2025年浙江省中考数学试卷

第41页（共41页）2025年浙江省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．（3分）（2025•浙江）34A．-34 B．34 C．-42．（3分）（2025•浙江）如图所示，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝91°，则（）A．∠2＝91° B．∠3＝91° C．∠4＝91° D．∠5＝91°3．（3分）（2025•浙江）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（）A．26.293×1011 B．2.6293×1012 C．0.26293×1013 D．2.6293×10134．（3分）（2025•浙江）底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（）A． B． C． D．5．（3分）（2025•浙江）已知反比例函数y=-7A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大6．（3分）（2025•浙江）如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为（）A．72 B．4 C．92 D7．（3分）（2025•浙江）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如表．材料类别彩色纸（张）细木条（捆）手工艺品A53手工艺品B21如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（）A．5x+3y=172C．5x+2y=178．（3分）（2025•浙江）某书店某一天图书的销售情况如图所示．根据以上信息，下列选项错误的是（）A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册 C．文艺类图书销售占比30% D．其他类图书销售占比18%9．（3分）（2025•浙江）如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB＝2，则DE的长为（）A．19π B．29π C．1136π D10．（3分）（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（）A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2025•浙江）|﹣5|+3-27=12．（3分）（2025•浙江）不等式组x≥-22x-3＜13．（3分）（2025•浙江）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰角为α，cosα＝0.98，则A处到B处的距离为m．14．（3分）（2025•浙江）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是．15．（3分）（2025•浙江）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．【应用体验】已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为．16．（3分）（2025•浙江）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是AD上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为．三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（2025•浙江）化简求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2．18．（8分）（2025•浙江）解分式方程：3x+119．（8分）（2025•浙江）【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上．【数学理解】（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．（2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数．20．（8分）（2025•浙江）2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自救防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如表．班级①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩获奖人数7868669785（1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：83，91，83，90，83，88，91，求该班获奖选手成绩的众数与中位数．（2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数．21．（8分）（2025•浙江）【阅读理解】同学们，我们来学习利用完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2近似计算算术平方根的方法．例如求67的近似值．因为64＜67＜81，所以8＜67＜则67可以设成以下两种形式：①67=8+s，其中0＜s＜1②67=9﹣t，其中0＜t＜1小明以①的形式求67的近似值的过程如表．因为67=8+s所以67＝（8+s）2，即67＝64+16s+s2．因为s2比较小，将s2忽略不计，所以67≈64+16s，即16s≈67﹣64，得s≈67-64故67≈8+3【尝试探究】（1）请用②的形式求67的近似值（结果保留2位小数）．【比较分析】（2）你认为用哪一种形式得出的67的近似值的精确度更高，请说明理由．22．（10分）（2025•浙江）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE．（1）求证：OD⊥OE．（2）若AB＝BC，OB=3，求四边形ODCE23．（10分）（2025•浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．（1）求a的值．（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．24．（12分）（2025•浙江）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8．（1）如图1，求sin∠BAC的值．（2）如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP．①当EF⊥AC时，求AE的长．②求PA﹣PB的最小值．

