中考数学热点题

中考数学热点题目录【中考热点1】数与式★★★★★ 2【中考热点2】方程（组）与不等式（组）★★★★★ 8【中考热点3】函数类综合问题★★★★★ 18【中考热点4】解直角三角形问题★★★★★ 41【中考热点5】几何综合★★★★★ 55【中考热点6】圆的综合题★★★★★ 71【中考热点7】几何最值问题★★★★★ 85【中考热点8】跨学科综合题★★★ 95【中考热点9】阅读理解题★★★★ 104

【中考热点1】数与式★★★★★【考情分析】每年必考的送分题，做好第一题很重要．“数与式”包括有理数、实数、代数式、整式与分式四个部分．数与式渗透后面各部分内容之中，联系着所有数学知识．它是开展数学学习和研究的基础，也是中考的重要考点之一．数与式的考题一般以填空、选择或解答题的形式出现．这部分内容的考题难度不大，但涉及的基本概念和知识点较多．【满分技巧】实数：理解有理数、无理数、数轴、相反数、倒数、绝对值、近似数、有效数字、平方根、算术平方根、立方根的概念．知道实数与数轴上的点一一对应，并会求一个数的相反数、倒数、绝对值．会用科学记数法表示一个数，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值．能正确运用实数的运算法则进行实数的混合运算．理解实数的运算律，并能运用运算律简化运算．能运用实数的运算解决简单的问题．会用各种方法比较两个实数的大小．整式：了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算；掌握平方差公式和完全平方公式，并了解其几何背景，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解．分式：了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方及混合运算．二次根式：了解二次根式的概念、性质及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单四则运算．代数式：理解用字母表示数的意义，能分析简单问题，并能用代数式表示，能解释简单代数式的实际背景或几何意义，会求代数式的值【2024年中考预测】一、选择题（共21小题）1．（2024•海淀区一模）据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成．将17500000用科学记数法表示应为（）A．175×105 B．1.75×106 C．1.75×107 D．0.175×1082．（2024•辽宁模拟）下列计算正确的是（）A．a3•a4＝a12 B．（2a2）3＝2a6 C．a2+a2＝2a2 D．（a+2）2＝a2+43．（2024•德惠市一模）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（）A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）24．（2024•静安区二模）下列各数中，是无理数的为（）A． B． C．π0 D．5．（2024•福田区模拟）已知多项式3mx2+3y﹣3﹣15x2+2中不含x2项，则m的值是（）A．5 B．﹣5 C．3 D．156．（2024•邵东市一模）在﹣2024，，0，1这四个有理数中，最小的数是（）A．﹣2024 B． C．0 D．17．（2023秋•台州期末）如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大6倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大3倍8．（2024•兰州模拟）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞﹣2 B．a+b＞0 C．|a|＜|b| D．b﹣a＞09．（2024•雅安模拟）若分式的值为0，则x的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±110．（2024•香洲区校级一模）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤311．（2024•宜昌模拟）2024年1月1日，某地4个时刻的气温（单位：℃）分别为﹣4，0，1，﹣3，其中最低的气温是（）A．﹣4 B．0 C．1 D．﹣312．（2024•海淀区校级模拟）如果x2+2x﹣2＝0，那么代数式x（x+2）+（x+1）2的值是（）A．﹣5 B．5 C．3 D．﹣313．（2024•利津县一模）16的算术平方根是（）A．±4 B．±2 C．4 D．﹣414．（2024•南岗区校级一模）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：输入…12345…输出……那么，当输入数据为8时，输出的数据为（）A． B． C． D．15．（2024•武威二模）数轴上，有理数a、b、﹣a、c的位置如图，则化简|a+c|+|a+b|+|c﹣b|的结果为（）A．2a+2c B．2a+2b C．2c﹣2b D．016．（2024•江西模拟）正奇数1，3，5，7，9，…，按如下规律排列，则第8排从左数第2个数是（）A．57 B．59 C．61 D．6317．（2024•潼南区一模）有依次排列的两个整式A＝x2﹣1，B＝x2+x，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为C1，用整式C1与前一个整式B作差后得到新的整式C2，用整式C2与前一个整式C1作差后得到新的整式C3，…，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①当x＝a时，C5＝（a+1）2；②整式C10与整式C14结果相同；③当C9•C2＝0时，A•B＝0；④＝+2．其中，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．418．（2024•澄海区校级模拟）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．19．（2024•南开区一模）计算的结果是（）A． B． C． D．20．（2024•瓯海区模拟）已知＝（）A． B． C． D．121．（2024•凉州区校级模拟）下列四个说法：（1）的系数是，（2）﹣是多项式，（3）x2﹣2xy﹣3的常数项是3，（4）﹣2yx2与2x2y是同类项，其中正确的是（）A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（2） D．（3）（4）二、填空题（共5小题）22．（2024•涟源市模拟）分解因式：x2y﹣4y3＝．23．（2024•大东区模拟）计算的结果是．24．（2024•孝感一模）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的各项的系数，则（a+b）2024的展开式中含a2023项的系数是．25．（2024•武威二模）如图，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数﹣1对应的点向右滚动一周，圆上的A点恰好与点B重合，则点B对应的实数是．