专题2.2 全称量词与存在量词（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

27/28专题2.2全称量词与存在量词教学目标理解全称量词与存在量词的意义；能正确对含有一个量词的命题进行否定.教学重难点重点：全称量词命题与存在量词命题的判断；对含有一个量词的命题进行否定.2．难点:(1)判断全称量词命题与存在量词命题的真假；(2)由全称量词命题与存在量词命题的真假求参.知识点01全称量词命题1.全称量词命题在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.2.全称量词在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”3.符号表示全称量词可用符号“”表示.通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用M表示.那么全称量词命题“对M中的任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为“”，读作“对任意的属于M,有p(x)成立”.【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来，如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”.【即学即练】1．下列不是全称量词的是()A．任意一个B．所有的C．每一个D．很多【答案】D【解析】A、B、C中的量词都表示“整体或全部”，都是全称量词，D中的量词“很多”并没有代表“全部），故不是全称量词.知识点02存在量词命题1.存在量词命题在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.2.存在量词在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”都表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词.【注意】常见的存在量词还有“至少有一个、“有”、“对某些”、“有的”等；3.符号表示存在量词可用符号“”表示.存在量词命题“存在M中的元素，使得成立”可用符号简记为“”，读作“存在M中的元素，使得成立”.【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.【即学即练】1.下列命题中存在量词命题的个数是()

①至少有一个偶数是质数；

②∃x∈R，x2>2025；

③有的矩形是正方形．

A．0B．1C.2D．3

【答案】D【解析】①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号“∃”，所以是存在量词命题；

③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．

知识点03全称量词命题、存在量词命题的否定1、命题的否定对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．2.全称量词命题的否定全称量词命题p:∀x∈M，p(x),它的否定:.全称量词命题的否定是存在量词命题.3.存在量词命题的否定存在量词命题p:∃x0∈M，p(x0)，它的否定:∀x∈M，,存在量词命题的否定是全称量词命题.4、命题与命题的否定的真假判断：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．5、常见正面词语的否定：正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n个否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个【即学即练】1.(2025河北衡水中学高三上周测)设命题“”，则为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为全称量词命题的否定是存在性命题，所以为，应选C.2．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）已知命题“，则为（

）A． B．A．【答案】C【解析】因为命题为“，所以命题为“”故选：C.题型01用量词符号改写命题【典例1】（24-25高一·全国·课后作业）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题．(1)所有实数都能使成立；(2)对所有实数，，方程恰有一个解；(3)存在整数，，使得成立；(4)存在实数，使得与的倒数之和等于1．【答案】见解析【解析】（1）“所有”是全称量词；，；（2）“所有”是全称量词；，，方程恰有一个解；（3）“存在”是存在量词；，，；（4）“存在”是存在量词；，．对于这一类题，将命题中的全称量词用符号“”替换，存在量词用符号“”替换即可.【变式1】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）用符号“”“”表示下列含有量词的命题．（1）实数的平方大于等于0；（2）存在实数对使成立．（3）至少有一个实数使不等式成立．（4）对所有正实数为正数，且．【答案】见解析【解析】（1）原命题可改为：；（2）原命题可改为：，，；（3）原命题可改为：,；（4）原命题可改为：，，且.题型02全称量词与存在量词命题的识别【典例1】（24-25高一·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（

）A．有些实数是无理数 B．至少有一个整数，使得是质数C．每个三角形的内角和都是 D．，使得【答案】C【分析】根据全称量词命题和存在命题的定义判断各选项即可.【解析】对于A，可将命题改写为：，使得为无理数，则命题为存在命题，A错误；对于B，可将命题改写为：，使得为质数，则命题为存在命题，B错误；对于C，可将命题改写为：中，，则命题为全称量词命题，C正确；对于D，命题包含存在量词，则其为存在命题，D错误.故选：C【典例2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题中的存在量词命题是（

