2025年江苏省常州市中考数学试卷

第44页（共44页）2025年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）（2025•常州）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12．（2分）（2025•常州）若使分式5x+1有意义，则A．x≠﹣1 B．x＝﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣13．（2分）（2025•常州）下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（）A． B． C． D．4．（2分）（2025•常州）如图，⊙O的半径为2，直径AB、CD互相垂直，则BC的长是（）A．π4 B．π2 C．π D．5．（2分）（2025•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则sinB的值是（）A．35 B．34 C．45 6．（2分）（2025•常州）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝5．若∠ABD＝30°，则AC的长是（）A．4 B．5 C．6 D．107．（2分）（2025•常州）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则AB与CD平行．这一判断过程体现的数学依据是（）A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行8．（2分）（2025•常州）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以v2分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以54v1米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以v2米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间xA． B． C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）（2025•常州）4的算术平方根是．10．（2分）（2025•常州）计算（a2）3＝．11．（2分）（2025•常州）分解因式：x2﹣9y2＝．12．（2分）（2025•常州）太阳的半径约为700000千米，数据700000用科学记数法表示为．13．（2分）（2025•常州）若x3＞y3则x﹣y14．（2分）（2025•常州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为．15．（2分）（2025•常州）如图，AB∥CD，AC⊥AD，∠ACD＝50°，则∠α＝．16．（2分）（2025•常州）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，DE＝2AE，CE、BA的延长线相交于点F，若AB＝2，则AF＝．17．（2分）（2025•常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝．18．（2分）（2025•常州）如图，在△ABC中，tanC=43，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF＝5，EF＝2，则AC＝三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）（2025•常州）先化简，再求值：x（x+2）+（x﹣1）2，其中x=20．（6分）（2025•常州）解不等式组x221．（8分）（2025•常州）甲、乙两人在相同条件下10次射击的成绩如下：人员环数甲6768768697乙57510586987对以上数据进行分析，绘制成如表：人员平均数中位数众数方差：甲x甲7m1乙7n52.8（1）填空：x甲=，m＝，n＝（2）根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理由．22．（8分）（2025•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有：①﹣1；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是；（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率．23．（8分）（2025•常州）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？24．（8分）（2025•常州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）用直尺和圆规作∠DAE的平分线AF（保留作图痕迹，不要求写作法）．25．（8分）（2025•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于点A（1，n）、B（﹣3，﹣2），且与y（1）求一次函数、反比例函数的表达式；（2）连接OA，求△OAC的面积．26．（10分）（2025•常州）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝2，AD＝1．（1）若△ABD是等腰三角形，则BD＝；（2）已知OB＝OD，AC＝BD．①若OA＝OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由；②如图，在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，求AC的长．27．（10分）（2025•常州）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-32x+3的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象经过点B，顶点是C．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B′、C′分别是B、C的对应点，且点B′落在x轴正半轴上，点C′的纵坐标为﹣（1）OB＝；（2）求点C的坐标；（3）已知新抛物线与y轴交于点G（0，52），点D（3，y1）、E（x2，y2）在新抛物线上，若对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立，求实数m28．（10分）（2025•常州）在平面xOy中以下种不同所得线段的关系．方式一：向右平移1个单位长度，后绕原点O按逆时针方向旋转90°；方式二：先原点O按逆时针方向旋转90°，然后向右平移1个单位长度．如图1小明将线段AB按方式一方式二运动：分别得到线段A1B1、A2B2，发现它们除长度相等外还有其他关系．【实践体验】（1）如图2，小明已画出线段CD按方式一运动得到的线段C1D1．请你利用网格，在图2中画出线段CD按方式二运动得到的线段；【探索发现】（2）在平面直角坐标系xOy中，将线段a按方式一、方式二运动，分别得到线段a1、a2，则线段a1、a2所在直线可能（写出所有可能的序号）；①相交；②平行；③是同一条直线．【综合应用】（3）如图3，已知点G（2，3），H（x，y）是第一象限内两个不重合的点，将线段GH按方式一、方式二运动，分别得到线段G1H1、G2H2（G1、G2是G的对应点．H1、H2是H的对应点）．①若点H1与点G2重合，求点H的坐标；②若线段G1H1与线段G2H2有公共点，直接写出y与x之间的函数表达式，并写出实数x的取值范围．