26．（2024•番禺区校级一模）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫做“形数”．如图为正方形数，根据图中点的数量规律，第n个图形中的点数为．三、解答题（共6小题）27．（2024•海淀区校级模拟）计算：（）0﹣2sin30°++（）﹣1．28．（2024•盐城模拟）先化简，再求值：，其中x＝4．29．（2024•邯郸模拟）计算：（﹣6）×（﹣■）﹣23．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．（1）如果被污染的数字是，请计算（﹣6）×（﹣）﹣23．（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．30．（2024•正定县一模）在七年级活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别为A，B，C三个代数式，三张卡片如下，其中C的代数式是未知的．A＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1B＝﹣2（x2﹣x+2）C（1）若A为二次二项式，则k的值为；（2）若A﹣B的结果为常数，则这个常数是，此时k的值为；（3）当k＝﹣1时，C+2A＝B，求C．31．（2024•南昌县一模）以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：解：原式＝[﹣]×①＝[﹣]×②＝×③…解：（1）上面的运算过程中第步出现了错误；（2）请你写出完整的解析过程．32．（2024•武安市二模）（1）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含有ab项，则m的值为．（2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2，∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（i）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向直线AB两侧作正方形BCFG，正方形AEDC，设AB＝8，两正方形的面积和为40，则△AFC的面积为；（ii）若（9﹣x）（x﹣6）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣6）2的值．【中考热点2】方程（组）与不等式（组）★★★★★【考情分析】在各地中考中，方程(组)与不等式(组)主要考查有两方面:一是计算，整体来说命题都是中规中矩;二是应用，时常命题新颖，目出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，是属干占分较多的一类考点，分值设在15分左右，整体来看试题难度不大，厘干中考中的中等题，所以在中考复习时，需要考生对计算部分的易错点多加重视，而应用类则需要认直审题，根据应用的处理步骤完成即可．【满分技巧】1.一次方程（组）：熟记定义，熟悉解法步骤，注重基础计算格式及其准确性，实际应用找准等量关系；一次方程（组）如果考定义或者实际应用时，多以选择、填空题形式出现，这就从问题本身降低了难度，但是也要求必须对这部分的定义或实际应用的等量关系较为熟悉才能更快更准确的拿分．而对一次方程（组）解法的考察，多在于其解法步骤上，所以基本各类方程的解法步骤必须熟悉．2.不等式（组）：熟记解法步骤，注意是否变号，画解集：＞向右，＜向左，实际应用找准不等量关系；不等式（组）解法的考察多以解答题的形式出现，还会要求在数轴上画出解集，这类问题一是不能漏画解集，二是实心、空心，向左、向右不要搞反了．不等式（组）的实际应用问题，也基本都是以解答题形式出现，并且常和二元一次方程组结合考察，分值较高，复习时需要不留“死角”．3.分式方程及其应用：解分式方程勿忘验根；分式方程的考察不管是单独的解分式方程，还是分式方程的应用题，在解完方程之后，都需要加上“验根”这一步，这步缺失是要扣分的．其他注意事项同一次方程（组）．4.一元二次方程：考定义要注意“2次”与“系数≠0”要同时成立；考解的情况想“b2-4ac”；考两根关系想“根与系数的关系”；中考中对一元二次方程的考察是多方面的，每个考点都有不同的考察方向，而且，一元二次方程还可以结合二次函数同时考察，有些考点的变形就更多.中考复习时，需要对一元二次方程的各个知识重点都加以重视，遇到问题随机应变．【2024年中考预测】一、选择题（共18小题）1．（2024•北流市一模）已知方程x2﹣3x+2＝0的两根是x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024•安阳模拟）若a，b是方程的两个根，则的值为（）A．﹣16 B．16 C．﹣20 D．203．（2024•福田区模拟）已知点P（a，a+1）在平面直角坐标系的第二象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（）A． B． C． D．4．（2024•邵东市一模）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝5．（2024•兰州模拟）《九章算术》中记载了这样一个问题：今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？大意是：3束上等禾的产量再加6斗，相当于10束下等禾的产量；5束下等禾的产量再加1斗，相当于2束上等禾的产量．问上等禾、下等禾每束的产量各为几斗？设上等禾每束产量x斗，下等禾每束产量y斗，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．6．（2024•金山区二模）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，那么a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a＞1 D．a＜17．（2024•喀喇沁旗模拟）红星中学初三、②班十几名同学毕业前和数学老师合影留念，一张彩色底片要0.6元，扩印一张相片0.5元，每人分一张，免费送老师一张（由学生出钱），每个学生交0.6元刚好，相片上共有多少人（）A．13个 B．12个 C．11个 D．无法确定8．（2024•青岛一模）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（）A．x+4.5＝2（x﹣1） B．x+4.5＝2（x+1） C．x﹣4.5＝2（x+1） D．x﹣4.5＝2（x﹣1）9．（2024•济南模拟）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥210．（2024•耒阳市一模）已知a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，则a2+7a+b的值为（）A．﹣4 B．﹣9 C．0 D．911．（2024•苍溪县二模）2023年多地爆发支原体肺炎和甲流，某口罩生产厂家为提高生产量，特增加了先进的生产设备．