）A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似【答案】C【分析】根据存在量词命题的定义求解即可.【解析】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误；对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误；对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确；对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误.故选：C.判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词与存在量词，要注意的是有些命题省略了量词，这时我们要根据命题的意义去判断.【变式1】（24-25高一上·湖南株洲·阶段练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数【答案】D【分析】根据存在量词与全称量词的定义即可得到答案.【解析】对A选项，任何是全称量词，故A错误；对B选项，省略了量词所有，是全称量词，故B错误；对C选项，省略了量词所有，是全称量词，故C错误；对D选项，存在是存在量词，故D正确；故选：D.【变式2】（2025高三上·广西·学业考试）下列命题中，含有存在量词的是（

）A．存在一个直角三角形三边长均为整数 B．所有偶函数图象关于y轴对称C．任何梯形都不是平行四边形 D．任意两个等边三角形都相似【答案】A【分析】根据存在量词的含义判断即可.【解析】“存在”、“有一些”、“某些”等等，这些叫做存在量词.故选：A.【变式3】（多选）（24-25高一上·河北秦皇岛·阶段练习）下列语句是全称量词命题的是（

）A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章【答案】ABD【分析】由全称量词命题的定义，全称量词命题为含有全称量词的命题，由此对四个选项进行分析，即可得到答案．【解析】命题“任意一个实数乘以零都等于零”，含有全称量词，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的素数都是奇数，含有全称量词，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一()班存在部分同学是团员，不含全称量词，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：所有已经发生的事，都是过去的事，含全称量词，故D是全称量词命题．故选：ABD.题型03全称量词命题真假判断【题型】（2025高一·全国·课后作业）下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（

）A． B．菱形的两条对角线相等C． D．一次函数的图象是直线【答案】D【分析】根据全称量词命题的特征,以及真命题即可结合选项求解.【解析】对于A，为全称量词命题，但是，故是假命题，故A错误，对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误，对于C,是存在量词命题,故C错误，对于D,既是全称量词命题也是真命题,故D正确，故选：D要判定全称量词命题“对于任意的成立”是真命题，需对集合的每个元素，证明成立；如果在集合中找到一个元素使得不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．【变式1】下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是（） A．菱形的四条边都相等 B．，使为偶数 C． D．是无理数【答案】A【解析】对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题.对于B，，使为偶数，是存在量词命题.对于C，，是全称量词命题，当时，，故是假命题.对于D，是无理数，是真命题，但不是全称量词命题，故选：A.【变式2】（24-25•高一上·开封月考）下列是全称量词命题且是真命题的为（）A．∀x∈R，x2＞0 B．∀x、y∈Q，都有x+y∈Q C．∃x0∈Z， D．∀x，y∈R，|x|+|y|＞0【答案】B【解答】解：当x＝0时，x2＝0，故A错误，当x＝y＝0时，|x|+|y|＝0，故D错误，C为存在量词命题，故C错误，而∀x、y∈Q，都有x+y∈Q，即B为全称量词命题，且为真命题，故选：B．题型04存在量词命题真假判断【典例】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）下列命题中是存在量词命题且为假命题的是（）A．， B．所有的正方形都是矩形C．， D．，使【答案】C【分析】根据各选项命题的描述判断是否为存在量词命题及其真假即可.【解析】A：命题为存在量词命题，当时，，故为真命题；B：命题为全称量词命题，不是存在量词命题；C：命题为存在量词命题，，，故为假命题；D：命题为存在量词命题，当时，，故为真命题.故选：C要判定存在量词命题“存在使得p(x0)成立”是真命题，只要在限定集合中找到一个元素使得p(x0)成立即可;如果在集合M中，使得p(x0)成立的都不存在，那么这个存在量词命题是假命题.【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列存在量词命题为假命题的是（

）A．存在，使 B．存在，使C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数【答案】B【解析】A，C，D均正确；B中，对于任意的恒成立．【变式2】（23-24高一上·广东茂名·期末）下列既是存在量词命题又是真命题的是（

