2025-2026学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）的相反数是（）A．42 B． C．﹣42 D．2．（4分）下列图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（4分）下列调查方式，你认为最合适的是（）A．调查一批冬枣的甜度情况，采用全面调查 B．调查一批小米汽车电池的使用寿命，采用全面调查 C．调查全市观众对电影《浪浪山小妖怪》的喜爱程度，采用抽样调查 D．调查歼﹣20战斗机的零部件质量，采用抽样调查4．（4分）如图，△ABC和△EDF是以点O为位似中心的位似图形，若OB：BD＝2：5，则△EOF的面积为（）A．6 B．8 C．9 D．255．（4分）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个★，第②个图中有5个★，第④个图中有13个★…按照这一规律，则第⑧个图中★的个数是（）A．52 B．53 C．68 D．696．（4分）如果四个点M1（﹣2，y1），M2（﹣1，y2），M3（2，y3）和在反比例函数的图象上1，y2，y3之间的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y17．（4分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，且AB＝AO，与⊙O分别交于点C和点D，点E是优弧，连接CE，则∠DCE的度数为（）A．11.25° B．11.5° C．22.25° D．22.5°8．（4分）随着全民健身意识的提升，某景区登山步道成为热门打卡地．据统计，2023年该步道全年登山人数为20万人次，求此年平均增长率为（）A．10% B．14% C．20% D．22%9．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，以AB为斜边在右侧作Rt△AEB，在AD的延长线上取一点F，使得，EF交CD于点H，则的值为（）A． B． C． D．10．（4分）已知整式，其中n，an，an﹣1，⋯，a1，a0为正整数，满足an＞an﹣1＞⋯＞a1＞a0，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0≤13．下列说法：①当n＝1，a0＝5时，满足条件的整式M有且只有一个；②若n＝2且a0≥2，则满足条件的整式M的最高次项系数之和为20；③满足条件的整式M中，二次三项式有16个．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．11．（4分）投掷一枚质地均匀的骰子，落地后朝上的点数不超过4的概率为．12．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，BC与DF在同一条直线上，AC∥DE，若∠A＝55°．13．（4分）已知，则实数m的整数部分为．14．（4分）已知实数a，b是一元二次方程x2+3|x|﹣4＝0的两个根，其中a＜0，则b3+4b2﹣b的值为．15．（4分）如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝BC，点E为四边形ABCD对角线交点，过点C的切线与AB的延长线交于点F，若，则圆O半径为，AE＝．16．（4分）若一个四位自然数M满足各个数位上的数字均不为0，且能分解为A×B，其中A、B都是两位数，个位数字之和为8，则称这个数为“八乐数”．例如：四位数5475，73和75的十位数字相同，个位数字之和为8，最小的“八乐数”是．一个“八乐数”M＝A×B，将A放在B的左边组成一个新的四位数N，将其千位数字和百位数字交换位置，得到一个新数N′，记，，若5F（N）（N）+15除以17的余数为3，且为整数．三、解答题：本大题共9个小题，共86分．解答时必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．17．（8分）求不等式组：的所有整数解．18．（8分）小明在研究等腰直角三角形ABC的性质的时候，发现过顶点B作△ABC的角平分线BD，再作BD的垂直平分线可以构造菱形，完成以下作图和填空．（1）尺规作图：作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，交AB于点E，连接DE，DF．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：四边形EBFD是菱形，且．证明：∵EF垂直平分BD，∴①，BF＝DF，∠BOE＝∠BOF＝90°．∵BD平分∠ABC，∴②．在△EBO和△FBO中，，∴△EBO≌△FBO（ASA）．