10月份该厂家生产口罩120万个，12月份生产口罩270万个，设这一季度口罩产量的月平均增长率为x，则可列方程为（）A．120+120（1+x2）＝270 B．120（1+x2）＝270 C．270（1﹣x）2＝120 D．120（1+x）2＝27012．（2024•杭州一模）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，_■_．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，_■__．”设绫布有x尺，则可得方程为，根据此情境，题中“_■__”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（）A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文13．（2024•鹤城区校级一模）A，B两地相距50km，一艘轮船从A地逆流航行到B地，又立即从B地顺流航行到A地，共用去9h，已知水流速度为3km/h，若设该轮船在静水中的速度为xkm/h，则下列所列方程正确的是（）A． B． C． D．14．（2024•织金县一模）程大位的《算法统宗》是我国古代数学名著，其中有一道这样的题目“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问房客各几何？”题目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就会有7人没地方住；若每间房住9人，则空出一间房．问有多少房间，多少客人？如果设房间有x间，客人y人，由题意可列方程组（）A． B． C． D．15．（2024•宿城区一模）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（）A．a＞5 B．a＜5 C．a＞5且a≠7 D．a＜5且a≠316．（2024•武汉模拟）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①b＝a+c时，方程ax2+bx+c＝0一定有实数根；②若a、c异号，则方程ax2+bx+c＝0一定有实数根；③b2﹣5ac＞0时方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；④若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不相等实数根．其中正确的是（）A．①②③④ B．只有①②③ C．只有①②④ D．只有②④17．（2024•邯郸模拟）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁18．（2024•凉州区二模）已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组的解是（）A． B． C． D．二、填空题（共7小题）19．（2024•仪陇县模拟）定义一种新运算：a⊗b＝a﹣ab，例如：2⊗3＝2﹣2×3＝﹣4．根据上述定义，不等式组的整数解为．20．（2024•江阳区校级一模）关于x的不等式组有且只有3个整数解，则常数k的取值范围是．21．（2024•兖州区一模）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为．22．（2024•台江区校级模拟）庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有队参加比赛．23．（2024•海州区校级一模）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为．24．（2024•碑林区校级一模）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为．25．（2024•任城区校级模拟）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为．三．解答题（共13小题）26．（2024•长沙模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．27．（2024•仁和区一模）解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上．28．（2024•东海县一模）解方程：．29．（2024•周至县一模）解方程：x2+6x+2＝0．30．（2024•正定县一模）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b＝2a+b，例如3⊗4＝2×3+4＝10．（1）求4⊗（﹣3）的值；（2）若x⊗（﹣y）＝2，（2y）⊗x＝﹣1，求x+y的值．31．（2024•偃师区模拟）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．32．（2024•桂阳县校级模拟）湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？33．（2024•双峰县模拟）某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？34．（2024•新邵县一模）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．35．（2024•宿迁二模）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．36．（2024•江阴市校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm？（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？37．（2024•皇姑区模拟）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息一工程队每天施工面积（单位：m2）每天施工费用（单位：元）甲x+3003600乙x2200信息二甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．（1）求x的值；（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？38．（2024•富顺县一模）我们规定：方程ax2+bx+c＝0的变形方程为a（x+1）2+b（x+1）+c＝0．例如，方程2x2﹣3x+4＝0的变形方程为2（x+1）2﹣3（x+1）+4＝0（1）直接写出方程x2+2x﹣5＝0的变形方程；（2）若方程x2+2x+m＝0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（3）若方程ax2+bx+c＝0的变形方程为x2+2x+1＝0，直接写出a+b+c的值．【中考热点3】函数类综合问题★★★★★【考情分析】二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏．涉及题目数量一般3-4题，其中有1-2道大题．所占分值大约25分左右．