）A．B．C．至少有一个，使x能同时被3和5整除D．每个平行四边形都是中心对称图形【答案】BC【分析】根据存在量词命题的定义及真命题的判定即可依次判断各选项.【解析】对于A，因为所有实数的绝对值非负，即，所以A是假命题；对于B，当时，满足，所以B是真命题；对于C，15能同时被3和5整除，所以C是真命题；对于D，是全称量词命题，所以不符合题意．故选：BC．题型05由全称量词命题的真假求参【典例】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】由其否定为真命题，通过求解即可；【解析】因为命题是假命题，可得：为真命题；可得：，解得：，故选：A全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，这是一类综合性强，且有一定难度的问题，解决这类问题时，若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解.【变式1】（24-25高一上·云南曲靖·期中）若命题“时，”是假命题，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】写出全称量词命题的否定，故，设，由单调性求出，从而.【解析】若命题“时，”是假命题，则命题“时，”是真命题，则，设，则画图易知（图略），当时，所以.故选：D【变式2】（24-25高一下·湖北·开学考试）若命题“，”是假命题，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知命题写出它的否定即为真命题，求得即可.【解析】因为命题“，”是假命题，则，”是真命题，则当时，，故选：C.题型06由存在量词命题的真假求参【典例】（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据“，使得”是真命题，即可求解最值得解.【解析】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题，故，则，故选：A存在量词命题的常见题型是以满足某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句来表述，解答此类题目，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明.若推出合理的结论，则存在性得以解决；若导致矛盾，则否定了存在性.【变式1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）若命题时，是真命题，则的取值范围【答案】【分析】由题意知，命题的否定为真命题，再分离参数利用基本不等式求得的取值范围.【解析】命题时，是真命题，则，由于，即，所以的取值范围为.【变式2】（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解.【解析】由题，为真命题，所以，对，又在上的最小值为，，所以实数的取值范围为.故答案为：.题型07全称量词命题的否定【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由命题的否定求解即可.【解析】命题“”的否定是“”.故选：B.全称量词命题的否定是存在量词命题，因此否定一个全称量词命题时，要把全称量词换成存在量词，再否定命题的结论即可.【变式1】（24-25高二下·云南·阶段练习）命题，的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根据全称量词命题的否定是存在命题即可得到答案．【解析】，的否定是，，故选：A．【变式2】（2025·贵州黔东南·三模）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解.【解析】由全称量词命题的否定可知，命题的否定是，故选：D题型08存在量词命题的否定【典例】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）命题“，”的否定是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】根据存在性命题的否定求解.【解析】由存在性命题的否定知，，的否定是，.故选：C存在量词命题的否定是全称量词命题，因此否定一个存在量词命题时，要把存在量词改为全称量词，再否定命题的结论即可.【变式1】（24-25高二下·宁夏石嘴山·期中）若命题，则命题p的否定为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，即可求解．【解析】命题p的否定为，故选：C．【变式2】（24-25高二下·河北·期中）“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由命题的否定的定义即可得解.【解析】“，”的否定是“，”．故选：C.