∴③，∴BE＝BF＝DE＝DF，∴四边形EBFD是菱形，∴DE∥BC，BE∥DF，∴∠ADE＝④，∠FDC＝∠A，∴△AED∽△DFC．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝45°，∴∠FDC＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴，∴．19．（10分）为传承非遗文化，学校举办“传统剪纸”技艺大赛，从七、八年级学生中各随机抽取40名学生的比赛成绩（成绩为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，分四组：A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.60≤x＜70）七年级40名学生剪纸成绩在B组数据为81，82，82，84，85，86，87，88，89八年级40名学生成绩：61，64，66，70，71，73，73，75，75，77，78，78，78，82，83，84，85，87，88，89，90，92，92，94，95，96，97七、八年级所抽取学生成绩统计表年级七年级八年级平均数81.8581.85中位数a82.5众数73b根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝，b＝，m＝；（2）结合以上数据，你认为哪个年级的比赛成绩更好？请说明理由（写一条理由即可）；（3）该校七年级有880人，八年级有760人，估计两个年级成绩不低于90分的学生总人数是多少？20．（10分）先化简，再求值：，其中x＝2﹣1+cos60°．21．（10分）某宠物用品店计划购进狗粮和猫粮两种主食，满足顾客喂养需要，已知购进2袋狗粮和3袋猫粮的总费用为310元（1）求每袋狗粮和每袋猫粮的进价分别是多少元？（2）该店优化采购渠道后，狗粮的进价每袋降低了m元（m＞0），猫粮的进价每袋降低了，求m的值．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，动点P以每秒1个单位长度从点B出发，沿着B﹣A﹣D运动，同时，动点Q以每秒，沿D﹣B运动，P、Q两点同时停止运动．记△PBD的面积为y1；点F为直线CD上的动点，满足S△DFQ＝2.5，点F到BD的距离记为y2，设点P的运动时间为x秒（0＜x＜7）．（1）请直接写出y1，y2关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）结合函数图象，请直接写出当y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．23．（10分）如图，港口C在货物集散地B的南偏东60度方向的20海里处，在货物集散地D的南偏西75度方向上，小镇A位于D的西北方向，且在B的北偏东60度方向上．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）（1）求BD的距离（结果保留小数点后一位）；（2）现在，货船都停靠在港口C，其中货船甲要将集散地B的货物运往小镇A，已知货船甲的速度是22海里每小时，货船乙的速度是25海里每小时，不计装货时间，请问哪艘货船先到达小镇A（结果保留小数点后两位）？24．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式y＝ax2+bx+3（a≠0）分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC交直线AC于点D，PE∥y轴交直线AC于点E．点M、点N是直线BC上的动点，当△PDE周长最大时，求P的坐标及|OM﹣PN|的最大值；（3）如图2，在第（2）问的条件下个单位长度得到抛物线y′，将点C向下平移一个单位长度得到点F，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出其中一个情况的求解过程．25．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是CB延长线上一点，E是线段AB上一动点，连接DE，交DE于点H．（1）如图1，过点C作CK⊥DE于点K，交AB于点G；（2）在（1）的条件下，如图2，连接MD，若∠MDC+45°＝∠ACF，试猜想线段EG、DM、CH之间的数量关系，并证明；（3）如图3，连接CE，将△CEB关于CE对称得到△CEP，以AP为斜边在AP左侧作等腰Rt△AQP，连接FQ，若，当FQ最小时，直接写出△FQC的面积．