2025年浙江省中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案A．BB．ACCCDBD一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．（3分）（2025•浙江）34A．-34 B．34 C．-4【考点】相反数．【专题】实数；符号意识．【答案】A．【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．【解答】解：34的相反数是-故选：A．【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．2．（3分）（2025•浙江）如图所示，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝91°，则（）A．∠2＝91° B．∠3＝91° C．∠4＝91° D．∠5＝91°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】根据两直线平行，内错角相等；对顶角相等；邻补角互补即可求解．【解答】解：∵a∥b，∴∠3＝∠1＝91°，由邻补角互补得∠4＝180°﹣∠3＝89°，由对顶角相等得∠5＝∠4＝89°，由邻补角互补得∠2＝180°﹣∠1＝89°，故正确的是B选项．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．3．（3分）（2025•浙江）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（）A．26.293×1011 B．2.6293×1012 C．0.26293×1013 D．2.6293×1013【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；符号意识．【答案】B．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：2629300000000＝2.6293×1012．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2025•浙江）底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（）A． B． C． D．【考点】简单几何体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【答案】A【分析】根据简单几何体的三视图进行判断即可．【解答】解：从上面看这个几何体，看到的图形是一个正六边形，因此选项A中的图形符合题意，故选：A．【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．5．（3分）（2025•浙江）已知反比例函数y=-7A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大【考点】反比例函数的性质．【专题】反比例函数及其应用；几何直观．【答案】C【分析】根据反比例函数图象和性质判断即可．【解答】解：∵反比例函数y=-7x，k＝﹣7∴函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故选项C符合题意．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟悉反比例函数的图象是解题的关键．6．（3分）（2025•浙江）如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为（）A．72 B．4 C．92 D【考点】位似变换；坐标与图形性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根据位似图形的性质得到OAOA'=OEOE'=ODOD【解答】解：∵五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A，A'的坐标分别为（2，0），（3，0），∴OAOA∵∠DOE＝∠DOE，∴△DOE∽△D'OE'，∴DED∵DE＝3，∴D'故选：C．【点评】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．（3分）（2025•浙江）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如表．材料类别彩色纸（张）细木条（捆）手工艺品A53手工艺品B21如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（）A．5x+3y=172C．5x+2y=17【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】C【分析】根据“一共用了17张彩色纸和10捆细木条，”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：根据题意可列方程组5x故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8．（3分）（2025•浙江）某书店某一天图书的销售情况如图所示．根据以上信息，下列选项错误的是（）A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册 C．文艺类图书销售占比30% D．其他类图书销售占比18%【考点】条形统计图；扇形统计图．【专题】统计的应用；数据分析观念．【答案】D【分析】先由教育类书籍数量及其所占百分比求出总册数，再乘科技类对应百分比求得其人数即可判断A选项；根据四个类别数量之和等于总册数可求得文艺类数量，即可判断B选项；用文艺类、其他类人数除以总数量，从而判断C、D选项．【解答】解：A．总数量＝150÷37.5%＝400（册），则科技类图书销售了400×15%＝60（册），此选项正确，不符合题意；B．文艺类图书销售了400﹣（150+60+70）＝120（册），此选项正确，不符合题意；C．文艺类图书销售占比120400×100%＝D．其他类图书销售占比70400×100%＝故选：D．【点评】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．9．（3分）（2025•浙江）如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB＝2，则DE的长为（）A．19π B．29π C．1136π D【考点】直角三角形斜边上的中线．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出CD＝AD，得到∠ACD＝∠A＝35°，由三角形的外角性质求出∠CDE＝70°，由等腰三角形的性质推出∠CED＝∠CDE＝70°，由三角形内角和定理求出∠DCE＝40°，求出CD=12×2＝1【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD=12∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝35°，∴∠CDE＝∠A+∠ACD＝70°，由题意知：CD＝CE，∴∠CED＝∠CDE＝70°，∴∠DCE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵AB＝2，∴CD=12×2∴DE的长=40π故选：B．【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，弧长的计算，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出CD＝AD，掌握弧长公式．10．（3分）（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（）A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．【答案】D【分析】依据题意，作PG⊥AB，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，得到PH2＝225当点Q运动到点G的时候，PQ2最小为81，HG＝m﹣1，勾股定理求出m的值，判断A；当x＝m时，点Q运动到点B，根据三线合一，得到BG＝HG，进而求出n的值，判断B；连接AP，勾股定理求出AP2的长，确定C的纵坐标，判断C；依据题意，求出x＝15时，可得点Q的位置，再利用勾股定理求出PK2判断D．