【答案】6+【分析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D，首先得到线段AB的长与其他的都不相等，然后求出∠BOD＝75°，解直角三角形求出BD=【解答】解：如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D，眼肌运动训练图使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行．由图可得，线段AB的长与其他的都不相等，∵其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，∴360°÷12＝30°，∴相邻两个数字与圆心O组成的圆心角为30°，∴∠AOB＝30°×5＝150°，∴∠OAB∵OD⊥AB，∴∠BOD＝75°，∴sin∠即6+∴BD=∵OA＝OB，OD⊥AB，∴AB=2∴这条线段的长为6+故答案为：6+【点评】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）（2025•河北）（1）解不等式2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其解集；（2）解不等式3﹣x＜5，并在如图所给的数轴上表示其解集；（3）直接写出不等式组2x【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）x≤3，数轴见解析过程；（2）x＞﹣2，数轴见解析过程；（3）﹣2＜x≤3．【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来．（2）根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来．（3）结合（1）（2），写出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）2x≤6，x≤3，数轴表示如下：．（2）3﹣x＜5，﹣x＜2，x＞﹣2，数轴表示如上图．（3）由（1）（2）知，不等式组2x≤63-x＜5【点评】本题主要考查了解一元一次不等式（组）及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式（组）的步骤是解题的关键．18．（8分）（2025•河北）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：计算：（﹣6）×（12解：（﹣6）×（12＝﹣6×1＝﹣3+4﹣5……第二步＝﹣4……第三步请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．（2）计算：|2-2|﹣（﹣2）2×（1【考点】有理数的混合运算．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）从第一步开始出现错误，正确的解答过程见解析；（2）1-2【分析】（1）根据题干中的解题步骤进行判断，并利用乘法分配律进行正确的计算即可；（2）先去绝对值并进行有理数的乘方运算，然后利用乘法分配律计算，最后算加减即可．【解答】解：（1）原解题步骤从第一步开始出现错误，正确解答过程如下：原式＝（﹣6）×12+（﹣6）×2＝﹣3﹣4+5＝﹣2；（2）原式＝2-2-4×（＝2-2-（4×1＝2-2-（2﹣＝2-2＝1-2【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．19．（8分）（2025•河北）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD．（1）求证：△ABC≌△AFD；（2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答．【分析】（1）由AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，得∠ACB＝∠ADF，由∠BAF＝∠EAD，推导出∠BAC＝∠FAD，而AC＝AD，即可根据“ASA”证明△ABC≌△AFD；（2）由全等三角形的性质得AB＝AF，而BE＝FE，根据等腰三角形的“三线合一”得AC⊥BD．【解答】证明：（1）∵AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∴∠ACB＝∠ADF，∵∠BAF＝∠EAD，∴∠BAF﹣∠CAF＝∠EAD﹣∠CAF，∴∠BAC＝∠FAD，在△ABC和△AFD中，∠BAC∴△ABC≌△AFD（ASA）．（2）由（1）得△ABC≌△AFD，∴AB＝AF，∵BE＝FE，∴AC⊥BF，即AC⊥BD．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，推导出∠BAC＝∠FAD，进而证明△ABC≌△AFD是解题的关键．20．（8分）（2025•河北）某工厂生产A，B，C，D四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．类别数据产品ABCD调整前单件成本/（元/件）18262036调整后单件成本/（元/件）方案甲1322m40方案乙16n1832说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题：（1）求调整前A产品的年产量；（2）直接写出m，n的值；（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；扇形统计图．【专题】统计的应用；数据分析观念．【答案】（1）60万件；（2）m＝25，n＝28；（3）方案甲总成本较低．【分析】（1）先根据调整前D产品产量及其所占百分比求出总产量，再用总产量乘C对应百分比求出其产量，再根据四个产品的产量和等于总产量求出A产品的产量；（2）根据平均数和中位数的定义求解即可；（3）根据A产品年产量×单件成本+B产品年产量×单件成本+C产品年产量×单件成本+D产品年产量×单件成本分别求出方案甲、乙的总成本，从而得出答案．【解答】解：（1）调整前，总产量为40÷20%＝200（万件），所以C产品的产量为200×15%＝30（万件），则A产品的年产量为200﹣（70+30+40）＝60（万件）；（2）由题意知，18+26+20+364解得m＝25；∵调整前单件成本的中位数为20+262=23（元∴18+n2解得n＝28；（3）方案甲总成本为60×13+70×22+30×25+40×40＝4670（万元），方案乙总成本为60×16+70×28+30×18+40×32＝4740（万元），4670＜4740，所以方案甲总成本较低．