2025-2026学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案B．DCCBAACDB一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）的相反数是（）A．42 B． C．﹣42 D．【解答】解：的相反数是．故选：B．2．（4分）下列图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A，B，C不是轴对称图形，故选：D．3．（4分）下列调查方式，你认为最合适的是（）A．调查一批冬枣的甜度情况，采用全面调查 B．调查一批小米汽车电池的使用寿命，采用全面调查 C．调查全市观众对电影《浪浪山小妖怪》的喜爱程度，采用抽样调查 D．调查歼﹣20战斗机的零部件质量，采用抽样调查【解答】解：A、选项事件具有破坏性，不符合题意；B、选项事件具有破坏性，不符合题意；C、选项事件全面调查困难，符合题意；D、选项事件必须全面检查以确保安全．故选：C．4．（4分）如图，△ABC和△EDF是以点O为位似中心的位似图形，若OB：BD＝2：5，则△EOF的面积为（）A．6 B．8 C．9 D．25【解答】解：∵OB：BD＝2：5，∴，∵BD＝OB+OD，∴，5OB＝2（OB+OD），5OB＝2OB+2OD，2OB＝2OD，，∵△ABC和△EDF是以点O为位似中心的位似图形，∴△AOC∽△EOF，∴．∵△AOC的面积为8，∴△DOF的面积为9．故选：C．5．（4分）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个★，第②个图中有5个★，第④个图中有13个★…按照这一规律，则第⑧个图中★的个数是（）A．52 B．53 C．68 D．69【解答】解：设第n个图中★的个数为an，则：．因此，．将n＝7代入：，则第⑧个图中★的个数是53，故选：B．6．（4分）如果四个点M1（﹣2，y1），M2（﹣1，y2），M3（2，y3）和在反比例函数的图象上1，y2，y3之间的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1【解答】解：四个点M1（﹣2，y7），M2（﹣1，y3），M3（2，y4）和在反比例函数，∴k＝m2+4≥1＞0．对于点M4（﹣2，y1）：，对于点M2（﹣1，y7）：，对于点M3（2，y3）：．∵k＞0，∴，即y2＜y1＜6，∴y2＜y1＜y4．故答案为：A．7．（4分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，且AB＝AO，与⊙O分别交于点C和点D，点E是优弧，连接CE，则∠DCE的度数为（）A．11.25° B．11.5° C．22.25° D．22.5°【解答】解：如图，直线AB与⊙O相切于点A，连接OE，∴∠BAO＝90°，AB⊥AO，∵∠BAO+∠AOB+∠ABO＝180°，∴，∵点E为优弧的中点，∴，∴，∵OC＝OE，∴．故选：A．8．（4分）随着全民健身意识的提升，某景区登山步道成为热门打卡地．据统计，2023年该步道全年登山人数为20万人次，求此年平均增长率为（）A．10% B．14% C．20% D．22%【解答】解：设年平均增长率为r，则根据题意列一元二次方程得，20×（1+r）2＝28.4，解得：r＝0.2或r＝﹣3.2（不符合题意，舍去），即年平均增长率为20%，故选：C．9．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，以AB为斜边在右侧作Rt△AEB，在AD的延长线上取一点F，使得，EF交CD于点H，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：过点E作EM⊥AD于点M，交BC于N，由题意得∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC，∴四边形AMNB为矩形，∴∠ENB＝90°，AB＝MN，∵∠AEB＝90°且，∴设AE＝2，BE＝4，则由勾股定理得AB＝5＝AD＝BC，∵∠AEB＝∠AME＝∠ENB＝90°，∴∠5＝∠2＝90°﹣∠3，∴△AME∽△ENB，∴，设AM＝3x，EM＝2y，BN＝4y∴由AB＝MN，AM＝BN得到，解得，∴，∴，∴，∴，∵，∴DF＝1，∴，∴，∵CD⊥AD，MN⊥AD，∴ME∥DH，∴△FDH∽△FME，∴，∴，∴，故选：D．10．（4分）已知整式，其中n，an，an﹣1，⋯，a1，a0为正整数，满足an＞an﹣1＞⋯＞a1＞a0，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0≤13．下列说法：①当n＝1，a0＝5时，满足条件的整式M有且只有一个；②若n＝2且a0≥2，则满足条件的整式M的最高次项系数之和为20；③满足条件的整式M中，二次三项式有16个．