2022届广东省深圳市光明区高三上学期8月第一次调研考试数学试题

光明区2022届高三年级第一次调研测试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，则（）A. B. C. D.3.已知圆柱底面半径为2，侧面展开图为面积为的矩形，则该圆柱的体积为（）A. B. C. D.4.下列区间是函数单调递减区间的是（）A. B. C. D.5.已知直线l：与曲线C：相交于A，B两点，，则的周长是（）A.2 B. C.4 D.6.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A为“向上的点数为奇数”，记事件B为“向上的点数为1或2”，则事件A与事件B的关系是（）A.相互独立 B.互斥C.既相互独立又互斥 D.既不相互独立又不互斥7.已知函数，若曲线在处切线与直线垂直，则（）A. B. C. D.8.若，则（）A. B. C. D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是（）A.a的值为-2 B.乙组样本数据的方差为36C.两组样本数据的样本中位数一定相同 D.两组样本数据的样本极差不同10.已知，是两个相互垂直的单位向量，，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.当时，，夹角的余弦值为C.存在使得与同时成立 D.不论为何值，总有成立11.过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（）A.B.所在直线的方程为C.四边形的外接圆方程为D.的面积为12.在棱长均为1的正三棱柱中，点E在棱上运动，则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.存在点E使得直线与直线所成的角为45°C.三棱锥的体积为定值D.当点E为棱中点时，四棱锥的外接球的表面积为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数是偶函数，则___________.14.直线与抛物线交于A，B两点，已知的中点坐标为，则___________.15.函数的最大值为___________.16.北宋著名建筑学家李诫编写了一部记录中国古代建筑营造规范的书《营造法式》，其中说到“方一百，其斜一百四十有一”，即一个正方形的边长与它的对角线的比是，接近.如图，该图由等腰直角三角形拼接而成，以每个等腰直角三角形斜边中点作为圆心，斜边的一半为半径作一个圆心角是90°的圆弧，所得弧线称为螺旋线，称公比为的数列为等比数列.已知等比数列的前n项和为，满足.若，且，则的最小整数为___________.（参考数据：，）四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列满足.（1）记的前n项和为，求；（2）记，求的前项和.18.为了不断提高群众主动参与健身的意识，激发大家的健身热情，在社区形成崇尚健身、参与健身、推动全民健身事业发展的良好氛围，某社区举行“全民健身日”活动.在活动中，甲、乙两人进行了一场五局三胜制的乒乓球比赛，其中甲在每局中胜出的概率为，乙在每局中胜出的概率为，每赢一局得1分，每输一局不得分，没有平局.每局比赛相互独立.（1）求甲在比赛中获胜的概率；（2）求比赛结束时甲得分的分布列及数学期望.19.如图，在四棱锥中，，，，，.（1）求证：；（2）在棱上是否存在点G，使得二面角的大小为30°？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；，.（1）求的值；（2）若的外心在其外部，，求外接圆的面积.21.已知双曲线C：（）的左､右焦点分别为，，，过焦点，且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，且满足.（1）求C的方程；（2）过点且斜率不为0的直线交C于M，N两点，且，求直线的方程.22.已知函数，.（1）当时，求函数单调区间；（2）当，时，函数有两个极值点，（），证明：.光明区2022届高三年级第一次调研测试数学试卷答案版一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：B2.已知，则（）A. B. C. D.答案：C3.已知圆柱底面半径为2，侧面展开图为面积为的矩形，则该圆柱的体积为（）A. B. C. D.答案：A4.下列区间是函数单调递减区间的是（）A. B. C. D.答案：D5.已知直线l：与曲线C：相交于A，B两点，，则的周长是（）A.2 B. C.4 D.答案：D6.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A为“向上的点数为奇数”，记事件B为“向上的点数为1或2”，则事件A与事件B的关系是（）A.相互独立 B.互斥C.既相互独立又互斥 D.既不相互独立又不互斥答案：A7.已知函数，若曲线在处切线与直线垂直，则（）A. B. C. D.答案：A8.若，则（）A. B. C. D.答案：C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是（）A.a的值为-2 B.乙组样本数据的方差为36C.两组样本数据的样本中位数一定相同 D.两组样本数据的样本极差不同答案：ABD10.已知，是两个相互垂直的单位向量，，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.当时，，夹角的余弦值为C.存在使得与同时成立 D.不论为何值，总有成立答案：ACD11.过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（）A.B.所在直线的方程为C.四边形的外接圆方程为D.的面积为答案：BCD12.在棱长均为1的正三棱柱中，点E在棱上运动，则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.存在点E使得直线与直线所成的角为45°C.三棱锥的体积为定值D.当点E为棱中点时，四棱锥的外接球的表面积为答案：AC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数是偶函数，则___________.答案：14.直线与抛物线交于A，B两点，已知的中点坐标为，则___________.答案：15.函数的最大值为___________.答案：16.北宋著名建筑学家李诫编写了一部记录中国古代建筑营造规范的书《营造法式》，其中说到“方一百，其斜一百四十有一”，即一个正方形的边长与它的对角线的比是，接近.如图，该图由等腰直角三角形拼接而成，以每个等腰直角三角形斜边中点作为圆心，斜边的一半为半径作一个圆心角是90°的圆弧，所得弧线称为螺旋线，称公比为的数列为等比数列.已知等比数列的前n项和为，满足.若，且，则的最小整数为___________.（参考数据：，）答案：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列满足.（1）记的前n项和为，求；（2）记，求的前项和.答案：（1）；（2）.18.为了不断提高群众主动参与健身的意识，激发大家的健身热情，在社区形成崇尚健身、参与健身、推动全民健身事业发展的良好氛围，某社区举行“全民健身日”活动.在活动中，甲、乙两人进行了一场五局三胜制的乒乓球比赛，其中甲在每局中胜出的概率为，乙在每局中胜出的概率为，每赢一局得1分，每输一局不得分，没有平局.每局比赛相互独立.（1）求甲在比赛中获胜的概率；（2）求比赛结束时甲得分的分布列及数学期望.答案：（1）;（2）分布列见解析，数学期望为.19.如图，在四棱锥中，，，，，.（1）求证：；（2）在棱上是否存在点G，使得二面角的大小为30°？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.答案：（1）证明见解析；（2）点G为的中点时，二面角的大小为30°，证明见解析.20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；，.（1）求的值；（2）若的外心在其外部，，求外接圆的面积.答案：（1）