2026年中考数学解密之四边形

第44页（共44页）2026年中考数学解密之四边形一．选择题（共10小题）1．（2025•阳泉模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中，点C位于第二象限，点B位于第一象限，且OC与y轴正半轴的夹角为15°，则点B的坐标为（）A．(322，3C．(233，2．（2025•盐田区二模）数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形ABCD进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在AD边上的点O处，则∠DAC的度数为（）A．30° B．20° C．条件不足，无法计算 D．22.5°3．（2025•兰州）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（）A．95° B．100° C．110° D．145°4．（2025•大庆）如图，在正方形ABCD中，AB=32，点E，F分别在线段AB，BC上，AE=CF=2，连接EF，AC．过点E，F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G，H．动点P在△ACD内部及边界上运动，四边形EFHG，△PEG，△PEF，△PFH，△PGH的面积分别为S0，S1，S2，S3，S4，若点P在运动中始终满足3S0＝S1+S2+S3+S4，则满足条件的所有点A．2 B．32π C．4 D．5．（2025•广州）如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（）A．52 B．5 C．4 D．6．（2025•安徽）在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF＝CH，则下列为定值的是（）A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小 C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长7．（2025•坪山区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE，则△AED的面积为（）A．6 B．8 C．12 D．248．（2025•定海区三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（）A．22 B．1 C．2 D．9．（2025•定西一模）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（）A．（4，3） B．（5，3） C．（5，4） D．(510．（2025•越秀区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（）A．6 B．43 C．82 D二．填空题（共10小题）11．（2025•乐山）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°．则正确的组合是（只需填一种组合即可）．12．（2025•内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连接BE、EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是．13．（2025•辽宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为．14．（2025•福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为．15．（2025•西宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连接OE．若BD＝6，OE=5，则菱形ABCD的面积是16．（2025•绵竹市模拟）如图，点E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形ABCD的边长为2a，则线段DH长度的最小值是．17．（2025•仙居县二模）如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG，M，N分别是AB，CD的中点，当点F落在线段MN上时，点G恰好在ED上．记正方形AEFG的面积为m，正方形ABCD的面积为n，则nm=18．（2025•晋中二模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F，G，H为正方形内部的点，AF⊥BG，BG⊥CH，CH⊥DE，DE⊥AF，四边形EFGH为正方形，直线EG分别交AB，DC于点P，Q．若点P为AB边的三等分点，则EG的长为．19．（2025•苍梧县一模）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．20．（2025•梅州三模）如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形ABCDEF，则这个多边形的内角和为．三．解答题（共5小题）21．（2025•杭州模拟）在▱ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以GH为边的所有平行四边形．22．（2025•甘肃）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外），△EFG是直角三角形，EG＝EF，点G在CD的延长线上．（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF＝EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由．23．（2022•绿园区校级一模）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．（1）求证：OE＝OF；（2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．24．（2025•中山市校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线DB上有两点E，F，且DF＝BE．（Ⅰ）求证：四边形AFCE是平行四边形；（Ⅱ）若△ABD是等边三角形，且边长为8，BE＝2，求AE．25．（2025•威海一模）（1）如图（1），四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，则∠DAE的度数为；（2）如图（2），将（1）中的△ABE沿AE折叠，得到△AB′E，延长CD交B′E于点F，若AB＝2，求B′F的长；（3）如图（3），当点E在射线BC上运动时，把（2）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，且AB＝4，AD=5，连接B′B，B′B与AE交于点P，连接DP．求D，P

