2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第64讲求概率统计的综合问题学生版

第64讲求概率统计的综合问题

思维导图

题型1：概率模块内知识交汇命题

4题型2:概率与统计、统计案例的交汇命题

求概率统计的综合问题

题型3:概率与函数、数列等综合问题

题型归纳

题型1概率模块内知识交汇命题

【例1-1】高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、

数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目

中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调

查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一

科的学生”记作学生群体S,从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物

的科目数及人数统计如下表：

选考物理、化学、生物的科目数123

人数52520

(1)从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率：

(2)从所调查的50名学生中任选2名，记乃表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的

绝对值，求随机变量才的分布列和数学期望；

(3)将频率视为概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两

科目的学生数记作匕求事件2”的概率.

【跟踪训练1-1】2016年微信用户数量统计显示，微信注比用户数量已经突破9.27亿.微信用户平均

年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18〜36岁之间.为调查大学生这个微信用户群

体中每人拥有微信群的数量，现右从北京大学生中随机抽取10()位同学进行了抽样调查，结果如下：

微信群数量频数频率

0至5个00

6至10个300.3

11至至个300.3

16至20个clC

20个以上5b

总计1001

(1)求a,b,c的值：

(2)若从100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；

(3)以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3

人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求％的分布列和数学期望爪心.

【跟踪训练1-2】为了预防某种流感扩散，某校医务室采取枳极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直

到康复.假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化

验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染.下面是两种化验方案.

方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止.

方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中

的I位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测.

(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；

(2)H表示方案甲所需化验次数，f表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经

济角度考虑哪种化验的方案最佳.

【名师指导】

高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布等交汇在一起进行

考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键.特

别是要注意挖掘题目中的陷含条件.

题型2概率与统计、统计案例的交汇命题

【例2-1］市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校200名高中

学生的课外体育锻炼平均每天锻炼的时间进行了调查，数据如下表：

平均每天

锻炼的时[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

间(分钟)

总人数203644504010

将学生日均课外体育锻炼时间在［40,60］内的学生评价为“课外体育达标”.

(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2X2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超

过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；

课外体育不达标课外体育达标总计

男

女20110

总计

(2)从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取10名学牛.，再从这10名学生中随

机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X求X的分布列和数

学期望；

（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中抽取4名学生,

求其中恰好有2名学生课外体育达标的概率.

参考公式：*=（a+以吉c）@+G，其中“="+”+"+"

参考数据:

夕（尤力儿）0.100.050.0250.0100.0050.001

kn2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【跟踪训练2-1】某公司为了提高利润，从2012年到2018年每年都对生产环节的改进进行投资，投资

金额x（单位：万元）与年利润增长量y（单位：万元）的数据如表：

年份2012201320142015201620172018

投资金额力万元4.55.05.56.06.57.07.5

年利润增长量〃万元6.07.07.48.18.99.611.1

（1）请用最小二乘法求出y关于*的回归直线方程.如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资

金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长量为多少？（结果保留两位小数）

（2）现从2012年到2018年这7年中抽出3年进行调查，记4=年利润增长量一投资金额，设这3年中

万元的年份数为f,求随机变量4的分布列与期望.

参考公式：b=---------=-----=---------------,a=y-bx.

加一“人一〃7

/-!

参考数据：Zx,y=359.6,£^=259.

/=!/=!

【跟踪训练2-2】成都市现在已是拥有1400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人

中约40%拥有机动车驾驶证.为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一

次全市成年人安全知识抽样调查.先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后

对这200人进行问卷调查.这200人所得的分数都分布在［30,100］范围内，规定分数在80以上（含80）的为

“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示.

拥有驾驶证没有驾驶证总计

具有很强安全意识

不具有很强安全意识58

总计200

⑴补全上面的2X2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“‘具有很强安全意识'与拥有驾驶证”

有关？

（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随巩抽取4人，记“具有很强安全意识”的人

数为篇求才的分布列及数学期望.

附表及公式：＞=/_|_人、/竺人上人,其中〃=a+Z?+c+。.

（a十〃）（。十力（a+a）

0.150.1()0.050.0250.0100.0050.001

Ab2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【名师指导】

~~概率与统计、统计案例交汇问题的考查离不开图表（频率分布直方图、茎叶图、折线图、频数分布表等），

解决此类问题重:在审图表、明数据，能从所给图表中正确提取解题所需要的信息是解决问题的关键，然后

根据信息•步步实现图表数据与数学符号语言的转化，建立数学模型解决问题.

题型3概率与函数、数列等综合问题

【例37】为响应绿色出行，某市在推出共享单车后，乂推出新能源分时租赁汽车.其中一款新能源分

时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过

40分钟时按0.12元/分计费，超过40分钟时，超出部分按0.20元/分计费.已知张先生家离上班地点15

公里，每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间乂单位：

分）是一个随机变量.现统计了张先生50次路上开车花费的时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所

示.

时间〃分(20,30](30,40](40,50](50,60]

频数2182010

将频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间.

（1）写出张先生一次租车费用y（单位：元）与用车时间。（单位：分）的函数关系式；

（2）若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设S表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路

段畅通”的次数，求f的分布列和期望；

（3）若公司每月给1000元的交通补助，请估计张先生每月（按22天计算）的交通补助是否足够让张先

生上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由.（同一时段的时间用该区间的中点值代表）

【例3-2】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试

验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施

以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4

只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲

药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得一1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的

白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得一1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得()分.甲、乙两种药的治愈率

分别记为。和万，一轮试验中甲药的得分记为X

(1)求/的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，A(2=0,1,8)表示“甲药的累计得分为，时，最终

认为甲药比乙药更有效”的概率，则R=0,9=1,pi=ap$-\~\~bpi+cp2Ki=\,2,…,7),其中a=〃(¥=

—1),b=P{X=^),c=P(X=l).假设。=0.5,8=0.8.

①证明：{“+LR}(1=0,1,2,…,7)为等比数列；

②求R,并根据。的值解释这种试验方案的合理性.

【跟踪训练3-1】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去5()年的水文资料显示，水

库年入流量年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80

的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段

的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立..

(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率！

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量乃限制，并有如下

关系：

年入流量二40</8080W辰120»120

发电机最多

123

可运行台数

若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；着某台发电机未运行，则该台发电机年亏损

800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

【跟踪训练3-2】如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/米?）的散

点图.（图中月份代码1〜13分别对应2017年1月〜2018年1月）

当月在售二手房均价y

1.04

1.02

1.00

0.98

0.96

0.94

012345678910111213月份代月％

根据散点图选择尸=&+矩和y=c+Mnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为

y=0.9369+0.02856和尸0.9554+0.03061nx,并得到一些统计量的值如下表所示.

y=0.9369+0.028尸0.9554+0.03061nx

蜕％—PM

/=>0.0005910.000164

卅一）2

y0.005050

⑴请利用相关指数始判断哪个模型的拟合效果更好.

（2）某位购房者拟于2018年6月份购买这个小区勿（70W/7W160）平方米的二手房（此房为其家庭首套

房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年.请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决

以下问题.

①估算该购房者应支付的购房金额；（购房金额=房款+税费，房屋均价精确到0.0