12.1函数-学生版（3知识点+5题型+巩固练习）(同步讲义)-沪科版(2024)八上

12.1函数课程标准学习目标①探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的查义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。②能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。③能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。④能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。⑤结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。①初步了解函数的概念,能正确分辨出常量与变量、自变量与因变量。②能够由实际问题背景或表达式求出函数自变量的取值范围，会求函数值。③结合实例，初步了解函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，能用适当的函数表示法描述某些实际问题中变量之间的关系。④能根据实际问题背景，刻画变量间的函数图象。知识点01函数的基本概念·变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。·函数一般地，设在一个变化过程中有两个变量ｘ、ｙ，如果对于ｘ在它允许取值范围内的每一个值，ｙ都有唯一确定的值与它对应，那么就说ｘ是自变量，ｙ是ｘ的函数．如果当ｘ＝ａ时，ｙ＝ｂ，那么ｂ叫做当自变量的值为ａ时的函数值．【即学即练1】（23-24七年级下·宁夏银川·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量之间有如下关系（其中）0123451010.51111.51212.5下列说法不正确的是（

）A．与都是变量，且是自变量，是因变量B．弹簧不挂重物时的长度为C．所挂物体质量每增加，弹簧长度增加D．所挂物体质量为时，弹簧长度为【即学即练2】（22-23七年级下·陕西西安·期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为．在上述变化中，自变量是（

）A．2 B．半径 C． D．周长【即学即练3】豌豆苗的呼吸作用强度受温度影响很大，观察下图，回答问题：(1)说明哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数．(2)温度在什么范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强？在什么范围内逐渐减弱？【即学即练4】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）声音在空气中传播的速度与气温有重要关系，下表列出了一组不同气温时的音速．气温05101520音速331334337340343(1)在这种变化中，音速随气温的变化而变化，是自变量，是因变量；(2)除夕之夜，气温是，小天看见烟花燃放后，才听到其声响，请估计小天离燃放烟花的地方有多远？注意：(1)常量与变量只与在某一个变化过程中的数值是否发生改变有关.(2)变量、常量与字母的指数没有关系，如y=100－2x2中，x、y是变量，而不能说x2是变量.知识点02表示函数的三种方法——列表法和解析法表示函数关系主要有下列三种方法：列表法、解析法、图象法．

·列表法

通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法．·解析法用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示两个变量间的函数关系，这种表示法叫做解析法。其中的等式叫做函数表达式（或函数解析式）．注意：在用表达式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使函数表达式有意义【即学即练5】（2023·安徽六安·二模）某登山队大本营所在地的气温为．海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则y与x的函数关系式为（

）A． B． C． D．【即学即练6】（22-23七年级下·安徽宿州·期中）某小卖部进了一批玩具，在进货价的基础上加一定的利润出售，其销售数量个与售价元之间的关系如下表：销售数量个

售价元

下列用表示的关系式中，正确的是（

）A． B． C． D．【即学即练7】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）函数中的自变量的取值范围是(

)A． B． C．且 D．且知识点03表示函数的三种方法——图象法·图象法一般地，对于一个函数，如果把自变量ｘ与函数值ｙ的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．用图象来表示两个变量间的函数关系的方法，叫做图象法．

·由函数解析式画其图像的一般步骤：①列表：列表给出自变量与函数的一些对应值②描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点③连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。注意：(1)函数的图象是由一些点组成的,在描点的时候应尽可能地多选几个点，使图象更准确；(2)在画图象时,应考虑自变量的取值范围.【即学即练8】下列图象中，表示是的函数的是（

）A．B．C．D．【即学即练9】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）甲、乙两人同时从A地到B地，甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行．已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，则甲、乙两人所行的路与所用时间的关系图正确的是（实线表示甲，虚线表示乙）（）A．B．C． D．【即学即练10】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）甲、乙两位同学骑自行车，从各自家出发上学，他们离乙家的距离与出发时间之间的函数关系如图所示，则乙比甲早到几分钟．（

）A．2 B．4 C．6 D．8【即学即练11】（22-23八年级上·安徽蚌埠·期中）已知等腰三角形周长为，若底边长为（），一腰长为x（）．(1)写出y与x的函数关系式；(2)求自变量x的取值范围；(3)画出这个函数的图像．·判断两个变量是否具有函数关系，只需看它是否符合定义中的“三要素”即可，但要注意两点：（1）对于自变量x取不同的数值，与之对应的y的值不一定不同，只要有唯一值与之对应即可.（2）不能只看是否有关系式存在，有些函数关系是没有关系式的(如心电图中的时间与生物电流的关系).·自变量的取值范围（1）定义：使函数有意义的自变量取值的全体实数叫做自变量的取值范围.（2）确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义.注意：自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数.例：①y＝3x＋7：x取全体实数；②y＝x+2x：x≥-2；③y＝2x-总结：常见函数自变量的取值范围的确定·求函数值的一般步骤：1.明确自变量的取值；2.将自变量的取值代入函数表达式；3.按照函数表达式指明的运算顺序进行计算.【题型一：根据实际问题列函数关系式】例1．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（