2025年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案AADCCBBA一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）（2025•常州）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】数轴；相反数．【专题】实数；运算能力．【答案】A【分析】根据数轴得到点P表示的数为2，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．【解答】解：根据数轴得到点P表示的数为2，故数轴上点P表示的数的相反数是﹣2，故选：A．【点评】本题考查求一个数的相反数，数轴，熟练掌握以上知识点是关键．2．（2分）（2025•常州）若使分式5x+1有意义，则A．x≠﹣1 B．x＝﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1【考点】分式有意义的条件．【答案】A【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．【点评】从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．3．（2分）（2025•常州）下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（）A． B． C． D．【考点】几何体的展开图．【专题】展开与折叠；空间观念．【答案】D【分析】根据三棱柱的形体特征进行判断即可．【解答】解：三棱柱的侧面是长方形，因此选项D是三棱柱的侧面展开图，故选：D．【点评】本题考查几何体的展开图，掌握三棱柱的形体特征是正确解答的关键．4．（2分）（2025•常州）如图，⊙O的半径为2，直径AB、CD互相垂直，则BC的长是（）A．π4 B．π2 C．π D．【考点】弧长的计算．【专题】推理能力．【答案】C【分析】先利用直径AB、CD互相垂直，得出∠BOC＝90°，再利用弧长公式计算即可．【解答】解：∵直径AB、CD互相垂直，∴∠BOC＝90°，∴BC弧的长为90π故选：C．【点评】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．5．（2分）（2025•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则sinB的值是（）A．35 B．34 C．45 【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】C【分析】利用勾股定理求得BC的长度，再根据正弦的定义即可求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC=AB∴sinB=AC故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握其定义是解题的关键．6．（2分）（2025•常州）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝5．若∠ABD＝30°，则AC的长是（）A．4 B．5 C．6 D．10【考点】菱形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．【答案】B【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，根据含30°角的直角三角形的性质即可求得AO的长，从而得到结果．【解答】解：在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝5．∴AC⊥BD，AO＝CO，∴∠AOB＝90°，∵∠ABD＝30°，∴AO=∴AC＝2AO＝5，故选：B．【点评】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．7．（2分）（2025•常州）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则AB与CD平行．这一判断过程体现的数学依据是（）A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行【考点】平行线的判定与性质；直线的性质：两点确定一条直线；垂线段最短；平行公理及推论．【专题】推理能力．【答案】B【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．【解答】解：由题意得∠A＝∠D，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故选：B．【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．8．（2分）（2025•常州）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以v2分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以54v1米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以v2米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间xA． B． C． D．【考点】函数的图象．【专题】函数及其图象；运算能力．【答案】A【分析】由题意得小丽家到图书馆的距离为1500米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出v1=65v2，可得现在小华开始的速度为32v2（米/分钟），设小华t分钟后与小丽相遇后，由题意得32v2t=v2t+300【解答】解：小丽家到图书馆的距离为1800﹣300＝1500（米），由条件可得1800v∴v1∴现在小华开始的速度为54v1设小华t分钟后与小丽相遇，由题意得32得v2t＝600，则相遇时小华到图书馆的距离为1800-3剩余路程为1800﹣900＝900（米），再结合小华开始的速度为32v2米/分钟，大于后面的速度v2则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间，可知只有选项A符合题意，故选：A．