第八单元　空间直线、平面的平行【一周一测基础知识专项训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八单元空间直线、平面的平行【一周一测基础知识专项训练】单项选择题1.[2025长沙一中模拟]若平面α∥平面β,l⊂α,则l与β的位置关系是()A.l与β相交 B.l与β平行C.l在β内 D.无法判定2.[2025华中师大一附中高一期中]下列命题中正确的是()A.若直线a上有无数个点不在平面α内,则a∥αB.若直线a∥平面α,则直线a与平面α内的任意一条直线都平行C.若直线a∥直线b,直线b∥平面α,则直线a∥平面αD.若直线a∥平面α,则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点3.【模块综合】[2025长春二中调研]设α,β,γ是三个不同平面,且α∩γ=l,β∩γ=m,则α∥β是l∥m的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.[2024无锡一中高一期中]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,作截面EFGH交C1D1,A1B1,AB,CD分别于E,F,G,H,则四边形EFGH的形状一定为()A.平行四边形 B.菱形C.矩形 D.梯形5.[2025绵阳中学高一月考]已知l,m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列结论正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,α∥β,则m∥βC.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥βD.若m⊂α,n⊂β,α∩β=l,m∥β,n∥α,则m∥n6.[2025郑州一中、郸城一高等校高一联考]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=4,AA1=7,点M,N,G,H分别是DD1,C1D1,CC1,DC的中点,则下列说法正确的是()A.此长方体的表面积为112B.A1M与B1H是相交直线C.A1N与B1G是异面直线D.直线A1N与平面B1GH相交7.[2025泰安一中高一月考]已知平面α∥β,点P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=10,则BD=()A.6 B.6或30 C.103 D.6或[2025牡丹江市第一高级中学模拟]如图,O是圆台上底面的圆心,A,B是圆台下底面圆周上的两个动点,MN是圆台的一条母线,记圆台的上、下底面圆的半径分别为r,R.若MN=R=2r,MN∥平面OAB,且AB的最小值为6,则该圆台的体积为()

A.733π B.15π C.21π D.18多项选择题9.[2025双流中学月考]已知两平面α,β平行,且a⊂α,则下列判断正确的有()A.a与β内所有直线都平行B.a与β内无数条直线平行C.a与β内无数条直线异面D.a与β无公共点10.[2024南昌二中模拟]在下列底面为平行四边形的四棱锥中,M,S,T,P,Q是四棱锥的顶点或棱的中点(如图),则PQ∥平面MST的有()填空题11.[2025哈师大附中高一期中改编]如图,向透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,水是定量的(体积为V).固定容器底面一边BC于地面上,BC=1,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面结论,其中正确的是()A.水面EFGH所在四边形的面积不是定值B.没有水的部分始终呈棱柱形C.棱A1D1一定与平面EFGH平行D.当容器倾斜如图3所示时,BE·BF=V(定值)填空题12.[2025上海市延安中学期中]已知角α的两边和角β的两边分别平行且α=60°,则β=.

13.[2024绵阳中学模拟]如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,AB=4,M为线段SA上一点,且AM=2MS,平面MCD与侧棱BS交于点N,则MN=.14.[2024牡丹江一中高一期中]在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1=3,E是BC的中点,F是棱CC1上的点,且CF=13CC1,过A1作平面α,使得平面α∥平面AEF,则平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面图形的面积为解答题15.(13分)[2025许昌市高级中学期末改编]如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=4,AC=3,AA1=4.(1)求直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积;(2)若D是A1C1的中点,证明:A1B∥平面B1CD.16.(15分)[2025信阳高级中学期中]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,H是B1D1的中点,E,F,G分别是DC,BC,HC的中点.