）A． B． C． D．变式1-1．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为．(1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围；(2)当时，求此时两正方形的面积和S．变式1-2.（22-23八年级下·安徽宿州·期中）某电影院第一排有18个座位，第二排有21个座位，第三排有24个座位，第四排有27个座位，．．．．．．每一排都比前一排多3个座位，依此类推，则第n排的座位数m=．(不需要注明取值范围)【方法技巧与总结】①确定变量，找准变量之间的关系，列出函数关系；②根据实际问题表示出自变量的范围。·求几何问题的函数表达式，实质上是建立几何中两个变量之间的数量关系，要熟悉一些常用的几何关系式.如：圆的周长与半径的关系式，立方体的体积与棱长的关系式等.·确定自变量的取值范围时，一方面要考虑使函数表达式有意义，另一方面还要注意使几何问题有意义.【题型二：注水问题——体积作为因变量的函数图象】例2．（2024·北京门头沟·二模）如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系的是（

）A．B．C． D．变式2-1．（22-23七年级下·安徽宿州·期中）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

例3.（23-24八年级上·安徽安庆·期末）水池有个进水口，个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天点到点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列判断：点到点，打开两个进水口，关闭出水口；点到点，同时关闭两个进水口和一个出水口；点到点，关闭两个进水点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是（）A． B． C． D．【方法技巧与总结】长方体、正方体、圆柱容器：底面积不变，水面上升高度h与注水时间t之间的函数图象是直线。②圆台、圆锥：上窄下宽，随高度的增加上底面越来越小，水面上升高度h与注水时间t之间的函数图象是先缓后陡的曲线；液面高度越高时，体积的变化越小，容器内水的体积V与水面上升高度h之间的函数图象是先陡后缓的曲线。【题型三：列表-描点-连线画函数图象】例4．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题．①列表；②描点；③连线x…0123456…y…432101m34…(1)表格中：______；(2)在平面直角坐标系中，画出该函数图像；

变式4．（22-23七年级上·安徽宿州·期中）某同学根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整∶(1)填表x……y……(2)根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数的图像．【方法技巧与总结】·由函数解析式画其图像的一般步骤：①列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边取值，取值要有代表性，使画出的函数图象能反映出函数的全貌.②描点体现了“数”与“形”的联系，是数形结合思想的体现，描点时要以表中每对对应值为坐标，点描得越多，图象就越精确.③连线时要用平滑的曲线将所描的点依次连接.·注意：①当纵轴和横轴表示的是不同意义的量，两轴可以取不同的单位长度；②自变量的取值要符合实际意义.【题型四：根据函数图象获取信息】例5．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人在终点休息．已知甲先出发6分钟，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为5940米；③甲走完全程用了78分钟；④乙步行的速度为90米/分钟；⑤图中m的值为36．则以上结论一定正确的是（

）A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤变式5-1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（）

A．A，B两村相距 B．出发后两人相遇C．甲每小时比乙多骑行 D．相遇后两人又骑行了，此时两人相距变式5-2．中国无人机研发技术后来居上，世界领先，如图所示为某无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的函数关系图，上升和下降过程中速度都相同，根据所提供的图象信息解答下列的问题：(1)无人机在75米高的上空停留的时间是_________分钟．(2)在上升或下降过程中，无人机的速度为_________米/分钟．(3)图中a表示的数是_________，b表示的数是_________．例6.（22-23七年级下·安徽宿州·期末）在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的图象分别为线段和折线，下列说法正确的是（）A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大C．在起跑后90秒时，两人相遇 D．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面变式6-1.（2024·安徽合肥·一模）如图为甲、乙两种物质的图象．下列说法正确的是（

）

A．甲物质的密度与质量成正比 B．体积为的甲物质的质量为C．甲物质的密度比乙的密度小 D．甲、乙质量相同时，乙的体积是甲的倍变式6-2．一辆快递车和一辆客车同时从甲地开往乙地，快递车先以的速度行驶了一段时间，中途车辆出现故障维修了．再以的速度到达乙地，客车始终以同一速度行驶，结果还比快递车迟到10分钟．两车距离甲地的路程与时间的关系如图，请结合图像，解答下列问题：