【点评】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）（2025•常州）4的算术平方根是2．【考点】算术平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】2．【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故答案为：2．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．10．（2分）（2025•常州）计算（a2）3＝a6．【考点】幂的乘方与积的乘方．【答案】见试题解答内容【分析】幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）【解答】解：（a2）3＝a2×3＝a6．故答案为：a6【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．11．（2分）（2025•常州）分解因式：x2﹣9y2＝（x﹣3y）（x+3y）．【考点】因式分解﹣运用公式法．【专题】整式；运算能力．【答案】（x﹣3y）（x+3y）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．12．（2分）（2025•常州）太阳的半径约为700000千米，数据700000用科学记数法表示为7×105．【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；符号意识．【答案】7×105．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：700000＝7×105．故答案为：7×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．（2分）（2025•常州）若x3＞y3则x﹣【考点】不等式的性质．【专题】运算能力．【答案】＞．【分析】根据不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，即可解答．【解答】解：∵x3∴不等式两边都乘以3得x＞y，∴x﹣y＞0，故答案为：＞．【点评】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．14．（2分）（2025•常州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为1．【考点】根的判别式．【答案】见试题解答内容【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得Δ＝0，此题难度不大．15．（2分）（2025•常州）如图，AB∥CD，AC⊥AD，∠ACD＝50°，则∠α＝40°．【考点】平行线的性质；垂线．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】40°．【分析】先根据平行线的性质得出∠BAC的度数，再由AC⊥AD得出∠CAD＝90°，进而可得出结论．【解答】解：∵直线AB∥CD，∠ACD＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACD＝180°﹣50°＝130°，∵AC⊥AD，∴∠CAD＝90°，∴∠α＝∠BAC﹣∠CAD＝130°﹣90°＝40°．故答案为：40°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．16．（2分）（2025•常州）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，DE＝2AE，CE、BA的延长线相交于点F，若AB＝2，则AF＝1．【考点】平行四边形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】1．【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，由DE＝2AE，推导出AEBC=AEAD=13，可证明△FAE∽△FBC，得AFBF=AEBC【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝2AE，∴AD＝AE+DE＝AE+2AE＝3AE，∴AEBC∵AE∥BC，∴△FAE∽△FBC，∴AFBF∵AB＝2，∴AF2+∴AF＝1，故答案为：1．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△FAE∽△FBC是解题的关键．17．（2分）（2025•常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝2．【考点】圆周角定理．【专题】推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据直径所对的圆周角为90°，可知∠ADB＝90°，求出∠DCB＝∠DAB＝45°，得到BD＝AD＝1，利用勾股定理求解即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DCB＝45°，∴∠DCB＝∠DAB＝45°，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝45°，∴BD＝AD＝1，∴AB=故答案为：2．【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角为90°，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．18．（2分）（2025•常州）如图，在△ABC中，tanC=43，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF＝5，EF＝2，则AC＝212【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；展开与折叠；几何直观；推理能力．【答案】212【分析】过点F作FG⊥AC于点G，由tanC=FGCG=43，设FG＝4x，则CG＝3x，结合CF＝5，求出FG＝4，CG＝3，由翻折得AC＝AE，设AC＝AE＝y，则AG＝AC﹣CG＝y﹣3，AF＝AE﹣EF＝y﹣2，在Rt△AFG中，利用AF2＝【解答】解：在△ABC中，tanC=43，如图，过点F作FG⊥AC于点∴tanC=设FG＝4x，则CG＝3x，在直角三角形CFG中，CF＝5，由勾股定理得：CF2＝CG2+FG2，即52＝（3x）2+（4x）2，解得：x＝1（负值已舍去），∴FG＝4，CG＝3，由翻折得AC＝AE，设AC＝AE＝y，则AG＝AC﹣CG＝y﹣3，AF＝AE﹣EF＝y﹣2，在Rt△AFG中，由勾股定理得：AF2＝AG2+FG2，即（y﹣2）2＝（y﹣3）2+42，解得：y=即AC=故答案为：212【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）（2025•常州）先化简，再求值：x（x+2）+（x﹣1）2，其中x=【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】整式；运算能力．