求证:(1)F,G,H,B四点共面;(2)平面EFG∥平面BDD1B1.17.(15分)[2024莆田四中高一期中]如图,点B,C,D四等分半圆,点M,N分别是PC,PD上的点,将此半圆以PA为母线卷成一个圆锥(无重叠),使得AC∩BD=O,且平面MON∥平面PAB.(1)证明:AB∥MN;(2)若平面MON∩平面OCD=l,证明:MN∥l.18.(17分)[2024深圳外国语学校高一期中]如图所示,正四棱锥S-ABCD中,SA=SB=SC=SD=2,AB=2,P为侧棱SD上的点,且SP=3PD.(1)若M为SA的中点,求证:SC∥平面BMD;(2)侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求出SEEC的值;若不存在,请说明理由19.(17分)[2025深圳市红岭中学、东莞中学松山湖学校高一阶段考试]已知一块正三棱台木料ABC-A1B1C1如图所示,点O为△ABC的重心,且AC=3,A1C1=2.(1)要经过点O将木料锯开,使截面平行于平面CAA1C1,在木料表面应该怎样画线,并说明理由;(2)写出一种切割方式,要求过点O,将(1)问中较大的几何体,切割出与较小木料体积相同的木料.参考答案1.B∵α∥β,∴α与β无公共点.∵l⊂α,∴l与β无公共点,∴l∥β.2.DA(✕)当直线a与平面α相交于点P时,除了点P外,直线上的无数个点都不在平面α内.B(✕)当直线a∥平面α时,直线a与平面α内的直线平行或异面.C(✕)若直线a∥直线b,直线b∥平面α,则直线a∥平面α,或直线a在平面α内.D(√)当直线a∥平面α时,直线a与平面α无公共点,所以直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点.3.A由于α∥β,α∩γ=l,β∩γ=m,所以由面面平行的性质定理可得l∥m,所以α∥β是l∥m的充分条件;但由l∥m,α∩γ=l,β∩γ=m,并不能推出α∥β,也有可能α,β相交.综上可知α∥β是l∥m的充分不必要条件.4.A在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面EFGH∩平面ABCD=GH,平面EFGH∩平面A1B1C1D1=EF,所以EF∥GH,同理可证EH∥FG,所以四边形EFGH的形状一定为平行四边形.5.DA(✕)若m∥α,n∥α,则m∥n,或m与n相交,或m与n异面.B(✕)若m∥α,α∥β,则m∥β,或m⊂β.C(✕)若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β,或α与β相交.D(√)若m⊂α,n⊂β,α∩β=l,m∥β,n∥α,则m∥l,n∥l,所以m∥n.6.CA(✕)此长方体的表面积为4×7×4+4×4×2=144.B(✕)如图,连接MG,MN,则A1B1∥MG,A1B1=MG,所以四边形A1B1GM为平行四边形,所以A1M∥B1G,因为A1M⊂平面A1MN,B1G⊄平面A1MN,所以B1G∥平面A1MN,因为GH∥MN,MN⊂平面A1MN,GH⊄平面A1MN,所以GH∥平面A1MN,又B1G∩GH=G,GH,B1G⊂平面B1GH,所以平面A1MN∥平面B1GH,又A1M⊂平面A1MN,B1H⊂平面B1GH,所以A1M与B1H无公共点.D(✕)因为A1N⊂平面A1MN,所以A1N∥平面B1GH.C(√)因为A1N⊂平面A1B1C1D1,B1G∩平面A1B1C1D1=B1,B1∉A1N,所以A1N与B1G异面.7.B分点P在平面α,β的同侧和点P在平面α,β之间两种情况,利用相似三角形的性质求出BD的长.当点P位于平面α,β同侧时,如图1,则ACPC=BDPD,∴915=BD10,∴BD=6;当点P位于平面α,β之间时,如图2,则PDBD=PCAC,∴10BD=8.C取圆台下底面圆心O',确定AB取最小值的情况,结合线面平行的性质求出圆台两底面圆半径及高,进而求出圆台体积.如图,取圆台下底面圆心O',连接MO',令MO'∩AB=C,连接ON,OO',OC,显然ON∥O'M,由平面OO'MN∩平面OAB=OC,MN∥平面OAB,MN⊂平面OO'MN,得MN∥OC,则四边形OCMN为平行四边形,OC=MN=2r,CM=ON=r=12R=O'C.在△OO'C中,OO'⊥O'C,∠COO'=30°,在圆O'中,当且仅当AB⊥O'M时,AB取最小值6,由3=R2−(12R)2,解得R=23,因此r=3,圆台的高h=OO'=Rcos30°=3,所以该圆台的体积为V=13π(r2+rR+R2)h=19.BCD可将已知条件结合如图所示的长方体进行分析,设平面A1B1C1D1为α,平面ABCD为β,A1D1=a,则本题的A,B,C选项即可转化为分析直线A1D1与平面ABCD内直线的位置关系.A(✕)直线A1D1与直线AB不平行,而直线AB在平面ABCD内.10.AB11.ABCA(√)水面EFGH是矩形,线段FG的长一定,从图1到图2,再到图3的过程中,线段EF的长逐渐增大,则水面EFGH所在四边形的面积逐渐增大.B(√)依题意,BC∥水面EFGH,而平面BCC1B1∩平面EFGH=FG,BC⊂平面BCC1B1,则BC∥FG,同理BC∥EH,而BC∥AD,BC=FG=EH=AD,ABCD-A1B1C1D1是长方体,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