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由整式，其中n，an，an﹣3，⋯，a1，a0为正整数，满足an＞an﹣8＞⋯＞a1＞a0，且n+an+an﹣6+⋯+a1+a0≤13可得：当 n＝5，a0＝5 时，M＝a7x+5，条件为 a1＞5 且1+a1+2≤13⇒a1≤7，∴a7＝2 可取6，7，∴M有两个：6x+5，6x+5，故①错误；n＝2时，，条件为a2＞a8＞a0≥2，3+a2+a1+a6≤13，a2+a1+a5≤11， a0＝2，则 a6+a1≤9，且 a7≥3，a2≥4，满足条件的 （a2，a1，a3） 有：（4，3，5），3，2），6，2），4，5）最高次项系数2a2分别为 4，10，10 8+10+12+10＝40，故②错误；二次三项式即 n＝2，且 a5，a1，a2≥5，满足a2＞a1＞a7≥1，a2+a8+a0≤11．当 a0＝5 时，a2+a1≤10， a7＝2⇒a2＝7，⃯，8（6  a3＝3⇒a2＝2，5，6，4（4 a1＝2⇒a2＝5，7（2 共 6+8+2＝12 个；当 a0＝3 时，前面已得 4 个；a0≥8 时，a2+a1+a3≥12，不满足条件；∴二次三项式共有 12+4＝16 个，故③正确．故选：B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．11．（4分）投掷一枚质地均匀的骰子，落地后朝上的点数不超过4的概率为．【解答】解：∵投掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数一共有6种情况，且朝上的点数的6种情况是等可能性的，∴落地后朝上的点数不超过5的概率为，故答案为：．12．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，BC与DF在同一条直线上，AC∥DE，若∠A＝55°55°．【解答】解：∵AB∥EF，AC∥DE，∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF（两直线平行，∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB，∠E＝180°﹣∠F﹣∠EDF，∴∠E＝∠A＝55°，则∠E的度数为55°．故答案为：55°．13．（4分）已知，则实数m的整数部分为2．【解答】解：∵，，∴．由得，∴4＜m+2＜2，即2＜m＜3，∴，则m的整数部分为2．故答案为：2．14．（4分）已知实数a，b是一元二次方程x2+3|x|﹣4＝0的两个根，其中a＜0，则b3+4b2﹣b的值为4．【解答】解：当x≥0时，方程x2+2|x|﹣4＝0可变为方程x6+3x﹣4＝4，解得x＝1或x＝﹣4（舍去），∴x＝3；当x＜0时，方程x2+5|x|﹣4＝0可变为方程x8﹣3x﹣4＝3，解得x＝﹣1或x＝4（舍去），∴x＝﹣5，∵a＜0，∴a＝﹣1，b＝5，∴b3+4b5﹣b＝1+4﹣8＝4，故答案为：4．15．（4分）如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝BC，点E为四边形ABCD对角线交点，过点C的切线与AB的延长线交于点F，若，则圆O半径为，AE＝．【解答】解：如图，连接AO并延长交CD于点N，CO，过点O作OP⊥BC于点P，交DB延长线于点M，∵OP⊥BC，OB＝OC，∴，BP＝CP，∵，∴，∵FC⊥OC，∴∠BCF+∠BCO＝90°，∵OP⊥BC，∴∠COP+∠BCO＝90°，∴，∵AB＝BC，∴OB⊥AC，，∴∠BDA＝∠BDC，，∴，设，∵，∴，设PB＝PC＝x，则OP＝2x，，∵，∴，∴，∴，∴，∵CM∥AD，∴∠ADB＝∠M，△ADE∽△CME，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠M＝∠CDB，∴CM＝CD，∵AD＝AC，∴DN＝CN，AN⊥CD，∵∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝2α＝∠COB，∴，∴，得，∴，∵△ADE∽△CME，∴，即，即，解得：．故答案为：，．16．（4分）若一个四位自然数M满足各个数位上的数字均不为0，且能分解为A×B，其中A、B都是两位数，个位数字之和为8，则称这个数为“八乐数”．例如：四位数5475，73和75的十位数字相同，个位数字之和为8，最小的“八乐数”是1147．一个“八乐数”M＝A×B，将A放在B的左边组成一个新的四位数N，将其千位数字和百位数字交换位置，得到一个新数N′，记，，若5F（N）（N）+15除以17的余数为3，且为整数2912．【解答】解：第一部分：满足条件的最小的“八乐数”，设两位数十位数字为a，个位数字分别为b和c，b≠0，M＝（10a+b）（10a+c）＝100a2+10a（b+c）+bc＝100a5+80a+bc，M为四位数，故100a2+80a+bc≥1000∴a最小取3，当a＝4时，M＝1140+bc，故“八乐数”最小为1147．