【解答】解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2＝225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即：PG2＝81，HG＝m﹣1＝12．在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81+（m﹣1）2，∴m＝13．∴A错误．∴AG＝m＝13，HG＝m﹣1＝12．当x＝n时，点Q运动到点B，则PB2＝225＝PH2，∴PB＝PH，∵PG⊥AB，∴BG＝HG＝12，∴AB＝13+12＝25，∴选项B错误．∴当x＝0，即点Q在A点时，∴AP2＝AG2+PG2＝132+81＝250．∴点C的纵坐标为250．∴选项C错误．当x＝15时，点Q运动到点K，∴AK＝15．∴GK＝AK﹣AG＝2．∴PK2＝KG2+PG2＝4+81＝85．∴点（15，85）在该函数图象上．∴选项D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了动点的函数图象、勾股定理、垂线段最短、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能从函数图象中有效的获取信息，确定点Q的位置是关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2025•浙江）|﹣5|+3-27=【考点】实数的运算．【专题】实数；运算能力．【答案】2．【分析】利用绝对值的性质，立方根的定义计算后再算加法即可．【解答】解：原式＝5﹣3＝2，故答案为：2．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．12．（3分）（2025•浙江）不等式组x≥-22x-3＜5的解集是﹣【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】﹣2≤x＜4．【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集即可．【解答】解：解不等式2x﹣3＜5得，x＜4，所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜4．故答案为：﹣2≤x＜4．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．13．（3分）（2025•浙江）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰角为α，cosα＝0.98，则A处到B处的距离为490m．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】490．【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABP中，∵∠B＝90°，AP＝500m，∠A＝α，∴AB＝AP•cosα＝500×0.98＝490（m），答：A处到B处的距离为490m．故答案为：490．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．14．（3分）（2025•浙江）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是49【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】49【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及甲出的卡片数字比乙大的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：2361（1，2）（1，3）（1，6）4（4，2）（4，3）（4，6）5（5，2）（5，3）（5，6）共有9种等可能的结果，其中甲出的卡片数字比乙大的结果有：（4，2），（4，3），（5，2），（5，3），共4种，∴甲出的卡片数字比乙大的概率为49故答案为：49【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．15．（3分）（2025•浙江）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．【应用体验】已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为8．【考点】规律型：数字的变化类．【专题】猜想归纳；运算能力．【答案】8．【分析】根据题干中所得系数规律得到关于m的方程，解得m的值即可．【解答】解：∵（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，∴mx3＝4x3×2，∴m＝8，故答案为：8．【点评】本题考查数式规律问题，理解题意并得出规律是解题的关键．16．（3分）（2025•浙江）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是AD上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为214．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；垂径定理；圆周角定理．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】214．【分析】由矩形的性质得∠D＝∠BAD＝90°，由EG＝FG，得∠BEC＝∠GFE＝∠AFB＝∠BAC，推导出∠ALB＝∠BAD＝90°，则∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，而∠ABE＝∠ACG，AF＝1，EG＝FG＝3，所以∠GAC＝∠ACG，则CG＝AG＝4，可证明△CDG∽△AEG，得DGEG=CGAG=1，则DG＝EG＝3，求得AD＝7，CD=7，则⊙O【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，且矩形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝∠BAD＝90°，∴AC是⊙O的直径，∵AF＝1，EG＝FG＝3，∴∠BEC＝∠GFE＝∠AFB，∵∠BEC＝∠BAC，∴∠AFB＝∠BAC，∴∠ALB＝∠GAC+∠AFB＝∠GAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，∴∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，∵∠ABE＝∠ACG，∴∠GAC＝∠ACG，∴CG＝AG＝AF+FG＝1+3＝4，∵∠CDG＝∠AEG＝90°，∠CGD＝∠AGE，∴△CDG∽△AEG，∴DGEG=∴DG＝EG＝3，∴AD＝AG+DG＝4+3＝7，CD=C∴AC=AD2∴⊙O的直径为214，故答案为：214．【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、90°的圆周角所对的弦是直径、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（2025•浙江）化简求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】整式；运算能力．【答案】13．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则去掉括号，再合并同类项进行化简，最后将数值代入求出结果．【解答】解：x（5﹣x）+x2+3＝5x﹣x2+x2+3＝5x+3，当x＝2时，原式＝5×2+3＝13．