2026年中考数学解密之四边形参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ADCABCACDD一．选择题（共10小题）1．（2025•阳泉模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中，点C位于第二象限，点B位于第一象限，且OC与y轴正半轴的夹角为15°，则点B的坐标为（）A．(322，3C．(233，【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；勾股定理．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】A【分析】连接OB，作BE⊥y轴，由正方形的性质可得∠BOC＝45°，∠C＝90°，则由勾股定理和角度和差得OB=32+32=32，【解答】解：连接OB，作BE⊥y轴于点E，∵四边形OABC是正方形，∴∠BOC＝45°，∠C＝90°，由勾股定理可得，OB=3由题意可得：∠COE＝15°，∠OEB＝90°，∴∠BOE＝30°，由三角函数可得，BE=OBsin30°=1由三角函数可得，OE=OBcos30°=3∴点B的坐标为：(3故选：A．【点评】此题考查了正方形的性质，坐标与图形，勾股定理以及三角函数的应用，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作出辅助线．2．（2025•盐田区二模）数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形ABCD进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在AD边上的点O处，则∠DAC的度数为（）A．30° B．20° C．条件不足，无法计算 D．22.5°【考点】矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质和矩形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，由作图知，AO＝OC，OE⊥AC，∴∠DAC＝∠ACO，由作图知，OC平分∠BCD，∴∠BCO=1∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ACO＝∠ACB=1∴∠DAC＝∠ACB＝22.5°，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确地识别图形是解题的关键．3．（2025•兰州）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（）A．95° B．100° C．110° D．145°【考点】矩形的性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．【答案】C【分析】根据AD∥BC得∠PBF＝∠ADB＝35°，再根据直角三角形斜边中线性质得PB＝PF＝PE，进而得∠PFB＝∠PBF＝35°，再由三角形内角和定理求出∠BPF＝110°，则可得出∠DPE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∠ADB＝35°，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠PBF＝∠ADB＝35°，∵点P是EF的中点，∴PB是Rt△BEF的斜边EF上的中线，∴PB＝PF＝PE，∴∠PFB＝∠PBF＝35°，在△PBF中，∠BPF＝180°﹣（∠PFB+∠PBF）＝110°，∴∠DPE＝∠BPF＝110°．故选：C．【点评】此题主要考查了矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，平行线的性质，三角形斜边中线的性质是解决问题的关键．4．（2025•大庆）如图，在正方形ABCD中，AB=32，点E，F分别在线段AB，BC上，AE=CF=2，连接EF，AC．过点E，F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G，H．动点P在△ACD内部及边界上运动，四边形EFHG，△PEG，△PEF，△PFH，△PGH的面积分别为S0，S1，S2，S3，S4，若点P在运动中始终满足3S0＝S1+S2+S3+S4，则满足条件的所有点A．2 B．32π C．4 D．【考点】正方形的性质；三角形的面积．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】A【分析】由正方形的性质得AC＝6，AG＝CH＝1，求出GE＝1，GH＝4，求出S0＝4，根据图形得S1+S2+S3＝S0+S4，根据3S0＝S1+S2+S3+S4，得S4＝4，可得点P的运动轨迹是△ACD中平行于AC的一条线段MN，取AC的中点O，连接OD交MN于点Q，根据三角形面积公式求出OQ＝2，得到DQ＝1，从而求出MN＝2．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝AB＝BC＝32，∠BAC＝∠BCA＝45°，∴AC=2AB＝6∵EG⊥AC，FH⊥AC，∴∠EGA＝∠EGC＝∠FHC＝∠FHG＝90°，∴∠AEG＝∠HFC＝45°，∴△AGE，△HFC为等腰直角三角形，∴AG＝GE，HC＝HF，∵AE＝CF=2由勾股定理得AG＝GE＝HC＝HF＝1，BE＝BF，GH＝AC﹣AG﹣CH＝4，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠BEF＝45°，∴∠GEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∵∠EGH＝∠FHG＝90°，∴四边形GEFH是矩形，∴S0＝EG•GH＝1×4＝4，∵S1+S2+S3＝S0+S4，3S0＝S1+S2+S3+S4，∴S4＝4，∵动点P在△ACD内部及边界上运动，∴点P的运动轨迹是△ACD内部及边界上平行于AC的一条线段MN，则△DMN是等腰直角三角形，如图，取AC的中点O，连接OD交MN于点Q，则DO=12AC＝∵S4=12×GH•OQ＝4，GH∴OQ＝2，∴DQ＝OD﹣OQ＝3﹣2＝1，∴MN＝2，即点P组成的图形长度为2，故选：A．