故答案为：1147；第二部分：满足条件的M，设A＝10a+b，B＝10a+c，b，c是1到9的整数，则M＝A×B＝（10a+b）（10a+c）＝100a2+80a+bc，其中bc＝b（8﹣b），N为A放在B左边组成的四位数：N＝100A+B＝1010a+100b+c，N′为N的千位与百位交换、十位与个位交换所得：N'＝1000b+101a+10c，，，∵5F（N）+3G（N）+15＝17k+3，代入得：5（101a+100b+c）+6（101a﹣100b﹣c）+15＝707a+300b+3c+15，∴707a+300b+3c+15＝17k+2，即707a+300b+3c+12＝17k，即707a+300b+3c+12能被17整除，A+B＝20a+7，∵为整数，∴5a+6能被3整除，当a＝3到7：a＝3：5a+7＝17，不能被3整除，a＝4：8a+2＝22不能被3整除，a＝2：5a+2＝27，27÷7＝9，a＝6：5a+2＝32，不能被3整除，a＝2：5a+2＝37，不能被7整除，a＝8：5a+8＝42，42÷3＝14，a＝9：4a+2＝47，不能被3整除，∴a＝4或a＝8．又b+c＝8，∴b，c为6到的整数，情况1：当a＝5时，707a+300b+5c+12＝3535+300b+3c+12＝3547+300b+3c，代入c＝8﹣b：3547+300b+3（8﹣b）＝3571+297b，3571÷17＝210余2，∴3571＝17×210+1，297÷17＝17余8，∴297＝17×17+5，则3571+297b＝17×210+1+（17×17+8）b＝17×（210+17b）+（3+8b），需要1+3b能被17整除．当b＝1到7时，b＝4：1+8＝7，不能被17整除，b＝2：1+16＝17，能被17整除，b＝2：1+24＝25，不能被17整除，b＝4：8+32＝33，不能被17整除，b＝5：1+40＝41，不能被17整除，b＝6：1+48＝49，不能被17整除，b＝7：7+56＝57，不能被17整除，∴b＝2．情况2：a＝4，707a+300b+3c+12＝5656+300b+3c+12＝5668+300b+6c，代入c＝8﹣b：5668+300b+24﹣3b＝5692+297b，5692÷17＝334余14，∴5692＝17×334+14，5692+297b＝17×334+14+（17×17+7）b＝17×（334+17b）+（14+8b），需要14+8b能被17整除，当b＝7到7：b＝1：14+3b＝22，不被17整除，b＝2：14+8b＝30，不被17整除，b＝7：14+8b＝38，不被17整除，b＝4：14+2b＝46，不被17整除，b＝5：14+8b＝54，不被17整除，b＝7：14+8b＝62，不被17整除，b＝7：14+4b＝70，不被17整除，综上所述a＝5，b＝2，∴A＝52，B＝56，∴A＝52，B＝56，故答案为：2912．三、解答题：本大题共9个小题，共86分．解答时必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．17．（8分）求不等式组：的所有整数解．【解答】解：解不等式①得，x＞﹣1，解不等式②得，x≤3，∴原不等式组的解集为﹣5＜x≤3，∴不等式组的所有整数解为 0，7，2，3．18．（8分）小明在研究等腰直角三角形ABC的性质的时候，发现过顶点B作△ABC的角平分线BD，再作BD的垂直平分线可以构造菱形，完成以下作图和填空．（1）尺规作图：作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，交AB于点E，连接DE，DF．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：四边形EBFD是菱形，且．证明：∵EF垂直平分BD，∴①BE＝DE，BF＝DF，∠BOE＝∠BOF＝90°．∵BD平分∠ABC，∴②∠EBO＝∠FBO．在△EBO和△FBO中，，∴△EBO≌△FBO（ASA）．∴③BE＝BF，∴BE＝BF＝DE＝DF，∴四边形EBFD是菱形，∴DE∥BC，BE∥DF，∴∠ADE＝④∠C，∠FDC＝∠A，∴△AED∽△DFC．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝45°，∴∠FDC＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴，∴．