北师大版数学初二年级上册册知识点总结

初二上册知识点总结

勾股定理

(1)两条直角边相等得直角三角形叫做等腰直角三角形.

⑵等腰直角三角形就是一种特殊得三角形，具有所有三南形得性质，还具备等腰三角形与直

前三角形得所有性质.即：两个锐角都就是45°,斜边上中线、角平分线、斜边上得高，三线

合一，等腰直角三角形斜边上得高为外接圆得半径R,而高又为内切圆得直径(因为等腰直角

三角形得两个小角均为45°,高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角后，则

两腰相等)；

⑶若设等腰直角三角形内切圆得半径r=1,则外接圆得半径R=2+1，所以r：R=1:2+1.

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长得平方之与一定等于斜边长得平方.

如果直角三角形得两条直角边长分别就是a,b,斜边长为c,那么a-+b;-c\

⑵勾股定理应用得前提条件就是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式aW七c,得变形有：a=c2-b2,b=c2-a2及c=a2+b2.

(4)由于a?+bEc?>a，，所以c>a,同理c>b,即直角三角形得斜边大于该直角三角形中得每一

条直角边.

(1)勾股定理得逆定理：如果三角形得三边长a,b,c满足a+b-c\那么这个三角形就就是直

角三角形.

说明：

①勾股定理得逆定理验证利用了三角形得全等.

②勾股定理得逆定理将数转化为形，作用就是判断一个三角形就是不就是直角三角形.必须

满足较小两边平方得与等于最大边得平方才能做出判断.

⑵运用勾股定理得逆定理解决问题得实质就就是判断一个角就是不就是直角.然后进一步

结合其她已知条件来解决问题.

注意：要判断一个角就是不就是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边得大小，用较小得

两条边得平方与与最大得边得平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不就是.

勾股数：满足a；+b±?得三个正整数，称为勾股数.

说明：

①三个数必须就是正整数.例如：2、5、6、6、5满足a+b七c?,但就是它们不就是正整教，所

以它们不就是够勾股数.

②一组勾股数扩大相同得整数倍得到三个数仍就是一组勾股数.

③记住常用得勾股数再做题可以提高速度.如：3,4,5;5,12,13;8,15,16；7,24,25

①勾股定理在几何中得应用：利用勾股定理求几何图形得回积与有关线段得长度.

②由勾股定理演变得结论：分别以一个直角三角形得三边为边长向外作正多边形，以斜边为

边长得多边形得面积等于以直角边为边长得多边照得面织与.

③勾股定理在实际问题中得应用：运用勾股定理得教学模型解决现实世界得实际问题.

④勾股定理在数轴上表示无理数得应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边就是两个

正整数得直角三角形得斜边.

实数

(1)、定义：无限不循环小数叫做无理数.

说明：无理数就是实数中不能精确地表示为两个整数之比得数，即无限不循环小数.如圆周

率、2得平方根等.

(2)、无理数与有理数得区别：

①把有理数与无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数与无限循环小数，

比如4二4、0,13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1、414213562.

②所有得有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.

⑶学习要求：会判断无理数，了解它得三种形式：①开方开不尽得数，②无限不循环小数，③

含有n得数，如分数n2就是无理数，因为n就是无理教.

1)定义：如果一个数得平方等于a,这个数就叫做a得平方根，也叫做a得二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零得平方根就是零，负数没有平方根.

⑵求一个数a得平方根得运算，叫做开平方.

一个正数a得正得平方根表示为“a”，负得平方根表示为“-a”.

正数a得正得平方根，叫做a得算术平方根，记作a.零得算术平方根仍旧就是零.

(1)算术平方根得概念：一般地，如果一个正数x得平方等于a,即x±a,那么这个正数x叫

做a得算术平方根.记为2.

⑵非负数a得算术平方根a有双重非负性：①被开方数a就是非负数;②算术平方根a本身

就是非负数.

⑶求一个非负数得算术"方根与求一个数得平方互为逆运算，在求一个非负数得算术平方

根时，可以借助乘方运算来寻找.

(1)非负数得性质：算术平方根具有非负性.

⑵利用算术平方根得非负性求值得问题，主要就是根据被开方数就是非负数，开方得结果也

就是非负数列出不等式求解.非负数之与等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值

问题.