【点评】本题主要考查正方形的性质，勾股定理以及点的轨迹，解决本题的关键是得到点P的运动轨迹．5．（2025•广州）如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（）A．52 B．5 C．4 D．【考点】中点四边形；菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】B【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质、面积公式得到AC⊥BD，12AC•BD＝10，根据三角形中位线定理得到EF∥AC，EF=12AC【解答】解：如图，连接AC、BD，∵四边形ABCD为菱形，且面积为10，∴AC⊥BD，12AC•BD＝10∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=12同理可得：GH∥AC，GH=12AC，FG∥BD，FG=∴EF∥GH，EF＝GH，EF⊥FG，∴四边形EFGH为矩形，∴S四边形EFGH＝EF•FG=12AC•12BD=12×故选：B．【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键．6．（2025•安徽）在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF＝CH，则下列为定值的是（）A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小 C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长【考点】平行四边形的性质；三角形的面积．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】C【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，可证四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形，可得S△EGF=12S平行四边形ABGE，S△EHG=12【解答】解：如图，连接EG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E，G分别为边AD，BC的中点，∴AE＝DE＝BG＝CG，∴四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形，∴S△EGF=12S平行四边形ABGE，S△EHG=12∴四边形EFGH的面积=12S平行四边形∴四边形EFGH的面积是定值，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．7．（2025•坪山区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE，则△AED的面积为（）A．6 B．8 C．12 D．24【考点】矩形的性质；三角形的面积．【专题】矩形菱形正方形；运算能力．【答案】A【分析】过点A作AF⊥BD于F，根据勾股定理求出BD＝AC＝10，得到DE的长度，利用面积法求出AF即可．【解答】解：过点A作AF⊥BD于F，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∴BD=AC=A∵对角线AC，BD相交于点O，∴OB=OD=1∵E为OD的中点，∴DE=1∵S∴AF=∴△AED的面积为1故选：A．【点评】此题考查了矩形的性质，勾股定理，正确掌握矩形的性质及利用面积法求出AF是解题的关键．8．（2025•定海区三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（）A．22 B．1 C．2 D．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】C【分析】连接AG并延长交CD于M，连接FM，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，证得△AEG≌△MGD，得到AG＝MG，AE＝DM=12AB，根据三角形中位线定理得到GH=12FM，由勾股定理求出【解答】解：连接AG并延长交CD于M，连接FM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，∵G为DE的中点，∴GE＝GD，在△AGE和MGD中，∠EAG=∠DMG∠AEG=∠MDG∴△AGE≌△MGD（AAS），∴AG＝MG，AE＝DM=12AB=∴CM=12CD＝∵点H为AF的中点，∴GH=12∵F为BC的中点，∴CF=12BC＝∴FM=CM2∴GH=2故选：C．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出AM＝MG是解决问题的关键．9．（2025•定西一模）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（）A．（4，3） B．（5，3） C．（5，4） D．(5【考点】菱形的性质；坐标与图形性质；勾股定理．【专题】平面直角坐标系；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】首先根据菱形的性质求出AB的长度，再利用勾股定理求出DO的长度，进而得到点C的坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点D在y轴上，∴AB＝AO+OB＝5，∴AD＝AB＝CD＝5，∴DO=A∴点C的坐标是：（5，21）．故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出DO的长度．10．（2025•越秀区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（）A．6 B．43 C．