,因此有水的部分的几何体是直棱柱,长方体去掉有水部分的棱柱,没有水的部分始终呈棱柱形(由棱柱的特征:有两个平面相互平行且是全等的多边形,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,可知没有水的部分始终呈棱柱形).C(√)因为A1D1∥BC∥FG,FG⊂平面EFGH,A1D1⊄平面EFGH,所以A1D1∥平面EFGH,即棱A1D1一定与平面EFGH平行.D(✕)当容器倾斜如图3所示时,有水部分的几何体是直三棱柱,其高为BC=1,体积为V,又S△BEF=12BE·BF,V=S△BEF·BC,所以BE·BF=2VBC=12.60°或120°角α的两边和角β的两边分别平行且α=60°,由等角定理可知,β=α或β+α=180°,则β=60°或120°.13.43线面平行的性质思路导引先证明CD∥平面SAB,再根据线面平行的性质证得CD∥MN,则可得AB∥MN,即可得解.如图,作出过M,D,C三点的截面四边形,因为AB∥CD,AB⊂平面SAB,CD⊄平面SAB,所以CD∥平面SAB,又因为平面CDMN∩平面SAB=MN,CD⊂平面CDMN,所以CD∥MN,所以AB∥MN,所以MNAB=SMSA=13,又AB=4,所以14.32根据面面平行求截面图形的面积思路导引通过作图得到截面,再利用直四棱柱的结构特征,求出截面各条边的长度,最后求得截面面积.如图,取B1C1的中点为N,在BB1上取一点M,使得B1M=13BB1,连接A1M,MN,A1∵E是BC的中点,∴A1N∥AE,又A1N⊄平面AEF,AE⊂平面AEF,∴A1N∥平面AEF,又∵B1M=13BB1,CF=13CC1,∴MN∥EF,又MN⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,∴MN∥平面AEF,又A1N∩MN=N,且A1N,MN⊂平面A1MN,∴平面A1MN∥平面AEF,又∵A1,M,N三点都在直四棱柱表面,∴平面A1MN就是所得截面(关键步骤:找到截面图形).B1M=13BB1=1,由勾股定理得MN=12+12=2,A1M=A1N=12+22=5,∴△A1MN为等腰三角形.过点A1作底边MN的高,记为A1H,则A1H=(5)215.【解析】(1)因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=4,AC=3,AA1=4,所以BC=5,(2分)所以S△ABC=12×3×4=6,S正方形AA1B1B=4×4=16,S矩形AA1C所以直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积为6×2+16+12+20=60.(6分)(2)如图,连接BC1交B1C于点F,连接DF,则F为矩形BCC1B1对角线的交点,BF=C1F.(8分)又点D为A1C1的中点,所以A1B∥DF.(10分)因为DF⊂平面B1CD,A1B⊄平面B1CD,所以A1B∥平面B1CD.(13分)16.【解析】(1)如图,连接BH.∵F,G分别是BC,HC的中点,∴FG为△CBH的中位线,∴FG∥BH,∴F,G,H,B四点共面.(6分)(2)由(1)知FG∥BH,∵FG⊄平面BDD1B1,BH⊂平面BDD1B1,∴FG∥平面BDD1B1.(9分)∵E,F分别是DC,BC的中点,∴EF∥DB,又EF⊄平面BDD1B1,DB⊂平面BDD1B1,∴EF∥平面BDD1B1.(13分)∵EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,∴平面EFG∥平面BDD1B1.(15分)17.【解析】(1)如图所示,∵B,C,D是半圆的四等分点,∴AB=BC=CD=DA,∴卷成圆锥后AB=CD,且AB∥CD,又∵AB⊂平面PAB,CD⊄平面PAB,∴CD∥平面PAB.(4分)∵平面MON∥平面PAB,CD⊄平面MON,∴CD∥平面MON,又∵CD⊂平面PCD,且平面PCD∩平面MON=MN,∴CD∥MN,又AB∥CD,∴AB∥MN.(8分)(2)由(1)知,MN∥CD,且MN⊄平面OCD,CD⊂平面OCD,∴MN∥平面OCD,∵MN⊂平面MON,且平面MON∩平面OCD=l,∴MN∥l.(15分)18.【解析】(1)学审题:要证SC∥平面BMD,需在平面BMD内找到与SC平行的直线,利用直线与平面平行的判定定理证明.如图1,连接BD交AC于点O,连接MO,BM,DM,则O为AC的中点,当M为SA的中点时,OM∥SC,又OM⊂平面BMD,SC⊄平面BMD,所以SC∥平面BMD.(7分)(2)在侧棱SC上存在点E,使得BE∥平面PAC,且SEEC=2.理由如下:如图2,取SD的中点Q,由SP=3PD,得PQ=PD,过Q作PC的平行线交SC于E,连接BQ,BE,BD,设BD交AC于点O,连接PO.在△BDQ中,有BQ∥PO,又PO⊂平面PAC,BQ⊄平面PAC,所以BQ∥平面PAC.(12分)由SQQP=2,得SEEC=SQQP又QE∥PC,PC⊂平面PAC,QE⊄平面PAC,所以QE∥平面PAC,BQ∩QE=Q,BQ,QE⊂平面BEQ,所以平面BEQ∥平面PAC,(15分)而BE⊂平面BEQ,所以BE∥平面PAC,即在侧棱SC上存在点E,使得BE∥平面PAC,此时SEEC=2.19.【解析】(1)如图1,在平面ABC内过点O作直线DE,使DE∥AC,分别交棱BA,BC于点D,