【点评】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是根据运算法则来计算．18．（8分）（2025•浙江）解分式方程：3x+1【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x＝2．【分析】先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．【解答】解：3x方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得3（x﹣1）﹣（x+1）＝0，去括号，得3x﹣3﹣x﹣1＝0，解得：x＝2，检验：把x＝2代入（x+1）（x﹣1）≠0，∴分式方程的解为x＝2．【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．19．（8分）（2025•浙江）【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上．【数学理解】（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．（2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）22.5°．【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，据此可利用SAS证明△ABE≌△CBE；（2）由正方形的性质可得∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，再由等边对等角和三角形内角和定理求出∠DAE的度数即可得到答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，∵DE＝DA，∴∠DAE＝∠DEA，∴∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝22.5°．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．20．（8分）（2025•浙江）2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自救防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如表．班级①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩获奖人数7868669785（1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：83，91，83，90，83，88，91，求该班获奖选手成绩的众数与中位数．（2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数．【考点】众数；用样本估计总体；中位数．【专题】统计的应用；数据分析观念．【答案】（1）中位数为88；众数为83；（2）840人．【分析】（1）根据众数、中位数的定义即可求解；（2）用样本估计总体即可求解．【解答】解：①班获奖选手的成绩从小到大排列为：83，83，83，88，90，91，91，排在中间的数是88，故该班获奖选手成绩的中位数为88；83出现的次数最多，故该班获奖选手成绩的众数为83；（2）随机抽取的10个班级获奖人数的平均数为：110×（7+8+6+8+6+6+9+7+8+5）＝120×7＝840（人），答：估计全县九年级参赛选手获奖的总人数为840人．【点评】本题考查众数、中位数的意义和样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．21．（8分）（2025•浙江）【阅读理解】同学们，我们来学习利用完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2近似计算算术平方根的方法．例如求67的近似值．因为64＜67＜81，所以8＜67＜则67可以设成以下两种形式：①67=8+s，其中0＜s＜1②67=9﹣t，其中0＜t＜1小明以①的形式求67的近似值的过程如表．因为67=8+s所以67＝（8+s）2，即67＝64+16s+s2．因为s2比较小，将s2忽略不计，所以67≈64+16s，即16s≈67﹣64，得s≈67-64故67≈8+3【尝试探究】（1）请用②的形式求67的近似值（结果保留2位小数）．【比较分析】（2）你认为用哪一种形式得出的67的近似值的精确度更高，请说明理由．【考点】估算无理数的大小．【专题】实数；推理能力．【答案】（1）8.22；（2）用①的形式得出的67的近似值的精确度更高，理由见解析．【分析】（1）设67=9-t，其中0＜t＜1，则仿照题意可得67＝81﹣18t+t2，t2比较小，将t2忽略不计，则67≈81﹣18t，据此可得t≈（2）可求出8.18＜【解答】解：（1）设67=9-t，其中0＜t＜∴(67∴67＝81﹣18t+t2，∵t2比较小，将t2忽略不计，∴67≈81﹣18t，∴t≈∴67≈9-（2）用①的形式得出的67的近似值的精确度更高，理由如下：∵8.18×8.18＝66.9124，8.19×8.19＝67.0761，66.9124＜∴8.18＜∴用①的形式得出的67的近似值的精确度更高．【点评】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键．22．（10分）（2025•浙江）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE．（1）求证：OD⊥OE．（2）若AB＝BC，OB=3，求四边形ODCE【考点】切线的性质；等腰三角形的性质．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）证明见解析；（2）3+3【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，∠B＝∠ODB，得到∠ODB＝∠C，证明OD∥AC，根据切线的性质得到OE⊥AC，根据平行线的性质证明；（2）根据等边三角形的性质求出∠A＝60°，解直角三角形求出EC，再根据梯形面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，由作图可知：OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E，∴OE⊥AC，∴OD⊥OE；（2）解：∵AB＝AC，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，在Rt△AEO中，OE＝OD＝OB=3则OA=OEsinA=332∴AB＝2+3∴EC＝AC﹣AE＝2+3-1＝1则四边形ODCE的面积为：12×（3+3+1【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．23．（10分）（2025•浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．（1）求a的值．（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】（1）6；（2）﹣3；（3）8．【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）先求出对称轴，由题意，可知，B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，中点得到xC＝2xB，对称性得到xB+xC2=（3）根据题意，易得要使n﹣m最大，则m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称，根据直线l1，l2之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，令x2﹣6x+5＝12，求出x的值，进而确定m，n的值，进行求解即可．