题型09全称量词命题与存在量词命题否定的真假【典例】（24-25高一·全国·课后作业）写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；(2)q：存在实数a，b，使得|a－1|＋|b＋2|＝0；(3)r:.【答案】见解析【解析】(1)p的否定：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4＞0恒成立，故p的否定为假命题．(2)q的否定：对于任意的实数a，b，有|a－1|＋|b＋2|≠0，当a＝1，b＝－2时，|a－1|＋|b＋2|＝0．故q的否定为假命题．(3)r的否定:这里由于恒成立，即命题p是真命题,所以p的否定是假命题.判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题否定的关键.(2)当命题否定的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假.当原命题为真时，命题的否定为假;当原命题为假时，命题的否定为真.【变式】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）写出这些命题的否定，并判断其否定命题的真假：(1)与3的和不等于0；(2)三角形的三个内角都为；(3)存在一个实数，使.【答案】(1)，假命题(2)存在一个三角形的三个内角不都为，真命题(3)，，假命题【分析】（1）（2）由全称量词命题的否定为存在量词命题即可写出其否定，并直接判断真假；（3）由存在量词命题的否定为全称量词命题即可写出其否定，并直接判断真假.【解析】（1），假命题.（2）存在一个三角形的三个内角不都为，真命题.（3），，假命题.题型10全称量词命题与存在量词命题的否定的应用【典例】已知：，，：，．（1）写出命题的否定；命题的否定；（2）若和至少有一个为真命题，求实数的取值范围．【答案】（1）：，；：，；（2）.【解析】（1）：，；：，．（2）由题意知，真或真，当真时，，当真时，，解得，因此，当真或真时，或，即．【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”的否定为假命题，试求实数a的取值范围．【答案】【分析】先判断原命题的真假，根据二次函数的在区间上存在着使函数值大于零的，列出不等式求解出参数的范围即可.【解析】由题意知，命题p为真命题，即在上有解，令，所以，又因为最大值在或时取到，∴只需或时，即可，∴或，解得或，即．故实数a的取值范围为．【变式2】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知命题，，命题，.(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；(2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）依题意命题为真命题，即在时恒成立，可求实数的取值范围；（2）由为真命题的条件求的范围，结合为真命题时的范围，可求实数的取值范围.【解析】（1）命题为假命题，则命题为真命题，即在时恒成立，所以，即实数的取值范围是.（2）命题，，为真命题，则，解得，又由（1）可知，命题为真命题时，，所以命题和均为真命题，实数的取值范围为.题型10含有量词的命题与集合的综合【典例】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合．(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据是真命题，转化为，根据集合间的关系转换不等式组进行判断即可；（2）将充分不必要条件转化为真子集关系，列不等式组可求实数的取值范围．【解析】（1）由集合可解得：，则，，故，由是真命题，则，当时，只有，故，因此当时，故的取值范围为，（2）“”是“”的充分不必要条件，得是的真子集，得：（等号不同时成立），解得：，故的取值范围为，【变式1】（24-25高一上·重庆·期中）已知命题，当命题为假命题时，实数的取值集合为.(1)求集合；(2)设非空集合，若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）写出，再由，即可求出集合；（2）由子集的包含关系列不等式组，即可求出实数的取值范围.【解析】（1）解：为真，所以，所以，即集合（2）因为集合非空，所以因为，所以所以.所以实数的取值范围为.【变式2】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合．(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据是真命题，转化为，根据集合间的关系转换不等式组进行判断即可；（2）将充分不必要条件转化为真子集关系，列不等式组可求实数的取值范围．【解析】（1）由集合可解得：，则，，故，由是真命题，则，当时，只有，故，因此当时，故的取值范围为，（2）“”是“”的充分不必要条件，得是的真子集，得：（等号不同时成立），解得：，故的取值范围为.单选题1.（2025高二下·湖南·学业考试）下列命题中，是存在量词命题的是（