【解答】（1）解：分别以B，D为圆心为半径画四个圆弧，连接两个交点分别交AB、BC于点E、O、F、DF（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴①BE＝DE，BF＝DF，∵BD平分∠ABC，∴②∠EBO＝∠FBO（角平分线的性质），在△EBO和△FBO中，，∴△EBO≌△FBO（ASA），∴③BE＝BF（全等三角形对应边相等），∴BE＝BF＝DE＝DF，∴四边形EBFD是菱形，∴DE∥BC，BE∥DF（菱形的性质），∴∠ADE＝④∠C，∠FDC＝∠A（两直线平行，∴△AED∽△DFC，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，∴∠FDC＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴，所以，故答案为：①BE＝DE，②∠EBO＝∠FBO，④∠C．19．（10分）为传承非遗文化，学校举办“传统剪纸”技艺大赛，从七、八年级学生中各随机抽取40名学生的比赛成绩（成绩为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，分四组：A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.60≤x＜70）七年级40名学生剪纸成绩在B组数据为81，82，82，84，85，86，87，88，89八年级40名学生成绩：61，64，66，70，71，73，73，75，75，77，78，78，78，82，83，84，85，87，88，89，90，92，92，94，95，96，97七、八年级所抽取学生成绩统计表年级七年级八年级平均数81.8581.85中位数a82.5众数73b根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝82，b＝78，m＝35；（2）结合以上数据，你认为哪个年级的比赛成绩更好？请说明理由（写一条理由即可）该校八年级学生“传统剪纸”技艺大赛的成绩较好；（3）该校七年级有880人，八年级有760人，估计两个年级成绩不低于90分的学生总人数是多少？【解答】解：（1）七年级40名学生竞赛成绩在A组中的数据有40×25%＝10（人），在B组中的数据有12人，在D组中的数据有4人，∵七年级竞赛成绩的中位数a是数据从小到大排列后的第20和21个数据，且数据从小到大排列后的第20和21个数据是82，∴，∵八年级40名学生竞赛成绩中出现次数最多的是78，∴b＝78，∵七年级40名学生竞赛成绩在C组中的数据共14个，∴，∴m＝35，故答案为：82，78；（2）该校七年级学生“传统剪纸”技艺大赛的成绩较好，理由：因为该校七，但七年级“传统剪纸”技艺大赛的成绩的中位数82小于八年级“传统剪纸”技艺大赛的成绩的中位数82.5，故答案为：该校八年级学生“传统剪纸”技艺大赛的成绩较好；（3）（人），即估计该校七、八年级参加此次大赛成绩不低于90分的学生人数共是429人．20．（10分）先化简，再求值：，其中x＝2﹣1+cos60°．【解答】解：原式＝＝＝＝＝＝＝；∵，∴原式＝．21．（10分）某宠物用品店计划购进狗粮和猫粮两种主食，满足顾客喂养需要，已知购进2袋狗粮和3袋猫粮的总费用为310元（1）求每袋狗粮和每袋猫粮的进价分别是多少元？（2）该店优化采购渠道后，狗粮的进价每袋降低了m元（m＞0），猫粮的进价每袋降低了，求m的值．【解答】解：（1）设每袋狗粮和每袋猫粮的进价分别是x元和y元，由题意列二元一次方程得：，解得，答：每袋狗粮的进价为80元，每袋猫粮的进价为50元；（2）根据题意列分式方程得，，解得m＝20；经检验，m＝20是原方程的解，所以m＝20．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，动点P以每秒1个单位长度从点B出发，沿着B﹣A﹣D运动，同时，动点Q以每秒，沿D﹣B运动，P、Q两点同时停止运动．记△PBD的面积为y1；点F为直线CD上的动点，满足S△DFQ＝2.5，点F到BD的距离记为y2，设点P的运动时间为x秒（0＜x＜7）．（1）请直接写出y1，y2关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）结合函数图象，请直接写出当y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，∴BC＝AD＝4，∠A＝90°，∴，动点P以每秒1个单位长度从点B出发，沿着B﹣A﹣D运动，设点P的运动时间为x秒（0＜x＜2），当0＜x≤3时，BP＝x，∵记△PBD的面积为y2，∴＝＝＝＝2x；当3＜x＜8时，P在AD边上，AP＝x﹣AB＝x﹣3，∴＝＝＝，综上所述，，动点Q以每秒个单位长度从点D出发，设点P的运动时间为x秒，则，∵当点P到达点D时停止运动，动点Q以每秒，沿D﹣B运动，P，∴（秒），∴8＜x＜7，∵点F为直线CD上的动点，满足S△DFQ＝2.8，点F到BD的距离记为y2，∴，∴，即（0＜x＜7）．