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．21．（9分）（2025•河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为EMF．（1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数；（2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；（3）当∠EOF＝150°时，求EMF的长．【考点】圆的综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）45°；（2）6；（3）53π或【分析】（1）利用正方形的性质得到AD＝BC＝5，∠ADC＝90°，利用已知条件得到DE＝DF＝OE＝OF＝2，再利用正方形的判定与性质得到四边形OEDF为正方形，最后利用圆周角定理解答即可；（2）连接EF，交BD于点H，利用菱形的性质得到OE＝EM＝OF＝MF＝2，EH⊥MD，利用直角三角形的边角关系定理和等腰直角三角形的判定与性质解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：画出图形，利用弧长公式解答即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为边长为5的正方形，∴AD＝BC＝5，∠ADC＝90°，∵AE＝3，∴DE＝2，∵DE＝DF，∴DE＝DF＝2．∵OE＝OF＝2，∴DE＝DF＝OE＝OF＝2，∴四边形OEDF为正方形，∴∠EOF＝90°，∴∠EMF=12∠EOF（2）连接EF，交BD于点H，如图，∵四边形OEMF为菱形，∴OE＝EM＝OF＝MF＝2，EH⊥MD，∵OM＝OE＝OF＝2，∴△OEM，△OFM为等边三角形，∴∠OEM＝∠OME＝∠OMF＝∠OFM＝60°，∴EH＝ME•sin60°＝2×3∵四边形ABCD为边长为5的正方形，∴BD平分∠ADC，∴∠ADB＝45°，∴△EDH为等腰直角三角形，∴DH＝EH=3∴DE=2DH=（3）当∠EOF＝150°时，即EMF为劣弧时，如图，∴EMF的长=150当∠EOF＝150°时，即EMF为优弧时，如图，∴EMF的长=210综上，当∠EOF＝150°时，EMF的长为53π或【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，正方形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，弧长公式，分类讨论的思想方法，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．22．（9分）（2025•河北）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在0﹣100℃（本题涉及的温度均在此范围内），原长为lm的铜棒、铁棒受热后，伸长量y（m）与温度的增加量x（℃）之间的关系均为y＝alx，其中a为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数aCu＝1.7×10﹣5（单位：/℃）；原长为2.5m的铁棒从20℃加热到80℃伸长了1.8×10﹣3m．（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高50℃，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．（2）求铁的线膨胀系数aFe；若原长为1m的铁棒受热后伸长4.8×10﹣4m，求该铁棒温度的增加量．（3）将原长相等的铜棒和铁棒从0℃开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高20℃，求该铁棒温度的增加量．【考点】有理数的混合运算；科学记数法—表示较小的数．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）5.1×10﹣4m（2）aFe＝1.2×10﹣5；该铁棒温度的增加量为40℃；（3）68℃．【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）根据题意先求得aFe，然后列式计算求得该铁棒温度的增加量即可；（3）设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为（x+20）℃，设它们的长度均为l，根据题意列得方程，解方程求得x的值后代入x+20中计算即可．【解答】解：（1）1.7×10﹣5×0.6×50＝5.1×10﹣4（m），即该铜棒的伸长量为5.1×10﹣4m；（2）aFe=1.8×10-34.8×10﹣4÷（1.2×10﹣5×1）＝40（℃），即该铁棒温度的增加量为40℃；（3）设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为（x+20）℃，设它们的长度均为l，由题意得1.7×10﹣5lx＝1.2×10﹣5l（x+20），整理得：17x＝12x+240，解得：x＝48，则x+20＝48+20＝68，即该铁棒温度的增加量为68℃．【点评】本题考查有理数的混合运算，科学记数法表示较小的数，理解题意并列得正确的算式及方程是解题的关键．23．（11分）（2025•河北）综合与实践[情境]要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线．[模型]已知矩形ABCD（数据如图2所示）．作一条直线MN，使MN与BC所夹的锐角为45°，且将矩形ABCD分成周长相等的两部分．[操作]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．如图3，嘉嘉的思路如下：①连接AC，BD交于点O；②过点O作EF⊥BC，分别交BC，AD于点E，F；……如图4，淇淇的方法如下：①在边BC上截取BG＝AB，连接AG；②作线段GC的垂直平分线l，交BC于点M；③在边AD上截取AN＝GM，作直线MN．[探究]根据以上描述，解决下列问题．（1）图2中，矩形ABCD的周长为10；（2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；（3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求．