二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大．二次函数在考查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形相结合，综合性很强，技巧性也很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低．其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结．【满分技巧】1．把握二次函数所有考点的做题技巧（1）求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程:（2）求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;（3）根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合;（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标，2.二次函数的压轴题主要考向（1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）等）．（2）最值问题（线段、周长、面积）3．熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略（1）线段最值（周长）问题——斜化直策略（2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略（3）线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题（4）线段差——三角形三边关系或函数（5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论（6）平行四边形存在性问题——中点公式+平移法【2024年中考预测】一、选择题（共20小题）1．（2024•大渡口区模拟）反比例函数的图象经过点A（﹣2，3），下列各点在该反比例函数图象上的是（）A．（﹣1，﹣6） B．（1，﹣6） C．（﹣3，﹣2） D．（3，2）2．（2024•绥化模拟）如图1，Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．6 B．8 C．10 D．123．（2024•庆云县模拟）已知直线y＝﹣3x+a与直线y＝2x+b交于点P，若点P的横坐标为3，则关于x的不等式﹣3x+a＞2x+b的解集为（）A．x＜﹣3 B．x＜3 C．x＞3 D．x＞﹣34．（2024•绥化模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点AC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，点P是矩形OABC内的一点，连接PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（2024•黔南州一模）直线y＝2x+1如图所示，过点P（2，1）作与它平行的直线y＝kx+b，则k，b的值是（）A．k＝2，b＝3 B．k＝2，b＝﹣3 C．k＝2，b＝﹣1 D．k＝﹣2，b＝﹣36．（2024•金乡县一模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝的大致图象可能是（）A． B． C． D．7．（2024•武威二模）如图，小球起始位置时位于（3，0）处，沿图中所示的方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第2023次碰到球桌边时，小球的位置是（）A．（0，3） B．（1，4） C．（5，0） D．（8，3）8．（2024•津市市一模）将抛物线y＝﹣x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到的新图象与直线y＝x+m有4个交点，则m的取值范围是（）A．m≤﹣5 B．﹣≤m＜﹣5C．﹣＜m＜﹣3 D．m≥﹣39．（2024•凉州区二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，如图所示，与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③若点（x1，y1）和点（x2，y2）在抛物线图象上，那么当﹣2＜x1＜﹣1，2＜x2＜3时，y1＜y2；④3a+c＝0，其中正确的结论个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（2024•松北区一模）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离S（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（）A．乙比甲提前出发1h B．甲行驶的速度为40km/hC．3h时，甲、乙两人相距60km D．0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km11．（2024•苍溪县一模）如图，Rt△AOB的直角顶点在坐标原点O上，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数（x＜0）的图象上，则tan∠A的值是（）A． B． C． D．12．（2024•阳新县校级模拟）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④将图象向上平移2个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④13．（2024•津市市一模）将二次函数y＝x2﹣6的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为（）A．y＝x2﹣2x﹣5 B．y＝x2+2x﹣9 C．y＝x2﹣2x﹣8 D．y＝x2+2x﹣514．（2024•许昌一模）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P从点A出发运动到点B时停止，过点P作PQ⊥AB，交直角边AC（或BC）于点Q，设点P运动的路程为x，△APQ的面积为y，y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝5时，△APQ的面积为（）A． B． C． D．15．（2024•昌吉州一模）已知直线与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在y轴上的点B′处，则点M的坐标是（）A．（3，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（6，0）16．（2024•鞍山模拟）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（）A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25mC．