【答案】2x2+1，7．【分析】首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案．【解答】解：原式＝x2+2x+x2﹣2x+1＝2x2+1，当x=3时，原式【点评】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键．20．（6分）（2025•常州）解不等式组x2【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】﹣2≤x＜0，数轴见解析．【分析】解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可．【解答】解：解第一个不等式得：x≥﹣2，解第二个不等式得：x＜0，故原不等式组的解集为﹣2≤x＜0，在数轴上表示其解集如图所示：．【点评】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．21．（8分）（2025•常州）甲、乙两人在相同条件下10次射击的成绩如下：人员环数甲6768768697乙57510586987对以上数据进行分析，绘制成如表：人员平均数中位数众数方差：甲x甲7m1乙7n52.8（1）填空：x甲=7，m＝6，n＝7（2）根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理由．【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．【答案】（1）7，6，7；（2）甲的射击成绩比较稳定，理由：样本中甲的射击成绩的方差较小，成绩比较稳定．【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义和计算方法进行计算即可；（2）根据甲、乙二人射击成绩的方差的大小进行判断即可．【解答】解：（1）x甲＝y=6×4+7×3+8×2+910人员甲射击10次成绩出现次数最多的是6环，所以人员甲射击10次成绩的众数是6环，即m＝6，将人员乙10次射击成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为7+72=7（环），所以人员乙10次射击成绩的中位数是7环，即n＝故答案为：7，6，7；（2）甲的射击成绩比较稳定，理由：样本中甲的射击成绩的方差较小，成绩比较稳定．【点评】本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数、方差的定义以及计算方法是正确解答的关键．22．（8分）（2025•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有：①﹣1；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是13（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】（1）13（2）13【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到的数与文字描述相符合的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是13故答案为：13（2）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中抽到的数与文字描述相符合的结果有2种，即①⑤、③④，∴抽到的数与文字描述相符合的概率为26【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（8分）（2025•常州）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？【考点】分式方程的应用．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】浇水方式改进后平均每天用水1吨．【分析】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水（x+1）吨，根据“20吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可．【解答】解：设浇水方式改进后平均每天用水x吨，依题意，得：20解得：x＝1，经检验，x＝1是原方程的解，且符合题意，答：浇水方式改进后平均每天用水1吨．【点评】本题考查分式方程的应用．理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键．24．（8分）（2025•常州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）用直尺和圆规作∠DAE的平分线AF（保留作图痕迹，不要求写作法）．【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】图形的全等；尺规作图；几何直观；推理能力．【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析．【分析】（1）先利用AB＝AC得出∠B＝∠C，再利用SAS证明△ABD≌△ACE即可；（2）利用根据角平分线的作图方法作图即可．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD与△ACE中，AB=∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：作∠DAE的平分线AF，交DE于点F，如图所示，AF即为所求．【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键．25．（8分）（2025•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于点A（1，n）、B（﹣3，﹣2），且与y（1）求一次函数、反比例函数的表达式；（2）连接OA，求△OAC的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）y＝2x+4；y=（2）2．【分析】（1）先将B（﹣3，﹣2）代入y=mx求出反比例函数解析式，再将A（1，n）代入y=6x，求出A（1，6），将A（1，6），B（﹣3，﹣2）代入（2）先求出C（0，4），再利用S△【解答】解：（1）将B（﹣3，﹣2）代入y=得-2=解得m＝6，∴反比例函数的解析式为y=将A（1，n）代入y=得：n＝6，∴A（1，6），由条件可得6=k解得：k=2∴一次函数的解析式为y＝2x+4；（2）当x＝0时，y＝2x+4＝4，∴C（0，4），∴OC＝4，∴S△【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数交点问题的解法．26．（10分）（2025•常州）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝2，AD＝1．