82 D【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】由矩形的性质得出OA＝OB，由等腰三角形的性质得出AB＝AO＝BO＝6，推出BD＝12，最后由勾股定理计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=12AC，OB=12BD，∠BAD＝∴OA＝OB，∵AE⊥BD，BE＝EO，即AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴AB＝AO＝BO＝6，∴BD＝12，∴AD=B故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定了，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．二．填空题（共10小题）11．（2025•乐山）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°．则正确的组合是①②或①③（只需填一种组合即可）．【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】①②或①③．【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论．【解答】解：正确的组合是①②或①③，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形，∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：①②或①③．【点评】本题主要考查的是正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．12．（2025•内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连接BE、EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是5．【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】5．【分析】由勾股定理可求BD的长，由三角形中位线定理可得BF＝2GH，当BF有最大值时，GH有最大值，即当点F与点D重合时，BF有最大值为10，即可求解．【解答】解：如图，连接BD，BF，∵AB＝8，AD＝6，∴BD=AB∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，∴BF＝2GH，∴当BF有最大值时，GH有最大值，∵点F是CD的点，∴当点F与点D重合时，BF有最大值为10，∴GH的最大值为5，故答案为：5．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键．13．（2025•辽宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为13．【考点】菱形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．【答案】13．【分析】由菱形对角线互相垂直且平分，可得OA=12AC=4，OB=12BD=6，AC⊥BD，取OE中点H，连接GH，则GH=【解答】解：方法一：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，∴OA=12AC=4，OB=∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，如图，取OE中点H，连接GH，∵点G为BE的中点，点H为OE的中点，∴GH是三角形EBO的中位线，∴GH=12OB=3，GH∴∠GHE＝∠BOA＝90°，∵OF＝1，∴HF=OH+OF=1在直角三角形GFH中，由勾股定理得：GF=G方法二：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，AE＝2，OF＝1，∴OB＝6，OC＝4，∴CE＝8﹣2＝6，CF＝OC﹣OF＝4﹣1＝3，∴F为CE的中点，又∵点G为BE的中点，∴GF为△BCE的中位线，∵BC=62+∴FG=13故答案为：13．【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解答本题的关键．14．（2025•福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为1．【考点】菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】1．【分析】根据菱形的性质证明△DOF≌△BOE（AAS），得△DOF的面积＝△BOE的面积，进而可以解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DO＝BO＝1，CD∥AB，∴∠ODF＝∠OBE，∠OFD＝∠OEB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴△DOF的面积＝△BOE的面积，∴△AOE与△DOF的面积之和＝△BOA的面积=12×2×1故答案为：1．【点评】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的面积，掌握菱形的性质是解题的关键．15．（2025•西宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连接OE．若BD＝6，OE=5，则菱形ABCD的面积是65【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC，由AE⊥BC，垂足为E，得∠AEC＝90°，则OE＝OA＝OC=12AC，因为OE=5，所以AC＝2OE＝25，而BD＝6，则S菱形ABCD=12AC•【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，∴AC⊥BD，OA＝OC，∵AE⊥BC，垂足为E，OE=5∴∠AEC＝90°，∴OE＝OA＝OC=12∴AC＝2OE＝25，∵BD＝6，∴S菱形ABCD=12AC•BD=12×25故答案为：65．【点评】此题重点考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地求出AC的长是解题的关键．16．