(1)定义：如果一个数得立方等于a,那么这个数叫做a得立方根或三次方根.这就就是说，

如果x=a,那么x叫做a徉立方根.记作：a3.

⑵正数得立方根就是正表，0得立方根就是0,负数得立方根就是负数.即任意数都有立方根.

⑶求一个数a得立方根得运算叫开立方，其中a叫做被开方数.

注意：符号a3中得根指敷“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正教、零、负数

都有唯一一个立方根.

(1)任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实

数，两个负实数绝对值大得反而小.

⑵利用数轴也可以比较任意两个实数得大小，即在数轴上表示得两个实效，右边得总比左边

得大,在原点左侧，绝对值大得反而小.

估算无理数大小要用逼近法.

思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数得近似值.

1)实数与数轴上得点就是——对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上得点表示；反之，数轴上得任意一个点都表示一个实数.数轴上

得任一点表示得数，不就是有理教，就就是无理数.

⑵在数轴上，表示相反数得两个点在原点得两旁，并且两点到原点得距离相等，实数a得绝

对值就就是在数轴上这个数对应得点与原点得距离.

⑶利用数轴可以比较任意两个实数得大小，即在数轴上表示得两个实数，右边得总比左边得

大，在原点左侧，绝对值大得反而小.

(1)在实数范围内绝对值得^念与在有理数范围内一样.实数a得绝对值就就是在数轴上

这个数对应得点与原点得距离.

⑵实数得绝对值:正实数a得绝对值就是它本身，负实数得绝对值就是它得相反数,0得绝对

值就是0.

⑶实数a得绝对值可表示为|a|二｛a(a20)-a(aV0),就就是说实数a得绝对值一定就是一个

非负数，即|a|NO.并且有若|x|二a(aeO),则x=±a.

实数得倒数

乘积为1得两个实数互为洌数，即若a与b互为倒数，则ab=1;反之，若ab=1,则a与b互为倒

数，这里应特别注意得就是。没有倒数.

(1)实数得运算与在有理数范围内一样，值得一提得就是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

⑵在进行实数运算时，与有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，

最后算加减，有括号得要先算括号里面得，同级运算要按照从左到有得顺序进行.

另外，有理数得运算律在实数范围内仍然适用.

二次根式得定义：一般地，我们把形如4a320)得式子叫做二次根式.

①“称为二次根号

②a(a20)就是一个非负数；

(1)二次根式得基本性质：①a»0;ae0(双重非负性).②(a)=a(a20)(任何一个非负数

都可以写成一个数得平方得形式).③a2=a(a»0)(算术平方根得意义)

⑵二次根式得化简：①利用二次根式得基本性质进行化简；②利用积得算术平方根得性质与

商得算术平方根得性质进行化简.ab=a・bab=ab

⑶化筒二次根式得步骤：①把被开方数分解因式；②利用积得算术平方根得性质，把被开方

数中能开得尽方得因数(或因式)都开出来;③化简后得二次根式中得被开方数中每一个因数

(或因式)得指数都小于根指数2.

最简二次根式得概念：⑴被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方得因数或因式.

我们把满足上述两个条件得二次根式，叫做最简二次根式.

最简二次根式得条件：⑴被开方数得因数就是整数或字号，因式就是整式；(2)被开方数中不

含有可化为平方数或平方式得因数或因式.

如：不含有可化为平方数或平方式得因数或因式得有2、3、a(a20)、x+y等；

含有可化为平方数或平方式得因数或因式得有4、9、a2、(x+y)2,x2+2xy+y2等.

(1)积得算木平方根性质：a・b=a*b(a^O,b^O)

⑵二次根式得乘法法则：a・b=a・b(a20,b»0)

(3)商得算术平方根得性质：ab=ab(a20,b>0)

(4)二次根式得除法法则：ab=ab(a20,b>0)

1)分母有理化就是指把分母中得根号化去.

(2)两个含二次根式得代数式相乘时，它们得积不含二次根式，这样得两个代数式成互为有

理化因式.

(3)一个二次根式得有理化因式不止一个.

同类二次根式得定义：

一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们得被开方数相同，就把这几个二

次根式叫做同类二次根式.