）A．正方形的四条边相等B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形C．正数的平方根不等于0D．至少有一个正整数是偶数【答案】D【分析】根据存在量词命题的定义即可得出答案．【解析】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题，ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题.故选：D2.（2025·云南·模拟预测）命题“”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据题意，由全称量词命题的否定是存在量词命题即可得到结果.【解析】命题“”的否定是“，”.故选：B.3.（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，命题是奇数，则（

）A．是奇数．是假命题B．是奇数．是真命题C．是奇数．是真命题D．是奇数．是假命题【答案】A【解析】因为，且1是奇数，所以A正确．4．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）十七世纪，数学家费马提出了猜想：“对任意正整数，关于，，的方程没有正整数解”.1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理.则费马大定理的否定为（

）A．对任意正整数，关于，，的方程都没有正整数解B．存在正整数，关于，，的方程至多存在一组正整数解C．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解D．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解【答案】D【分析】由全称量词命题的否定的定义即可得解.【解析】“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”的否定为：存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解.故选：D.5.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【答案】B【分析】判断出、的真假，即可得出结论.【解析】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题，对于命题，由可得或，则命题为真命题，因此，和都是真命题.故选：B.6.（24-25高二下·浙江温州·期中）已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（

）A．和都是真命题B．和都是真命题C．和都是真命题D．和都是真命题【答案】D【分析】通过举特例可判断命题正误，推理判断命题的正误，结合命题否定含义可得答案.【解析】对于命题，若是无理数，但是是有理数，所以命题是假命题，则是真命题；对于命题由，因为和是两个连续的整数，则必是偶数，故命题是假命题，则为真命题.故选：D.7.（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由得到，再逐项判断即可.【解析】由，可得，所以错误，错误，错误，，即，正确.故选：D.8.（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故.多选题9.（25-26高一上·全国·课后作业）下列是全称量词命题的否定的有（

）A．存在一个能被2整除的整数不是偶数B．存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上C．存在实数不是方程的根D．没有一个平行四边形是菱形【答案】ABC【解析】对于A，“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的整数不是偶数”，故A是；对于B，“每一个三角形的三个顶点在同一个圆上”的否定是“存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上”，故B是；对于C，“任何实数都是方程的根”的否定是“存在实数不是方程的根”，故C是；对于D，“有些平行四边形是菱形”的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形，是存在量词命题的否定，故D不是．10．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（

）A．B．若是空集，则A与B均是空集C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件D．，使得为奇数【答案】AB【分析】分类讨论即可判断A；根据空集和交集的定义即可判断B；根据充分条件和必要条件的判定即可判断C；根据表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，即可判断D．【解析】对于A，当时，成立；当时，成立；当时，成立；故A正确；对于B，根据空集与交集的定义，若是空集，则A与B均是空集，故B正确；对于C，若是一元二次方程的一个根，则；若，则是一元二次方程的一个根，所以是q的充要条件，故C错误；对于D，因为时，表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，其乘积必为偶数，故不存在，使得为奇数，故D错误.故选：AB．11．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列四个结论正确的是（

）A．若，则或B．命题“”的否定是“”C．“”是“”的必要不充分条件D．“是关于的方程有一正一负根的充要条件”【答案】AD【分析】根据并集的定义即可求解A，根据存在性命题的否定为全称量词命题即可求解B，根据绝对值的性质即可求解C，根据一元二次方程根的情况，即可求解D.【解析】对于A：或若，则或，A正确对于B：的否定是，B错误对于C：若，则一定成立反之，若，则或“”是“”的充分不必要条件,故C错误，对于D：对于方程有一正一负根，其判别式，两根之积为，解得反之，当时，，两根之积，方程有一正一负根“是关于的方程有一正一负根的充要条件”，D正确故选：AD三、填空题12．（25-26高一上·全国·课后作业）观察下列等式：…………写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题：.【答案】对于任意的正整数n，必有成立【解析】对于任意的正整数n，必有成立.13．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）若命题时，是假命题，则的取值范围【答案】【分析】由题意知，命题的否定为真命题，再分离参数利用基本不等式求得的取值范围.【解析】若命题时，是假命题，则命题时，是真命题，则，由于，即，所以的取值范围为.14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为；若p为假命题，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】若p为假命题，则其否定命题“”为真命题.当时，集合，符合；当时，因为，所以由，得对于任意恒成立，所以，则.综上，当p为假命题时，.四、解答题15．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)；(2)；(3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形．(4)，(5)【答案】(1)，假(2)，假(3)任意直角三角形都是等腰三角形，假(4)，假(5)，假【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的否定的方法写出否定，再结合命题判断其真假．【解析】（1）全称量词命题的否定是存在量词命题，因此的否定是：，由平方的定义知任意实数的平方都是非负数，因此原命题的否定是假命题；（2）全称量词命题的否定是存在量词命题，的否定是：，事实上，当时，都有，因此原命题的否定是假命题；（3）至少有一个的反面是至多有0个，即没有一个，因此“有一个直角三角形不是等腰三角形”的否定是：没有直角三角形不是等腰三角形，即任