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m17．（2024•斗门区校级一模）如图，直线y＝x+b分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD＝8，则k的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣818．（2024•黄山一模）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（）A． B． C． D．19．（2024•南山区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，点C在y轴上，AB＝AC，AC∥x轴，BD⊥AC于点D，若点A的横坐标为5，BD＝3CD，则k值为（）A．3 B．4 C． D．20．（2024•新乡一模）如图1，在菱形ABCD中，E为AB的中点，点F沿AC从点A向点C运动，连接FE，FB．设FA＝x，FE+FB＝y，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则y的最小值是（）A． B． C． D．2二、填空题（共8小题）21．（2024•济南模拟）某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过分钟时，两仓库快递件数相同．22．（2024•宝鸡二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点C在x轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A（2，6），且与边BC交于点D，若点D是边BC的中点，则OC的长为．23．（2024•双阳区一模）某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ACB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为80米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为4米的景观灯杆EF的高度为米．24．（2024•吉林一模）某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O米以内．25．（2024•阳谷县一模）如图，在反比例函数的图象上有P1，P3，⋯，P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，⋯，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，⋯，S2023，S2024，则S1+S2+S3+⋯+S2023+S2024＝．26．（2024•新北区校级模拟）如图，将抛物线y＝2（x+1）2+1绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线，新曲线与直线y＝x交于点M，则点M的坐标为．27．（2024•潜山市校级一模）定义：min{a，b}＝．若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为．28．（2024•思明区校级模拟）如图，A（1，0）、B（3，0）、M（4，3），动点P从点A出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向右移动，且过点P的直线y＝﹣x+b也随之平移，设移动时间为t秒，若直线与线段BM有公共点，则t的取值范围为．三、解答题（共22小题）29．（2024•福田区模拟）某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数y＝的图象、性质进行探究，探究过程如下，请把表格补充完整．（1）下表是x与y的几组对应值．x…﹣4﹣3﹣2﹣﹣01234…y…mn…m＝，n＝．（2）在平面直角坐标系中，描出相应的点，画出函数的图象．（3）函数性质探究：观察函数图象，写出该函数图象的一条性质：．（4）综合应用：已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式直接写出不等式≥的解集．（精确到0.1，误差不超过0.2）30．（2024•西安校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式．（2）若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，点G为y轴上一动点，过点E作∠EGC＝30°，设点P的横坐标为m．求的最大值．31．（2024•静安区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于直线对称，且经过点A（0，3）和点B（3，0），横坐标为4的点C在此抛物线上．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、AC，求tan∠BAC的值；（3）如果点P在对称轴右方的抛物线上，且∠PAC＝45°，过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q，请说明∠APQ＝∠BAC，并求点P的坐标．32．（2024•雅安模拟）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式：（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？33．（2024•宝鸡二模）如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式，无人机从西侧距坡底O为10米处的B点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似满足抛物线．当无人机飞越坡底上空时（即点D），与地面的距离为20米．（1）求无人机飞行轨迹的函数解析式；（2）当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d；（3）由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．34．（2024•惠城区校级一模）如图，已知A（﹣4，0.5），B（﹣1，2）是一次函数y＝ax+b与反比例函数（m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．35．（2024•湖北一模）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃．（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；（2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？36．（2024•蓬江区校级模拟）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．