(1)客车的行驶速度是，；(2)求两车在途中第二次相遇时，距甲地的距离．【方法技巧与总结】·根据距离出发地的距离与时间的s-t函数图象提取信息：①看起点（y轴交点）、终点（x轴交点）：初始距离和最后距离②看拐点（转折点）：表示改变速度的状态（停止运动、降速、提速、开始返程）③看交点：表示相遇④水平直线：速度为0·根据两车的距离与时间的s-t函数图象提取信息：从同向而行（相遇问题）和相向而行（追击问题）两种情况进行分析【题型五：动点问题的函数图象】例7.如图，边长为4的正方形的边上一动点，沿的路径匀速移动，设点经过的路径长为，的面积是，则下列关于变量与变量的关系图象正确的是（

）A．B．C．D．变式7.（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知在中，，点沿自向运动，作于，于，则的值与的长之间的函数图象大致是（）A．B．C． D．例8．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图1，在长方形中，，E是边上一点，且，点P从点B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．点P的运动速度为，运动时间为，的面积为，y与t的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误的是（

）

A． B．C． D．当时，变式8-1．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图1，在长方形中，点E是上一点，点P从点A出发，沿着运动，到点E停止，运动速度为，三角形的面积为，点P的运动时间为，y与x之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）．（1）长方形的宽的长为cm；（2）当点P运动到点E时，，则m的值为．变式8-2．（22-23七年级下·安徽宿州·期中）如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点D停止．已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为若S与t之间关系的图象如图2所示，则长方形的周长为（

）

A． B． C． D．【方法技巧与总结】①根据动点在图形的各边上的运用状态进行分类讨论：确定分段的函数图象；②表示出长方形、三角形的周长或面积公式；③根据公式进行计算确定函数图象。一、选择题1．（21-22七年级下·广东深圳·期中）某汽车油箱存油量（Q）与汽车工作时间（t）的关系如表，下列说法不正确的是（

）时间t（分）0102030405060…存油量Q（升）20191817161514…A．油箱中原存油20升 B．汽车每分钟耗油0.1升C．汽车工作2小时，油箱中存油8升 D．油箱中的油只可供汽车工作3小时2．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）如图表，李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（

）300.00金额44.248数量/升6.78单价/元A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量3．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（

）A． B．C． D．4．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）在烧开水时，水温达到水就会沸腾．下表是小红同学做“观察水的沸腾”试验时所记录的时间和水温的数据：时间02468101214…温度3044587286100100100…在水烧开之前（即），水温与时间之间的关系式为（

）A． B． C． D．5．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（

）A．B．C．D．6.（22-23八年级上·安徽亳州·期中）已知一个长方形的周长50cm，相邻两边分别为，，则它们的关系为是（

）A． B．C． D．7．（2023·安徽滁州·模拟预测）下列各幅图象中，可以大致反映成熟的苹果从树上掉下来时，速度随时间变化情况的是（

）A．

B．

C．D．8．（2024·安徽合肥·一模）小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空题9．一个长方体的底面是边长为的正方形，当高为时，体积为，则与的关系式是．10．某市出租车的收费标准是起步价10元行程小于或等于3千米，超过3千米每增加1千米不足1千米按1千米计算加收2元，则出租车费元与行程千米之间的关系式为．11．函数的自变量的取值范围是．12．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图①，在长方形中，动点E从点B出发，沿的方向运动至点C停止．设点E的运动路程为m，三角形的面积为S，若S与m的关系如图②所示，则a的值为．

13．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中，小敏离家的路程（米）和所经过的时间（分）之间的函数图象如图所示．下列结论：①小敏在超市逗留了30分钟；②小敏家距离超市3000米；③小敏去超市途中的速度是300米/分钟；④小敏8点50分返回到家．以上结论中正确的是（填序号）．三、解答题14．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．

(1)观察图形，填写下表：链条节数（节234链条长度(2)请你写出y与x之间的关系式；(3)如果一辆自行车上安装的链条共有60节，那么链条的总长度是多少？15．如图是一辆自行车在内的速度随时间变化的图象，请你根据图象信息填空：

(1)自行车在中途休息的时间为________；(2)自行车第二次减速行驶的时间段为________；(3)求自行车在第期间行驶的距离．16．（22-23七年级下·安徽宿州·期中）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人）与每月利润（利润=收入费用-支出费用）（元）的变化关系如下表表示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：乘车人数（人）50010001500200025003000——每月利润（元）010002000——(1)在这个变化过程中，______________是自变量，______________是因变量；(2)观察表格中数据可知，每月乘客量达到______________人以上时，该公交车才不会亏损；(3)请写出y与x之间的关系式，并计算当每月乘车人数为3500时，每月利润为多少元？(4)若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需