2025~2026学年上海市复旦大学附属复兴中学高二上学期期中考试数学试卷

2025~2026学年上海市复旦大学附属复兴中学高二上学期期中考试数学试卷一、填空题(★)1.两个平面最多可以将空间分成__________部分.(★)2.已知正方形边长为1，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为________(★)3.已知一球的体积为，则该球的表面积为___________(★)4.如图，已知长方体的棱长，，则点A到棱的距离是______cm.(★★)5.如图，矩形的长为，宽为是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则的周长为___________．(★)6.如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有___________条．(★★★)7.空间三角形三个顶点的坐标分别为和，则三角形的面积___________(★★)8.如图，半径的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于___________(★★)9.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的母线长为______________.(★★★)10.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”：底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图，在堑堵中，，且．有下列命题：①四棱锥为“阳马”；②四面体为“鳖臑”；③四棱锥体积最大为；④过点分别作于点于点，则．则正确命题是___________(★★)11.从点O引三条射线OA、OB、OC，其两两间的夹角为60°、90°、120°，则这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是_________．(★★★★)12.如图，点，分别为正方体的棱，的中点，以正方体的六个面的中心为顶点构成一个八面体，若平面将八面体分割成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为，，则__________.二、单选题(★★)13.已知a、b、c是空间中的三条不重合的直线，是三个不同的平面，下列命题中真命题是（）

A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则(★★)14.已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（）

A．，，B．，，C．，，D．，，(★★)15.如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（）

A．B．C．2D．(★★★)16.三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（）①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为.

A．①②都是真命题B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D．①②都是假命题三、解答题(★★★)17.如图，在正方体中．(1)求异面直线和所成角的大小；(2)求二面角的大小．(★★★)18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，.点M为BC的中点.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.(★★★)19.如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为．(1)是否可能是的垂心，请说明理由(2)若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小．(★★★)20.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是棱的中点．(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；(3)设是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围．(★★★★)21.如图，在三棱柱中，，，