[拓展]操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．（4）如图5，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH．①当∠PQC＝45°时，求tan∠BCH的值；②当∠BCH最大时，直接写出CH的长．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．【答案】（1）10；（2）见解析；（3）见解析；（4）①313②22．【分析】（1）根据矩形的周长公式计算即可；（2）以点E为圆心EO为半径画弧，交BC于点M，延长MO交AD于点N，连接MN，由作图可知△OME是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证∠NMC＝45°，根据矩形的性质可证△AON≌△COM，根据全等三角形的性质可证AN＝CM，DN＝BM，从而可证直线MN把矩形分成了周长相等的两部分，所以线段MN即为所求；（3）根据矩形的性质可证四边形AGMN是平行四边形，根据平行四边形的性质可证∠NMG＝∠AGB＝45°，根据平行四边形的性质和矩形的性质可以证明出AN＝CM，BM＝DN，所以可以证明AN+AB+BM＝CM+CD+DN，所以直线MN把矩形ABCD分成了周长相等的两部分，从而可证直线MN符合要求；（4）①过点H作HG⊥BC，连接AC交PQ于点O，过点P作PK⊥BC于点K，过点O作OT⊥BC，根据矩形的性质可得：AP＝CQ，PD＝BQ，AB＝DC＝PK＝1，根据勾股定理可以求出PQ=2，利用AAS可证△AOP≌△COQ，根据全等三角形的性质可得：PO=QO=22OT＝QT＝2，从而可得：CQ=52，BQ=32，根据等腰直角三角形的性质可得：HG=34，CG=134，根据正切的定义可以求出∠BCH的正切；②连接AC交PQ于点O，PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部分，点O为AC和PQ的中点，利用勾股定理可以求出AC=17LH=174，过点L作LT⊥BC，则△BLT【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵AB＝1，AD＝4，∴AB＝CD＝1，AD＝BC＝4，∴矩形ABCD的周长为2（AB+AD）＝2×（1+4）＝10，故答案为：10；（2）解：如图所示，以点E为圆心EO为半径画弧，交BC于点M，延长MO交AD于点N，线段MN即为所求，∵EF⊥BC，∴∠BEF＝90°，∵EM＝EO，∴△EOM是等腰直角三角形，∴∠OME＝45°，∵矩形ABCD的对角线交于点O，∴AO＝CO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AON＝∠COM，在△AON和△COM中，∠OAN∴△AON≌△COM（ASA），∴AN＝CM，∴DN＝BM，∴AN+AB+BM＝CM+CD+DN，∴直线MN把矩形ABCD分成周长相等的两部分；（3）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∵BG＝AB，∴∠AGB＝45°，∵AN＝MG，∴四边形AGMN是平行四边形，∴MN∥AG，∴∠NMG＝∠AGB＝45°，∵直线l是GC的垂直平分线，∴GM＝CM，∴GM＝CM＝AN，∴BM＝BC﹣CM，DN＝AD﹣AN，∴BM＝DN，∴AN+AB+BM＝CM+CD+DN，∴MN把矩形ABCD分成了周长相等的两部分，∴直线MN符合要求；（4）解：①如图所示，过点H作HG⊥BC，连接AC交PQ于点O，过点P作PK⊥BC于点K，过点O作OT⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，则点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，∴点O是AC的中点，∴BT=∴AP＝CQ，PD＝BQ，AB＝DC＝PK＝1，∵∠PQC＝45°，∴△PQK是等腰直角三角形，∴PK＝QK＝1，∴PQ=∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠APQ＝∠CQP＝45°，在△AOP和△COQ中，∠AOP∴△AOP≌△COQ（AAS），∴PO=QO=22，∴CQ＝CT+QT＝2+1∴BQ＝BC﹣CQ＝4-5∵BH⊥PQ于点H，∠BQH＝∠PQC＝45°，∴∠BHQ＝90°，∴△BHQ是等腰直角三角形，∴HG＝GQ=12BQ=1∴tan∠②如图所示，连接BD交PQ于点O，∵PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部分，∴点O为BD和PQ的中点，∵BH⊥PQ，∴点H在以BO为直径的⊙L上，当CH与⊙L相切时，∠BCH最大，∵AB＝1，AD＝4，∴BD=∴BO=∴LH=过点L作LT⊥BC，∴∠BTL＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴TL∥CD，则△BLT∽△BDC，∴BLBD∴174∴LT=14BT∴CT＝BC﹣BT＝4﹣1＝3，∴CL∵CH是⊙L的切线，∴∠CHL＝90°，∴CH=【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质、中心对称图形的性质、圆的基本性质、切线的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，本题的综合性较强，难度较大，需要综合运用矩形、圆、切线等图形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．24．（12分）（2025•河北）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P．抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C（12，2）．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L1，L2（1）求b，c的值及点P的坐标．（2）点D在L1上，到x轴的距离为234．判断L2能否经过点D，若能，求a（3）直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L1于点E，点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐标的一半．