（2025•绵竹市模拟）如图，点E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形ABCD的边长为2a，则线段DH长度的最小值是（5-1）a【考点】正方形的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【专题】三角形；图形的全等；矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据正方形的性质利用“边角边”证明△ABE≌△DCF，可得∠1＝∠2，同理证明△ADG≌△CDG（SAS），可得∠3＝∠2，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°．取AB的中点O，可得OH=12AB=a利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知，当O、D、H【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，AB=DC∠BAE=∠CDF∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2．在△ADG和△CDG中，AD=AD∠ADG=∠CDG∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠3．∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=AO=1在Rt△AOD中，OD=AO2根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，∴DH的最小值为OD﹣OH=5a﹣a＝（5-1）故答案为：（5-1）a【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键．17．（2025•仙居县二模）如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG，M，N分别是AB，CD的中点，当点F落在线段MN上时，点G恰好在ED上．记正方形AEFG的面积为m，正方形ABCD的面积为n，则nm=4+23【考点】正方形的性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】4+23【分析】连接DF，过点G作GH⊥MN，HG的延长线交AD于K，设GK＝a，DN＝b，则a＞0，b＞0，则CD＝AD＝2b，HK＝DN＝b，HG＝b﹣a，证明△HFG和△KGA全等得HG＝AK＝b﹣a，FH＝GK＝a，则HN＝DK＝b+a，进而得FN＝b+2a，证明DE是线段AF的垂直平分线，则FD＝AD＝2b，在Rt△FDH中，由勾股定理得（2b）2＝b2+（b+2a）2，整理得b2﹣2ab﹣2a2＝0，解这个关于b的方程得b=a+3a，则AK＝b﹣a=3a，由此得正方形AEFG的面积m＝AG2＝4a2，正方形ABCD的面积n【解答】解：连接DF，过点G作GH⊥MN，HG的延长线交AD于点K，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AD∥BC，AB∥CD，∵点M，N是AB，CD的中点，∴DN＝BM，CN＝BM，∴四边形BCNM，四边形ADNM都是矩形，∵HK⊥MN，AD∥BC，∴HK⊥AD，∴四边形KDNH，四边形AKHM都是矩形，设GK＝a，DN＝b，则a＞0，b＞0，HN＝DK，∴CD＝AD＝2b，HK＝DN＝b，∴HG＝HK﹣GK＝b﹣a，∵∠GHF＝∠AKG＝90°，∴∠HGF+∠HFG＝90°，∵四边形AEFG是正方形，∴FG＝AG，∠AGF＝90°，∵∠HGF+∠KGA＝90°，∴∠HFG＝∠KGA，在△HFG和△KGA中，∠GHF=∠AKG=90°∠HFG=∠KGA∴△HFG≌△KGA（AAS），∴HG＝AK＝b﹣a，FH＝GK＝a，∴HN＝DK＝AD﹣AK＝2b﹣（b﹣a）＝b+a，∴FN＝HN+FH＝b+a+a＝b+2a，∵四边形AEFG是正方形，AF是对角线，∴DE是线段AF的垂直平分线，∴FD＝AD＝2b，在Rt△FDH中，由勾股定理得：FD2＝DN2+FN2，∴（2b）2＝b2+（b+2a）2，整理得：b2﹣2ab﹣2a2＝0，解这个关于b的方程得：b=a+3a，b∴AK＝b﹣a=a+3在Rt△AGK中，由勾股定理得：AG2＝GK2+AK2=a2+(3∴正方形AEFG的面积m＝AG2＝4a2，∵AD＝2b=2a+23∴正方形ABCD的面积n＝AD2=(2a+23∴nm故答案为：4+23【点评】此题主要考查了正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，灵活运用勾股定理构造一元二次方程是解决问题的难点．18．（2025•晋中二模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F，G，H为正方形内部的点，AF⊥BG，BG⊥CH，CH⊥DE，DE⊥AF，四边形EFGH为正方形，直线EG分别交AB，DC于点P，Q．若点P为AB边的三等分点，则EG的长为4510【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【答案】410【分析】过点P作PK⊥AE，垂足为K，设PK＝a，AK＝b，证明△PAK∽△ADE，可得APAD=AKDE=PKAE，进而可得DE＝3b，AE＝3a，再证明Rt△PKE是等腰直角三角形可得PK＝KE，求出b＝2a【解答】解：过点P作PK⊥AE，垂足为K，设PK＝a，AK＝b，在正方形ABCD中，∠PAK+∠EAD＝∠BAD＝90°，∴∠PAK＝∠ADE，∵AB＝AD，又∵DE⊥AF，AF⊥BG，∴∠AED＝∠AFB＝90°，∠ADE+∠EAD＝90°，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE，AE＝DH，∵∠PAK＝∠ADE，∠AED＝∠AKP＝90°，∴△PAK∽△ADE，∴APAD∵AP=13AB，AB＝AD∴bDE∴DE＝3b，AE＝3a，∴KE＝AE﹣AK＝3a﹣b，又∵四边形EFGH为正方形，∴∠GEH＝45°，∴∠PEK＝∠EPK＝45°，∴PK＝KE，即a＝3a﹣b，∴b＝2a，∴DE＝3b＝6a，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AB2，∴（3a）2+（6a）2＝42，∴a=4∴b=2a=4∴AE=3a=3×4155∴EF=AF-AE=6a-3a=3a=4∵四边形EFGH为正方形，∴EG=E故答案为：45【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等；解题关键是根据相似三角形的判定和性质得出APAD19．