【解答】解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5，得：1﹣a+5＝0，解得：a＝6；（2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5，∴对称轴为直线x=-∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，又∵点B为线段AC的中点，∴xc＝2xB，∴xB∴xB＝2，∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3，∴t＝﹣3；（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4），当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，m，n为直线与抛物线的交点，∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称，又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值，∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图：∴当x2﹣6x+5＝12时，解得：x1＝7，x2＝﹣1，即n＝7，m＝﹣1，∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8．【点评】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键．24．（12分）（2025•浙江）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8．（1）如图1，求sin∠BAC的值．（2）如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP．①当EF⊥AC时，求AE的长．②求PA﹣PB的最小值．【考点】四边形综合题．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）35（2）①11；②339【分析】（1）先根据菱形的性质可得AC⊥BD，OA=12AC=4（2）①连接BD，设AC，BD交于点O，同理求出OB＝3，则BD＝6；证明EF∥BD，得到∠DBE＝∠FEB，由轴对称的性质可得∠AEB＝∠FEB，则∠DEB＝∠DBE，据此可得DE＝DB＝6，即可得到AE＝AD+DE＝11；②由勾股定理得PB=OB2+OP2=OP2+9，根据PA＝OA+OP＝4+OP，可求出PA-PB=4-9OP+OP2+9，根据9OP+OP2+9＞0，可推出当OP有最小值时，OP+OP2+9有最小值，即此时9OP+OP2【解答】解：（1）如图，设AC，BD交于点O，∵在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，∴AC⊥BD，OA=∴OB=∴sin∠（2）①如图，设AC，BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=12AC=4，BD＝2OB，AD∴OB=∴BD＝6；∵EF⊥AC，AC⊥BD，∴EF∥BD，∴∠DBE＝∠FEB，由轴对称的性质可得∠AEB＝∠FEB，∴∠DEB＝∠DBE，∴DE＝DB＝6，∴AE＝AD+DE＝11；②在Rt△BOP中，由勾股定理得PB=∵PA＝OA+OP＝4+OP，∴PA﹣PB＝4+OP-=4+(=4+O=4-9∵9OP∴要使PA﹣PB的值最小，则9OP∴OP+又∵OP2+9∴OP+OP∴当OP有最小值时，OP+OP∴当OP有最小值时，PA﹣PB有最小值；如图所示，过点B作BH⊥AD于H，BT⊥FE于T，∵S菱形∴BH=∴由轴对称的性质可得BT=在Rt△POB中，由勾股定理得OP=∴当PB有最小值时，OP有最小值，由垂线段最短可知BP≥∴当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为245∴OP∴(PA【点评】本题主要考查了菱形的性质，求角的正弦值，勾股定理，轴对称图形的性质，等角对等边等等，解（2）的关键在于把求出PA﹣PB的最小值转换成求出OP的最小值，进而转换成求出PB的最小值．

考点卡片1．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．2．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．3．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．4．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．5．规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．6．整式的混合运算—化简求值先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．7．由实际问题抽象出二元一次方程组（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．8．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．9．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．10．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．11．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y=kx（k≠0）的（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．12．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．13．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．14．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．15．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．16．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．17．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．18．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．19．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．20．四边形综合题涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．21．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．22．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．23．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．24．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角