专题512弧度制（高效培优讲义）

专题5.1.2弧度制教学目标1.理解弧度制的定义，能区分弧度与角度的本质差异（角度是“量”，弧度是“比”，无实际单位）；3.能运用弧度制表示弧长公式与扇形面积公式：推导并掌握两个公式，能结合公式解决弧长、扇形面积计算问题.教学重难点1.重点：（1）弧度制的定义理解：核心是“1弧度角”的几何意义——必须紧扣“弧长=半径”这一关键条件，能结合圆的图形直观识别1弧度角的大小，避免将“弧度”等同于“角度”的单位.（2）角度与弧度的互化：重点掌握“特殊角的互化”，能快速准确完成常见角度的互化，为后续三角函数学习奠定基础.（3）弧度制下弧长与扇形面积公式的应用：重点是公式的“推导逻辑”（从圆的周长、面积公式出发，结合圆心角占比推导）与“实际应用”（能根据已知条件选择公式计算弧长、面积或圆心角）.2.难点：（1）弧度制概念的抽象理解.（2）角度与弧度互化的计算细节.（3）弧度制公式与角度制公式的区分应用.知识点01角度制、弧度制的概念角度制：把周角分成360等份，每一份叫作1度的角，这种用“度”作单位来度量角的单位制叫作角度制；1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，“弧度”用符号rad表示；弧度制：以“弧度”为单位来度量角的单位制叫作弧度制.【即学即练】（多选）（2022上·重庆·高一校联考阶段练习）下列命题正确的是（

）【答案】ABD【分析】ABC：通过写出对应的集合来判断；D：直接按照要求计算角度即可.故选：ABD.知识点02角度制与弧度制的换算关系180∘=πrad，1°=rad，【即学即练】（2023下·新疆阿克苏·高一校考期中）将下列各角度化成弧度，弧度化成角度.【答案】【分析】根据角度制与弧度制之间的互化即可逐一求解知识点03弧长及扇形面积的计算公式弧度制下弧长公式：（3）扇形面积公式：【即学即练】（2526高一上·全国·单元测试）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（

）【答案】B【详解】如图，与的延长线交于圆心，.故选：B题型01弧度的概念【典例1】（2425高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（

）【答案】D【分析】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可求解.且钟表的时针按顺时针转所形成的角应为负角，故选：D.【变式11】（多选）（2526高一上·全国·课后作业）（多选）关于弧度制说法正确的是（

）A．角的度数和弧度数是一一对应的B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角D．用弧度制度量角，该角必为正角【答案】AC【分析】根据弧度制的概念逐项判断即可.【详解】角的度数和弧度数是一一对应的，A说法正确；无论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小均与其所在的圆的半径无关，B说法错误；1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，C说法正确；用弧度制度量角，该角可为正角，可为负角，也可为零角，D说法错误，故选：AC【答案】/【分析】由圆心角定义得解.故答案为：【变式13】（2425高一下·上海徐汇·期中）1小时内秒针转过了．（用弧度制表示）【分析】利用任意角的定义结合弧度制的性质求解即可.题型02角度化弧度【典例2】（2526高一上·全国·单元测试）将下列角度与弧度互化．（不必求近似值）(1)；(3)1.2；【分析】（1）（2）（3）（4）利用弧度与角度的关系进行转化即可.【答案】B【分析】本题考查的是角度制与弧度制的互相转化.【变式22】（2425高一下·广西梧州·期末）体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（

）A．弧度 B．弧度 C．弧度 D．弧度【答案】D【分析】根据角度制和弧度制换算关系即可得到答案.因此“720度”即弧度.故选：D．【变式23】（2425高一下·安徽·阶段练习）将75°化为弧度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，准确计算，即可求解.故选：A.题型03弧度化角度【典例3】（多选）（2025高一·全国·专题练习）下列结论中正确的是（

）B．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角C．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是【答案】CD对于B，1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，故B错误；故选：CD【变式31】（2425高一上·广东·期末）在半径为4的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据弧长公式和弧度与角度的转换计算.故选：D.【变式32】（2526高一上·全国·课前预习）将化成角度为．【分析】根据角度与弧度的换算公式即可求解.【分析】将三个角统一转换为角度进行比较即可.题型04弧长公式的应用【变式41】（多选）（2425高一下·广西柳州·开学考试）以下说法正确的有（

）D．在半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为【答案】AD【分析】根据弧度制与角度制的转化判断A、B；由正负角的概念判断C；根据弧长公式判断D.故选：AD.【变式42】（2425高一下·上海·期中）已知扇形的弧长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数是．【答案】【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解.故答案为：.【变式43】（2425高一下·安徽·阶段练习）半径为4厘米、弧长为8厘米的弧所对的圆心角的弧度数是．【答案】2故答案为：2.题型05扇形面积公式的应用【变式51】（2425高一下·安徽·阶段练习）已知扇形的周长为8，面积为4，则扇形圆心角的弧度数为（