（2024•东营区模拟）如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．38．（2024•云南模拟）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．39．（2024•洛阳模拟）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为；（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．40．（2024•陈仓区模拟）A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y（单位：千米）与行驶的时间t（单位：小时）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车的速度是千米/时，在图中括号内填入正确的数；（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．41．（2024•浙江模拟）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1，w2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示w1，w2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？42．（2024•广州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．43．（2024•新泰市校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．44．（2024•雨城区校级一模）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．45．（2024•安顺一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：m＝，a＝，b＝；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：；（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣2x+6|+m＞的解集．46．（2024•广平县模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．47．（2024•驻马店一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y＝﹣x+4，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．48．（2024•北京一模）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m033.544.5竖直高度y/m1010k106.25根据上述数据，直接写出k的值为，直接写出满足的函数关系式：；（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）；（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？49．（2024•广州一模）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？50．（2024•武汉模拟）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a＝，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本＝放养总费用+收购成本；利润＝销售总额﹣总成本）【中考热点4】解直角三角形问题★★★★★【考情分析】解三角形问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，一般以解答题的形式出现，预计2024年中考数学中仍会作为解答题来考察．所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的．解直角三角形通过边和角的关系解决问题，成为初中几何的重要内容，也是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的重要基础．同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，这些知识得到拓展和运用有利于培养学生空间想象的能力．对于解直角三角形的应用考查，中考涉及到仰角、俯角、方位角、坡度等重要知识点，我们选择几道典型的中考题进行分析，希望能帮助到大家的中考复习，掌握解题规律.【满分技巧】1.求三角函数的值：（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．（3）正确应用勾股定理求第三边长．（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值2.利用特殊角的三角函数值求值锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关．3.解直角三角形的应用（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.【2024年中考预测】一、选择题（共19小题）1．（2024•岳阳县二模）2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B．若AB＝500m，则这名滑雪运动员水平方向BC滑行了多少米（）A．500sinαm B．500cosαm C．500tanαm D．2．（2024•望花区三模）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC＝6m，房顶A离地面EF的高度为6m，则tan∠ABC的值为（）A． B． C． D．33．（2024•七星区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则sinB的值为（）A． B． C． D．24．（2024•松北区一模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时，根据上述角的正对定义，则sad60°的值为（）A． B． C． D．15．（2024•九台区一模）如图为固定电线杆AC，在离地面高度为7米的A处引拉线AB，使拉线AB与地面BC的夹角为α，则拉线AB的长为（）A．7sinα米 B．7cosα米 C．7tanα米 D．米6．（2024•温州模拟）“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器．某“圭表”示意图如图所示，AC⊥BC，AC＝3米，测得某地夏至正午时“表”的影长CD＝1米，冬至时的正午太阳高度角∠ABC＝α，则夏至到冬至，影长差BD的长为（）A．（3sinα﹣1）米 B．米 C．（3tanα﹣1）米 D．米7．