（2）如图，写出函数y4的一条性质：当x＝3时，达到最大值为y1＝3（答案不唯一）；（3）结合函数图象可知，当0＜x≤3时有交点，所以，解得：（舍去），，因为近似值保留小数点后一位，误差不超过0.6，所以x≈1.9，当8＜x＜7时有交点，所以，解得：，（舍去），所以，所以当y1＞y2时x的取值范围为5.9＜x＜6.7．23．（10分）如图，港口C在货物集散地B的南偏东60度方向的20海里处，在货物集散地D的南偏西75度方向上，小镇A位于D的西北方向，且在B的北偏东60度方向上．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）（1）求BD的距离（结果保留小数点后一位）；（2）现在，货船都停靠在港口C，其中货船甲要将集散地B的货物运往小镇A，已知货船甲的速度是22海里每小时，货船乙的速度是25海里每小时，不计装货时间，请问哪艘货船先到达小镇A（结果保留小数点后两位）？【解答】解：（1）过点C作CE⊥BD于点E．构造如图所示△CEG，解：作∠ECG＝60°．交BD于点G，BC＝20海里，在Rt△CBE中，，∴海里，，∴CE＝10，∵∠CED＝90°，∠EDG＝15°，∴∠ECG＝75°，∠GCD＝75°﹣60°＝15°，又∵∠GDC＝15°，∴CG＝DG，在Rt△CEG中，，∴CG＝20，，∴海里，∴DG＝20海里，∴BD＝BE+EG+GD，＝，＝，≈54.6（海里），∴BD的距离为54.6海里．（2）过点A作AF⊥BD于点F．由题意，∠ABF＝30°，设AF＝x海里，在Rt△ADF中，AF＝FD＝x海里，在△ABF中，，∴，∵BD＝BF+DF，∴，x＝20，∴AB＝40海里，海里，（h），由（1）得，（h），∵t乙＜t甲，∴货船乙先到达．24．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式y＝ax2+bx+3（a≠0）分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC交直线AC于点D，PE∥y轴交直线AC于点E．点M、点N是直线BC上的动点，当△PDE周长最大时，求P的坐标及|OM﹣PN|的最大值；（3）如图2，在第（2）问的条件下个单位长度得到抛物线y′，将点C向下平移一个单位长度得到点F，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出其中一个情况的求解过程．【解答】解：（1）抛物线函数解析式y＝ax2+bx+3（a≠6）分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），OA＝．当x＝0时，得：y＝3，∴C（3，3），∴OC＝3，∴tan∠OCB＝，解得：OB＝1，∴B（3，0），∵OA＝4，∴A（﹣4，0），将点A，点B的坐标分别代入y＝ax2+bx+5得L，解得：，∴二次函数的解析式为；（2）解：设直线AC的解析式为y＝kx+b1（k≠0），将点A，解得：，∴直线AC的解析式为，设直线BC的解析式为y＝k8x+b2（k1≠4），将点B，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∵A（﹣8，0），3），∴OA＝6，OC＝3，在直角三角形AOC中，由勾股定理得：，∴，，∵点P是直线AC上方抛物线上的一动点，∴设，∵PE∥y轴交直线AC于点E，∴，∠PED＝∠ACO，∴，∵点P作PD⊥AC交直线AC于点D，∴，，∴△PDE周长＝PE+PD+DE＝＝＝＝，∵，∴当m＝﹣8时，△PDE周长最大为，∴；如图4，将点P沿直线CB方向平移，连接P′M、OP′，∵直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴点P向右平移个单位长度个单位长度得到点P′，即，由平移的性质可得：PP'＝MN，PP′∥MN，∴四边形PP′MN为平行四边形，∴PN＝P′M，∵|OM﹣PN|＝|OM﹣P′M|≤OP′，∴|OM﹣PN|的最大值为；（3）所有符合条件的点Q的横坐标为或．理由如下：∵将点C向下平移一个单位长度得到点F，∴F（7，2），抛物线关于原点O对称的解析式为，∵将抛物线关于原点O对称后沿着射线BC方向平移个单位长度得到抛物线y′，∴将抛物线关于原点O对称后向左平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到y′，∴，∵∠PAO+∠OCB＝∠BCQ+∠PAF，∴∠PAF+∠FAO+∠OCB＝∠BCQ+∠PAF，∴∠BCQ＝∠FAO+∠OCB，∴如图5，当点Q在直线BC的左边时，此时∠BCQ＝∠OCQ+∠OCB，∴∠FAO＝∠OCQ，设，则QT＝﹣n，，∵，∴，解得：或（不符合题意；如图2，当点Q1在直线BC的右边