）A．2 B．2或 C．4 D．4或2【答案】A【分析】利用扇形弧长、面积与半径、圆心角的数量关系列方程组，求解即得.【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为弧度，故选：A.【变式52】（2425高一下·上海·阶段练习）已知半径为的扇形面积为，则该扇形圆心角的弧度为．【答案】【分析】根据扇形面积公式直接求解即可.【详解】设扇形圆心角的弧度为，故答案为：.【答案】根据扇形面积公式可得故答案为：题型06弧长公式、扇形面积公式的综合应用(1)求的长；【答案】(1)【分析】（1）根据弧长公式即可求解，（2）根据扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可化简求解.【变式61】（2425高一上·天津·阶段练习）一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用弧长及扇形面积公式列式求解.故选：D【答案】/【分析】通过扇形的面积和周长建立方程，求出半径和弧长，再计算扇形面积与圆面积之比.故答案为：.【变式63】（2425高一下·江西上饶·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l．【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可；（2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积.题型07扇形中的最值问题(1)求关于x的函数关系式；(2).【分析】（1）利用扇形弧长公式计算即可；（2）先计算扇环面积，再化简变形利用基本不等式计算最值即可.所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5.【详解】【变式72】（2324高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为．【分析】（1）根据弧度与角度的关系，用弧度表示圆心角，结合弧长公式求弧长；（2）由条件确定弧长与半径的关系，再由扇形面积公式用表示，并求其最小值即可.（2）设扇形的弧长为，半径为，(2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值.（2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可得的最小值.题型08用弧度表示角的集合【典例8】（2223高一·全国·随堂练习）写出终边与坐标轴重合的角的集合．【分析】终边可能分别与正、负半轴重合，分类写出四种集合，最终取并集即可.【变式81】（2021高一·江苏·课后作业）分别用弧度制表示下列角的集合：（1）终边落在x轴上的角；（2）终边落在y轴上的角．【分析】（1）利用轴线角的表示即可求解.（2）利用轴线角的表示即可求解.【详解】（1）设终边落在x轴上的角，（2）设终边落在y轴上的角为，【分析】根据任意角的弧度表示及交集的概念即可计算.分别令k＝－1，0，1，即可得：【变式83】（2425高一上·全国·课前预习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合．【分析】根据象限角的定义结合弧度制分析求解.一、单选题1.（2015·山东·统考高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（

）【答案】A【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解故选：A【答案】C【分析】根据弧度和角度的对应关系可得答案.故选：C．3．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（

）【答案】B【分析】AC项角度与弧度混用，排除AC；D项终边在第三象限，排除D.故与的终边相同的角的集合即选项B正确；选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限.故选：B.A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】对分奇偶，结合终边相同的角的定义讨论判断即可故选：C．5．（2425高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到大轮转动一周时，小轮转动的周数，即可求小轮转动的角度.【详解】因为相互啮合的两个齿轮，大轮48齿，小轮20齿，所以当大轮转动一周时时，大轮转动了48个齿，故选：B6．（2526高三上·陕西商洛·阶段练习）若扇形甲与扇形乙的圆心角之比为，面积之比为，则甲与乙的半径之比为（

）【答案】A【分析】根据扇形面积公式进行求解即可.故选：A.7．（2425高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将各选项中的代数式进行化简，观察代数式中是否含有，即可得出结论.故选：C.【答案】B【分析】【详解】解：如图，连接，因为是的中点，故选：B.二、多选题9．（2425高一下·辽宁大连·期中）若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（

）A．扇形的圆心角为2 B．扇形的弧长为6【答案】ABD【分析】设出扇形半径，表示弧长及扇形面积，求出最大值的条件，再逐项判断即得.故选：ABD10．（2025高一·全国·专题练习）下列说法正确的是（

）A．若角是三角形的一个内角，则角必是第一、二象限角【答案】BD【详解】对于选项A，当三角形其中一个内角为直角时，该角终边不在任何象限，故选项A错误，故选：BD.【答案】AC故选：AC.三、填空题【分析】根据角度制和弧度制互化公式进行求解即可.13．（2526高一上·全国·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章“方田”主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小（单位：弧度）为．（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）【答案】6即所在扇形的圆心角大小为6．故答案为：6.四、解答题【分析】（1）根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可；（2）利用代入法进行求解即可.所以角与的终边相同，【答案】答案见解析.【详解】∵是第三象限的角，∴是第一