（2024•平房区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径作弧交AB于点D，再分别以点C、D为圆心，BC长为半径作弧交于点E，若BC＝5，，则CF的长为（）A． B．3 C． D．8．（2024•凉州区一模）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是（）A． B． C． D．9．（2024•南充模拟）为测量大楼AB的高度，小明测得斜坡CD＝52m（A，B，C，D在同一平面内），坡度i＝1：2.4，坡底C到大楼底部A的水平距离AC＝52m，在D处测得大楼顶部B的仰角为45°，则大楼AB的高度为（）A．100m B．104m C．120m D．125m10．（2024•鼓楼区校级模拟）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：a2＝b2+c2﹣2bccosA；b2＝a2+c2﹣2accosB；c2＝a2+b2﹣2abcosC．现已知在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠A＝60°，则AC的长为（）A．2 B．+1 C．﹣1 D．311．（2024•新昌县一模）如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长为1m时，∠ABC＝45°．当梯子底端点B水平向左移动到点B'，端点A沿墙竖直向上移动到点A'，设∠A'B'C＝α，则AA'的长可以表示为（）m．A． B． C． D．12．（2024•汝阳县一模）如图，沿AC的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，从AC上取一点B，取∠ABD＝148°，已知BD＝600米，∠D＝58°，点A，C，E在同一直线上，那么开挖点E离点D的距离是（）A．600sin58°米 B．600cos58°米 C．600tan58°米 D．米13．（2024•深圳模拟）为争创全国文明城市，我市开展市容市貌整治行动，增加了许多市民露营地．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图1），其截面示意图是轴对称图形（如图2），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳部分用绳子拉直，分别记为AC，AD，且AC＝AD＝2，∠CAD的度数为140°，则此时“天幕”的宽度CD是（单位：米）（）A．4sin70° B．4cos70° C．2sin20° D．2cos20°14．（2024•仁和区一模）在锐角△ABC中，，则∠A＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°15．（2024•宽城区校级一模）如图，在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（）A．2.5m B．5m C．6.25m D．16．（2024•扶风县一模）如图1是某地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．62cm B． C． D．74cm17．（2024•沭阳县校级模拟）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．我们已经知道30°，45°，60°角的三角函数值，现在来求tan22.5°的值：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°．设AC＝1，则BC＝1，AB＝＝BD，所以tan22.5°＝＝＝＝﹣1．类比这种方法，计算tan15°的值为（）A．﹣ B．2﹣ C．+ D．﹣218．（2024•广西模拟）如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（）A．m B．10m C．m D．m19．（2024•肇东市模拟）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为（）m．A．+1.6 B．﹣1.6 C．+0.9 D．﹣0.9二、填空题（共4小题）20．（2024•武汉模拟）图①是一台笔记本电脑实物图，如图②，当笔记本电脑的张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为11cm，当笔记本电脑的张角∠A′OB＝108°时，顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长约为cm．（A的对应点是点A′，OA′＝OA）（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，结果精确到1cm）21．（2024•钦州一模）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE，若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是米．（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）22．（2024•合水县一模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在骨架设计中，两条侧翼的长度设计AB＝AC＝50cm，风筝顶角∠BAC的度数为110°，在AB，AC上取D，E两处，使得AD＝AE，并作一条骨架AF⊥DE．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B，C两点间的距离大约是．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）23．（2024•武威一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝，BD＝，则sinB＝．三．解答题（共14小题）24．（2024•兰州模拟）小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下：问题鹅卵石的像到水面的距离工具纸、笔、计算器、测角仪等图形说明根据实际问题画出示意图（如图），鹅卵石在C处，其像在G处，泳池深为BN，且BN＝CH，MN⊥NC于点N，MN⊥BH于点B，CH⊥BH于点H，点G在CH上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得＝1.33．数据BN＝3m，∠ABM＝41.7°.请你根据上述信息解决以下问题：（1）求∠CBN的大小；（2）求鹅卵石的像G到水面的距离GH．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin41.7°≈0.665，cos41.7°≈0.747，tan41.7°≈0.891，≈1.73）25．（2024•河南模拟）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表．