（1）若△ABD是等腰三角形，则BD＝2；（2）已知OB＝OD，AC＝BD．①若OA＝OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由；②如图，在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，求AC的长．【考点】三角形综合题．【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）2；（2）①四边形ABCD是矩形，理由见解析；②7．【分析】（1）由△ABD是等腰三角形，AB＝2，AD＝1，分别讨论：当BD＝AB＝2时和当BD＝AD＝1时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可；（2）①利用OA＝OC，OB＝OD，得出四边形ABCD是平行四边形，再利用AC＝BD，即可判定四边形ABCD是矩形；②过点B作BE⊥AC于点E，利用CD2＝AD2+AC2，得出△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，证明△AOD≌△EOB，得出BE＝DA＝1，AO＝EO，利用勾股定理求出AE=3，得出AO=EO=【解答】解：（1）∵△ABD是等腰三角形，AB＝2，AD＝1，∴当BD＝AB＝2时，此时满足三角形三边关系；当BD＝AD＝1时，1+1＝2，此时不满足三角形三边关系；综上所述，BD＝2，故答案为：2；（2）①四边形ABCD是矩形；理由如下：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；②过点B作BE⊥AC于点E，如图，∵在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，∴∠DAO＝∠BEO＝90°，在△AOD和△EOB中，∠DAO∴△AOD≌△EOB（AAS），∴BE＝DA＝1，AO＝EO，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=∴AO=在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=∴BD=2∴AC=【点评】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．27．（10分）（2025•常州）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-32x+3的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象经过点B，顶点是C．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B′、C′分别是B、C的对应点，且点B′落在x轴正半轴上，点C′的纵坐标为﹣（1）OB＝3；（2）求点C的坐标；（3）已知新抛物线与y轴交于点G（0，52），点D（3，y1）、E（x2，y2）在新抛物线上，若对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立，求实数m【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）3；3（2）C(（3）m＜0或m≥3．【分析】（1）求出x＝0时，函数y=-32（2）根据点B′落在x轴正半轴上，得到点B向下平移了3个单位，进而得到点C向下平移3个单位后，与C′的纵坐标相同，进而求出C的纵坐标，代入函数解析式，求出C点坐标即可；（3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：y=98(x【解答】解：（1）由条件可知B（0，3），∴OB＝3；故答案为：3；（2）∵B（0，3），点B的对应点B′落在x轴正半轴上，∴点B向下平移3个单位，∴点C向下平移3个单位后，与C′的纵坐标相同，∵点C′的纵坐标为﹣2，∴点C的纵坐标为﹣2+3＝1；∵点C在线段AB上，即点C在直线y=-∴当y=-32∴C(（3）∵B（0，3），C(∴y=a(x-43)2∴a=∴y=∵平移后点B的对应点B′落在x轴正半轴上，∴设抛物线向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，∴新的抛物线的解析式为：y=把G(0，5解得：h=23∴y=∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点D（3，y1）关于对称轴的对称点为D′（1，y1），∵对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立，∴m+1＜1或m≥3，∴m＜0或m≥3．【点评】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质，正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．28．（10分）（2025•常州）在平面xOy中以下种不同所得线段的关系．方式一：向右平移1个单位长度，后绕原点O按逆时针方向旋转90°；方式二：先原点O按逆时针方向旋转90°，然后向右平移1个单位长度．如图1小明将线段AB按方式一方式二运动：分别得到线段A1B1、A2B2，发现它们除长度相等外还有其他关系．【实践体验】（1）如图2，小明已画出线段CD按方式一运动得到的线段C1D1．请你利用网格，在图2中画出线段CD按方式二运动得到的线段；【探索发现】（2）在平面直角坐标系xOy中，将线段a按方式一、方式二运动，分别得到线段a1、a2，则线段a1、a2所在直线可能②③（写出所有可能的序号）；①相交；②平行；③是同一条直线．【综合应用】（3）如图3，已知点G（2，3），H（x，y）是第一象限内两个不重合的点，将线段GH按方式一、方式二运动，分别得到线段G1H1、G2H2（G1、G2是G的对应点．H1、H2是H的对应点）．①若点H1与点G2重合，求点H的坐标；②若线段G1H1与线段G2H2有公共点，直接写出y与x之间的函数表达式，并写出实数x的取值范围．【考点】三角形综合题．【专题】几何综合题．【答案】（1）；（2）②③；（3）①H（1，2）；②y＝x+1，0＜x≤1或x≥3．【分析】（1）按顺序应用旋转和平移的性质画图即可；（2）先求出按方式一和方式二变换后的端点坐标，然后再根据待定系数法列方程组，求出一次项系数，通过一次项系数来判断直线a1，a2的位置关系；（3）①先由平行性质转化为共线问题，再通过参考直线方程得到函数关系y＝x+1；②通过线段端点位置关系分析范围，结合不等式确定临界点（x＝1和x＝3），结合图形，即可求解．