云南省镇康县第一中学2025年数学高二第一学期期末监测试题含解析

云南省镇康县第一中学2025年数学高二第一学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在下列函数中，最小值为2的是（）A. B.C. D.2．若圆与直线相切，则（）A.3 B.或3C. D.或3．若，都为正实数，，则的最大值是（）A. B.C. D.4．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，－=1，则an=（）A.2n－1 B.nC.2n－1 D.2n-15．已知实数a，b，c，若a＞b，则下列不等式成立的是（）A B.C. D.6．已知正方体中，分别为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为()A. B.C. D.7．按照小李的阅读速度，他看完《三国演义》需要40个小时.2021年12月20日，他开始阅读《三国演义》，当天他读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《三国演义》的日期为（）A.2022年1月8日 B.2022年1月9日C.2022年1月10日 D.2022年1月11日8．已知数列中，，则（）A.2 B.C. D.9．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（）A. B.C. D.10．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为“求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（）盏.A.192 B.128C.3 D.111．已知在直角坐标系xOy中，点Q(4，0)，O为坐标原点，直线l：上存在点P满足.则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.12．在正三棱锥中，，且，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”则小老鼠第三天穿城墙______尺；若城墙厚40尺，则至少在第________天相遇14．已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________.15．双曲线的左焦点到直线的距离为________.16．在三棱锥中，点Р在底面ABC内的射影为Q，若，则点Q定是的______心三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的准线方程是.（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.18．（12分）已知等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和19．（12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.（1）求渔船甲的速度；（2）求的值.20．（12分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布表如图所示.组号分组频数频率150052350.35330b4cd5100.1（1）求b，c，d的值；（2）该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？（3）在（2）的前提下，从抽到6名学生中再随机抽取2名被甲考官面试，求这2名学生来自同一组的概率.21．（12分）已知函数（1）若在上单调递减，求实数a的取值范围（2）若是方程的两个不相等的实数根，证明：22．（10分）已知圆C：的半径为1（1）求实数a的值；（2）判断直线l：与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，时，为负数，A错误.对于B选项，，，，但不存在使成立，所以B错误.对于C选项，，当且仅当时等号成立，C正确.对于D选项，，，，但不存在使成立，所以D错误.故选：C2、B【解析】根据圆与与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】圆的标准方程为：，则圆心为，半径为，因为圆与与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得或，故选：B3、B【解析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.【详解】因为，都为正实数，，所以，当且仅当，即时，取最大值.故选：D4、A【解析】由题可得，利用与的关系即求.【详解】∵a1=1，－=1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴，即，∴当时，，当时，也适合上式，所以故选：A.5、C【解析】根据不等式的性质逐一分析即可得出答案.【详解】解：对于A，因为a＞b，若，则，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，若a＞b，又，所以，故C正确；对于D，当时，，故D错误.故选：C.6、D【解析】以D为原点建立空间直角坐标系，求出E,F,B,D1点的坐标，利用直线夹角的向量求法求解【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则，,，,,直线与所成角的余弦值为：.故选D【点睛】本题主要考查了空间向量的应用及向量夹角的坐标运算，属于基础题7、B【解析】由等差数列前n项和列不等式求解即可.【详解】由题知，每天的读书时间为等差数列，首项为20，公差为10，记n天读完.则40小时=2400分钟，令，得或（舍去），故，即第21天刚好读完，日期为2022年1月9日.故选：B8、A【解析】根据数列的周期性即可求解.【详解】由得,显然该数列中的数从开始循环,数列的周期是，所以.故选：A.9、B【解析】根据空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B10、A【解析】根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解.【详解】设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，所以，解得，所以这个塔的最底层有盏灯.故选：A.11、A【解析】根据给定直线设出点P的坐标，再借助列出关于的不等式，然后由不等式有解即可计算作答.【详解】因点P在直线l：上，则设，于是有，而，因此，，即，依题意，上述关于的一元二次不等式有实数解，从而有，解得，所以实数m的取值范围是.故选：A12、B【解析】由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】因为，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，所以,因为M，N分别为BC，AD的中点，所以，所以，设直线AM和CN所成的角为，则,所以直线AM和CN夹角的余弦值为，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.##0.25②.6【解析】由题意知小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，即可算出小老鼠第三天穿城墙的厚度，再根据等比数列求和公式，构造等式，即可得解.【详解】由题意知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列，前天打洞之和为，∴小老鼠第三天穿城墙的厚度为；大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前天打洞之和为，∴两只老鼠第天打洞穿墙的厚度之和为，且数列为递增数列，而，，又城墙厚40尺，所以这两只老鼠至少6天相遇.故答案为：；6.14、【解析】根据的中点是圆心，是半径，即可写出圆的标准方程.【详解】因为和，故可得中点为，又，故所求圆的半径为，则所求圆的标准方程是：.故答案为：.15、【解析】根据双曲线方程求得左焦点的坐标，利用点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线的方程为，设其左焦点的坐标为，故可得，解得，故左焦点的坐标为，则其到直线的距离.故答案为：.16、外【解析】由可得，故是的外心.【详解】解：如图，∵点在底面ABC内的射影为,∴平面又∵平面、平面、平面，∴、、.在和中，,∴，∴同理可得：,故故是的外心.故答案为：外.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（Ⅱ）证明：设，.将代入，消去整理得.所以.由，，两式相乘，得，注意到，异号，所以.所以直线与直线的斜率之积为，即.考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程18、（1）（2）【解析】（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案；（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解【小问1详解】解：设等差数列公差为d，首项为a1，由题意，有，解得，所以；【小问2详解】解：，所以19、（1）14海里小时；（2）.【解析】（1）由题意知，，，.在△中，利用余弦定理求出，进而求出渔船甲的速度.（2）在△中，，，，，由正弦定理，即可解出的值.【小问1详解】(1）依题意，，，，.在△中，由余弦定理，得.解得.故渔船甲的速度为海里小时.即渔船甲的速度为14海里小时.【小问2详解】在△中，因为，，，，由正弦定理，得，即.值为.20、（1），，（2）第三组应抽人，第四组应抽人，第五组应抽人（3）【解析】（1）根据频率分布表的数据求出b，c，d的值；（2）三个组共有60人，从而利用分层抽样抽样方法抽取6名学生第三组应抽3人，第四组应抽2人，第五组应抽1人；（3）记第三组抽出的3人分别为，第四组抽出的2人分别为，第五组抽出的1人为，利用列举法结合概率公式得出答案.【小问1详解】由题意得，，【小问2详解】三个组共有60人，所以第三组应抽人，第四组应抽人，第五组应抽人.【小问3详解】记第三组抽出的3人分别为，第四组抽出的2人分别为，第五组抽出的1人为，从这6人中随机抽取2人，基本事件包含，共15个基本事件.其中2人来自同一组的情况有，共4种.所以，2人来自同一组的概率为.21、（1）；（2）详见解析【解析】（1）首先求函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得实数的取值范围；（2）将方程的实数根代入方程，再变形得到，利用分析法，转化为证明，通过换元，构造函数，转化为利用导数证明，恒成立.【小问1详解】，，在上单调递减，在上恒成立，即，即在，设，，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以函数的最大值是，所以；【小问2详解】若是方程两个不相等的实数根，即又2个不同实数根，且，，得，即，所以，不妨设，则，要证明，只需证明，即证明，即证明，令，，令函数，所以，所以函数在上单调递减，当时，，所以，，