课题古代典籍数学文化探究工具计算器、纸、笔等示意图说明图2是桔槔的示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆．OM＝3米，AB是杠杆，且AB＝4.2米，OA：OB＝2：1．当点A位于最高点时，∠AOM＝127°．参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75计算求点A位于最高点时到地面的距离．（结果精确到0.1米）过程26．（2024•青岛一模）雨伞是我们生活中的常用工具，下雨时，雨往往是斜打的，且都是平行的，某雨天，小明站在如图所示的一把雨伞的正下方，伞柄AE与地面垂直，伞骨AB＝AC，伞面直径BC＝100cm，伞的边缘点B到地面的距离BF＝160cm，雨线BG与地面的夹角∠BGF＝70°．此时，小明身上被雨淋湿，那么将伞至少向下移动多少距离，才能使得身上不被雨淋湿？（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75．）27．（2024•河北区一模）某校综合与实践活动中，要利用测角仪测量一建筑物的高度．如图，在建筑物AB与教学楼ED之间的操场上取一观测点C，点E，点C，建筑物底部A在同一条水平直线上，已知观测点C至教学楼出口E的距离EC＝22m．某组同学在观测点C处分别测得建筑物楼顶B的仰角为60°，教学楼顶D的仰角为45°，在教学楼顶D处测得建筑物底部A的俯角为22°．（Ⅰ）求教学楼ED的高；（Ⅱ）设建筑物AB的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；②求建筑物AB的高度．（tan22°取0.40，取1.41，取1.73，结果取整数）28．（2024•珠海校级一模）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD．点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．（1）求证：∠BOC+∠BAD＝90°．（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得∠BAD＝60°．已知铁环⊙O的半径为30cm，推杆AB的长为70cm，求此时AD的长．29．（2024•潼南区一模）如图，四边形ABCD是一湿地公园的休闲步道．经测量，AB⊥BC于点B，AB＝BC＝300米，点D在C的北偏东75°方向，且点D在A的东北方向．（1）求步道CD的长度；（精确到个位数）（2）小庆以80米/分的速度沿B→C→D→A的方向步行，小渝骑自行车以200米/分的速度沿B→A→D→C的方向行驶．两人同时出发能否在9分钟内相遇？请说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）30．（2024•武威二模）如图，某隧道的横截面可以看作由半圆O与矩形ABCD组成，BC所在直线表示地平面，E点表示隧道内的壁灯，已知AB＝2m，从A点观测E点的仰角为30°，观测C点的俯角为14°（参考数据tan76°的值取4）．（1）求的长；（2）求壁灯的高度．31．（2024•雁塔区校级模拟）小明暑假来到了“十三朝古都西安”进行研学旅行，他参观了兵马俑、钟楼、明城墙，在参观中他对城墙的高度产生极大的兴趣，他想用学过的数学知识来测量城墙的高度，由于城墙的外侧有护城河，所以城墙的底部不可到达，于是他在护城河边的围栏点C处（在安全范围内）利用测倾器测量城墙上一点A的仰角为67.38°，在阳光的照射下，他发现城墙上点A的影子落在了他身后11米的点D处，于是他站在D点发现他的影子落在地上点E处，经过测量得知ED的长为2.4米，已知小明的身高为1.8米，E、D、C、B在一条直线上，且FD⊥ED，AB⊥BE，请你根据以上数据帮助小明算出城墙的高．（参考数据：sin67.38°≈，cos67.38°≈，tan67.38°≈）32．（2024•东方一模）台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，点A是东方市，台风中心位于东方市的南偏东45°方向，距离千米的点B处，已知台风中心沿北偏西75°的BD方向移动，一段时间后台风中心移动到东方市的南偏东15°方向的点C处．（1）填空，∠CAB＝度，∠CBA＝度；（2）求台风移动的路径BC的长度；（3）若此次台风影响区域的半径为200千米且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响东方市，为什么？（参考数据：）33．（2024•新泰市校级模拟）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）【中考热点5】几何综合★★★★★【考情分析】几何综合题是中考数学中的重点题型，也是难点所在．几何综合题的难度都比较大，所占分值也比较重，题目数量一般有两题左右，其中一题一般为三角型、四边形综合；另一题通常为圆的综合；它们在试卷中的位置一般都在试卷偏后的位置．只所以几何综合题难度大，学生一般都感觉难做，主要是因为这种类型问题的综合性较强，涉及的知识点或者说考点较多，再加上现在比较热门的动点问题、函数问题，这就导致了几何综合题的难度再次升级，因此这种题的区分度较大．所以我们一定要重视平时多培养自己的综合运用知识的能力，从不同的角度，运用不同的知识去解决同一个问题．【满分技巧】一．熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题，首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识，尤其是要重点把握三角形、特殊四边形、圆及函数、三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、圆等相关知识．二．掌握分析问题的基本方法﹕分析法、综合法、1．分析法是我们最常用的解决问题的方法，也就是从问题出发，执果索因，去寻找解决问题所需要的条件，依次向前推，直至已知条件；例如，我们要证明某两个三角形全等，先看看要证明全等，需要哪些条件，哪些条件已知了，还缺少哪些条件，然后再思考要证缺少的条件，又需要哪些条件，依次向前推，直到所有的条件都已知为止即可．2．综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论，适合比较简单的问题；3.“两头堵法”﹕当我们用分析法分析到某个地方，不知道如何向下分析时，可以从已知条件出发看看能得到什么结论，把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略．【2024年中考预测】一、选择题（共17小题）1．（2024•兰州模拟）如图，在数学实践课上，老师要求学生在一张A4纸（矩形ABCD）上剪出一个面积为的等边三角形AEF．某小组分析后，先作了∠MAB＝60°，再算出了AF的长，然后分别在AM，AB上截取了AE＝AF，则AF的长为（）A． B．10cm C． D．20cm2．（2024•凉州区二模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（）A． B． C． D．13．（2024•康县一模）如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝（）A．