（2025•苍梧县一模）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是4.8．【考点】矩形的性质．【专题】几何图形问题．【答案】见试题解答内容【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA＝OD＝5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA•PE+12【解答】解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD=AB∴OA＝OD＝5，∴S△ACD=12S矩形ABCD＝∴S△AOD=12S△ACD＝∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA•PE+12OD•PF=12×5×PE+12×解得：PE+PF＝4.8．故答案为：4.8．【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20．（2025•梅州三模）如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形ABCDEF，则这个多边形的内角和为720°．【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；运算能力．【答案】720°．【分析】根据多边形的内角和公式即可求解．【解答】解：根据多边形的内角和公式可得：∴（6﹣2）×180°＝720°．故答案为：720°．【点评】本题考查了多边形的内角和问题，熟练掌握n边形的内角和为（n﹣2）×180°是解题的关键．三．解答题（共5小题）21．（2025•杭州模拟）在▱ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以GH为边的所有平行四边形．【考点】平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】（1）证明见解析；（2）以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，由ASA证明△ADE≌△CBF，得出DE＝BF；（2）由中点的定义得出DE＝CE，由平行四边形的判定方法即可得出平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBFAD=BC∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF；（2）解：∵E是CD的中点，∴DE＝CE，∴以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出DE＝BF是解决问题（1）的关键．22．（2025•甘肃）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外），△EFG是直角三角形，EG＝EF，点G在CD的延长线上．（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF＝EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；压轴题．【答案】（1）BF＝DG，理由见解析；（2）AE＝DG，理由见解析；（3）BF=5【分析】（1）根据正方形的性质，证明△ADG≌ABF，即可得出结论；（2）根据正方形的性质，证明△PAE≌△EDG，即可得出结论；（3）作FH⊥AB，得到AE∥FH，平行线分线段成比例得到AP＝AH，进而得到AE为△PHF的中位线，得到FH＝2AE，根据AP＝DE，得到AH＝DE，进而得到AE＝BH，勾股定理得到BF=5AE，再根据AE＝【解答】解：（1）BF＝DG，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵△EFG是直角三角形，EG＝EF，∴∠FEG＝90°，当点E与点A重合时，则∠FAG＝90°＝∠BAD，∴∠DAG＝∠BAF＝90°﹣∠DAF，又∵AB＝AD，AG＝AF，∴△ADG≌ABF，∴BF＝DG；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠DAB＝90°，∵点G在CD的延长线上，FE的延长线与BA的延长线交于点P，∴∠PAE＝∠EDG＝90°，∴∠P+∠AEP＝90°，∵∠FEG＝∠DEF+∠DEG＝90°，∠AEP＝∠DEF，∴∠P＝∠DEG，∵EG＝EF，EF＝EP，∴EG＝EP，在△APE和△DEG中，∠PAE=∠EDG=90°∠P=∠DEG∴△PAE≌△EDG，∴AE＝DG；（3）BF=5由（2）可知：△PAE≌△EDG，∴AE＝DG，AP＝DE，作FH⊥AB于点H，则∠FHB＝∠FHA＝90°＝∠PAE，∴AE∥FH，∴PAAH∴PA＝AH，∵PE＝EF，∴AE为△PHF的中位线，∴HF＝2AE，∵AP＝DE，PA＝AH，∴DE＝AH，又∵AD＝AB，∴AE＝BH，在Rt△BHF中，由勾股定理，得：BF=H∵AE＝DG，∴BF=5【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助线构造特殊图形是解题的关键．23．（2022•绿园区校级一模）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．（1）求证：OE＝OF；（2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】综合题；几何直观．【答案】（1）证明见解析；（2）9．【分析】（1）运用ASA证明△AEO≌△CFO即可得到结论；（2）由（1）得EF＝7，再根据平行四边形的面积计算公式求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，∵∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO，（ASA）∴OE＝OF；（2）解：∵OE＝OF，OE＝3.5，∴EF＝2OE＝7，又∵EF⊥AD，∴S▱ABCD＝AD×EF＝63，∴AD＝9．