①若点E与点P重合，点M恰好落在L2上，求a的值；②若点M为直线AE与L2的唯一公共点，请直接写出k的值．【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题；压轴题．【答案】（1）b＝6，c＝3，P（3，12）；（2）不能，理由见解析；（3）①a=-118；【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意得出yD=234，代入抛物线解析式得出D(12，234（3）①先求得M(32②根据题意得出直线AE的解析式为y＝kx+3，根据y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C(12，2)，得出y=a(x-3)2+2-254a=ax2-6ax+114a【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P，∴c=3解得：b＝6，c＝3，∴y＝﹣x2+6x+3＝﹣（x﹣3）2+12，∴P（3，12）；（2）∵点D在L1（第一象限）上，到x轴的距离为234则yD∴当y=234解得：x=12∴D(12∵抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C(12，2)∴L2经过点C(12∴L2不能经过点D，（3）①∵A（0，3），P（3，12），当E，P重合时，则E（3，12），∵M是AE的中点，∴M(∵点M(32，152)恰好落在L∴2=(1解得：a=-②直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L1于点E，A（0，3），∴n＝3，∴直线AE的解析式为y＝kx+3，∵y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C(∴2=25∴d=2-∴y=联立y=消去y得，ax∴x1∵点M的横坐标是点E横坐标的一半，∴M(6a将E代入y＝﹣x2+6x+3，∴6∵点M为直线AE与L2的唯一公共点，∴Δ=(k联立①②得：a=-1k=6-当k=6+∴k=6-【点评】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．

考点卡片1．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．2．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．3．科学记数法—表示较小的数用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律x的取值范围表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整数的位数﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）4．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．5．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．6．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．7．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．8．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．9．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．10．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=-（x1+x2），（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．11．在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【规律方法】不等式解集的验证方法某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．12．解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．13．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．14．点的坐标（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．（2）平面直角坐标系的相关概念①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．（3）坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．15．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y=kx（k≠0）的（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．16．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．17．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．18．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．19．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．20．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．21．四边形综合题涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．22．圆的综合题考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大．23．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．24．坐标与图形变化-平移（1）平移变换与坐标变化①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a