【解答】解：（1）如图所示，线段C2D2即为所求作的线段；（2）设线段a的端点为P（x1，y1）和Q（x2，y2），按方式一变换得到线段对应端点分别为：P1（﹣y1，x1+1），Q1（﹣y2，x2+1），按方式二变换得到线段对应端点分别为：P2（1﹣y1，x1），Q2（1﹣y2，x2），设直线a1的解析式为：y＝px+q，代入P1（﹣y1，x1+1），Q1（﹣y2，x2+1）得，x1+1=-y1p设直线a2的解析式为：y＝mx+n，代入P2（1﹣y1，x1），Q2（1﹣y2，x2）得，x1=(1-y1)∴p＝m，即a1和a2所在直线可能平行或是同一直线，故选：②③；（3）G（2，3）按方式一运动：向右平移1个单位长度，再绕原点O按逆时针方向旋转90°，G1坐标为（﹣3，3），H（x，y）按方式一运动：向右平移1个单位长度，再绕原点OH安逆时针方向旋转90°，H1坐标为H1（﹣y，x+1），G（2，3）按方式二运动：先原点O按逆时针方向旋转90°，再向右平移1个单位，G2坐标为（﹣2，2），H（x，y）按方式二运动：先原点O按逆时针方向旋转90°，再向右平移1个单位，H2坐标为（﹣y+1，x）；①∵点H1与点G2重合，∴x+1=2-y=-2，解得x=1y=2②由（2）可知G1H1∥G2H2，若线段G1H1与线段G2H2有公共点，则点G1，H1，G2，H2在一条直线上，设直线G1G2的解析式为：y＝kx+b，则3=-3k解得k=-1∴直线G1G2的解析式为：y＝﹣x，将点H1坐标为（﹣y，x+1）代入得，x+1＝﹣（﹣y），整理得，y＝x+1，∴H1（﹣（x+1），x+1），H2（﹣x，x），讨论有交点情况：（i）当点H2在线段G1H1上时，两线段有交点，∴﹣x≤﹣3，即x≥3，（ii）当点H1在线段G1G2上（H1不与端点重合）时，两线段无交点，∴﹣3＜﹣（x+1）＜﹣2，即1＜x＜2，当点H2在线段G1G2上时（H1不与端点重合），两线段无交点，∴﹣3＜﹣x＜﹣2，即2＜x＜3，综上所述，1＜x＜3时两线段无交点；（iii）当点H1在线段G2H2上时，两线段有交点，∴﹣（x+1）≥﹣2，即x≤1，由于点H在第一象限，x＞0，∴0＜x≤1，综上所述，若线段G1H1与线段G2H2有公共点，y＝x+1，0＜x≤1或x≥3．【点评】本题综合考查图形运动（平移、旋转的坐标变换）、一次函数的平移、二元一次方程求解、不等式应用及坐标系中的位置关系，解题关键是通过代数计算描述几何变换，并运用数形结合分析线段属性．

考点卡片1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．2．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．3．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．4．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．5．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．6．整式的混合运算—化简求值先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．7．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．8．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．9．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．10．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．11．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．12．在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【规律方法】不等式解集的验证方法某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．13．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．14．函数的图象函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．15．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．16．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．17．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x18．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|-b2a|个单位，再向上或向下平移|419．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a①抛物线是关于对称轴x=-b2a②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x20．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．21．几何体的展开图（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．（2）常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．22．直线的性质：两点确定一条直线（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．23．垂线（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．24．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．25．平行公理及推论（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．26．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．27．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．28．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．29．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE30．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．31．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．32．三角形综合题涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查．33．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．34．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、35．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意