【点评】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，平行四边形的对角线互相平分，全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS等，本题主要考查了学生运用定理进行推理的能力．24．（2025•中山市校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线DB上有两点E，F，且DF＝BE．（Ⅰ）求证：四边形AFCE是平行四边形；（Ⅱ）若△ABD是等边三角形，且边长为8，BE＝2，求AE．【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接AC交BD于点O，由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OF＝OE，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（2）证平行四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，则平行四边形AFCE是菱形，得AE＝AF，得BD＝AB＝8，则OB＝OD＝4，然后由勾股定理得OA＝4，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵DF＝BE，∴OD﹣DF＝OB﹣BE，即OF＝OE，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD＝8，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，由（1）可知，四边形AFCE是平行四边形，∴平行四边形AFCE是菱形，∴AE＝AF＝CD＝CE，∵△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝8，∴OB＝OD＝4，∴OE＝OB﹣BE＝4﹣2＝2，∵OA=AB2∴AE=OA2【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键．25．（2025•威海一模）（1）如图（1），四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，则∠DAE的度数为22.5°；（2）如图（2），将（1）中的△ABE沿AE折叠，得到△AB′E，延长CD交B′E于点F，若AB＝2，求B′F的长；（3）如图（3），当点E在射线BC上运动时，把（2）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，且AB＝4，AD=5，连接B′B，B′B与AE交于点P，连接DP．求D，P【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）22.5°；（2）22（3）1．【分析】（1）根据正方形的性质得到AD∥BC，∠DAC＝∠BAC＝45°，推出∠DAE＝∠CEA，由AC＝EC得到∠CAE＝∠CEA，推出∠DAE=1（2）根据正方形的性质得到AB＝BC＝2，∠B＝∠BCD＝90°，求出AC=EC=AB2+BC2=22，进而得到BE=EC+BC=22+2，由折叠的性质得到B'E=BE=22+2，∠BEA＝∠B′EA，再根据（1）中∠BEA＝∠DAEEF=EC2（3）由折叠的性质得到B′B⊥AE，∠APB＝90°，即点P在以AB为直径的圆上运动，设AB的中点为Q，连接DQ，则当点P在DQ上时，D，P两点间的距离最短，得到AQ=PQ=12AB=12×4=2，求出DQ=AD2+AQ2=3【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠CEA，∵AC＝EC，∴∠CAE＝∠CEA，∴∠CAE＝∠DAE，∴∠DAE=1故答案为：22.5°；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∵AB＝BC＝2，由勾股定理可得：AC=EC=A∴∠ECF＝90°，∴BE=EC+BC=22由折叠的性质得B'E=BE=22+2，∠BEA＝∠B′∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠CEA，∵AC＝EC，∴∠CAE＝∠CEA，∴∠CAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠DAE＝22.5°，∴∠B′EA＝∠BEA＝22.5°，∴∠B′EB＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴FC=EC=22由勾股定理可得，EF=E∴B'F=B'E-EF=22（3）由折叠知B′B⊥AE，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设AB的中点为Q，连接DQ，则当点P在DQ上时，D，P两点间的距离最短，如图（3），∴AQ=PQ=1∵矩形ABCD，∴∠BAD＝90°，∵AD=5∴DQ=A∴DP＝DQ﹣PQ＝3﹣2＝1，∴D，P两点间的最短距离为1．【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，点到圆上的最短距离，灵活运用点到圆上的最短距离，折叠的性质，是解题的关键．

考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．3．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．4．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．5．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．6．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．7．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．8．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．9．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=1210．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．11．平