合并同类二次根式得方法：

只合并根式外得因式，即系数相加减，被开方数与根指数不变

(1)法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同得二

次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.

⑵步骤：

①如果有括号，根据去括号法则去掉括号.

②把不就是最简二次根式得二次根式进行化简.

③合并被开方数相同得二次根式.

⑶合并被开方数相同得二次根式得方法：

(1)旋转图形得作法：

根据旋转得性质可知，对底角都相等都等于旋转角，对应浅段也相等，由此可以通过作相等得

角，在角得边上极取相等得线段得方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后得图形.

⑵旋转作图有自己独特得特点，决定图形位置得因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，

任意不同，位置就不同，但得到得图形全等.

(1)平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等.两对应点连线段与给定得有向线段平

行(共线)且相等.(2)轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线(段)或者平行，

或者交于对称轴，且这两条直线得夹角被对称轴平分.(3)旋转变换：在旋转变换下，对应线段

相等，对应直线得夹角等于旋转角.(4)位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心

共线；一条线上得点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对

应线段得比等于位似比得绝对值，对应图形面积得比等于位似比得平方；不经过位似中心得

对应线段平行，即一直线变为与它平行得直线；任何两条直线得平行、相交位置关系保持不变;

圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心.

四边形性质探索

(1)两组对边分别平行得四边形就是平行四边形.符号语言：・.・AB〃DC,AD〃BC・••四边行

ABCD就是平行四边形.

⑵两组对边分别相等得四边形就是平行四边形.符号语言：:AB=DC,AD=BC.•.四边行ABCD就

是平行四边影.

⑶一组对边平行且相等得四边形就是平行四边形.

符号语言：•・•AB〃DC,AB=DC四边行ABCD就是平行四边形.

⑷两组对角分别相等得四边形就是平行四边形.

符号语言：•・•NABC=ZADC.ZDAB=ZDCBA四边行ABCD就是平行四边形.

⑸对角线互相平分得四边形就是平行四边形.符号语言：TOARC,OB=OD.\四边行ABCD就是

平行四边形得判定与性质得作用

平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它得判定，就是我们证明直线得平

行、线段相等、角相等得重要方法，若要证明两直线平行与两线段相等、两角相等，可考虑将

要证得直线、线段、角、分别置于一个四边形得对边或对角得位置上，通过证明四边形就是

平行四边形达到上述目得.

运用定义，也可以判定某个图形就是平行四边形，这就是常用得方法，不要忘记平行四边形得

定义，有时用定义判定比用其她判定定理还简单.

凡就是可以用平行四边形知识证明得问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行

四边形得性质与判定去解决问题.

(1)菱形得定义：有一组邻边相等得平行四边形叫做菱杉.

(2)菱形得性质

①菱形具有平行四边形得一切性质；

②菱形得四条边都相等；

③菱形得两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形就是轴对称图形，它有2条对称轴，分别就是两条对角线所在直线.

(3)菱形得面积计算

①利用平行四边形得面积公式.

②菱形面积=12ab.（a、b就是两条对角线得长度）

①菱形定义：一组邻边相等得平行四边形就是菱形（平行四边形+一组邻边相等二菱形）；

②四条边都相等得四边形就是菱形.

几何语言:VAB=BC=CD=DA.\四边膨ABCD就是菱形；

③对角线互相垂直得平行四边形就是菱形（或“对角线互相垂直平分得四边形就是菱形”）.

几何语言：・「ACJ_BD,四边杉ABCD就是平行四边形，平行四边形ABCD就是菱形

（1）依次连接四边形各边中点所得得四边形称为中点四边形.不管原四边形得形状怎样改

变，中点四边形得形状始终就是平行四边形.

⑵菱形得中点四边形就是矩形（对角线互相垂直得四边抄得中点四边形定为矩形，对角线相

等得四边形得中点四边形定为菱形.）⑶菱形就是在平行四边形得前提下定义得，首先它就

是平行四边形，但它就是特殊得平行四边形，特殊之处就就是“有一组邻边相等”，因而就增

加了一些特殊得性质与不同于平行四边形得判定方法.

⑷正方形就是特殊得菱形，菱形不一定就是正方形，所以，在同一平面上四边相等得图形不

只就是正方形.

（1）性质：在直角三角形中，斜边上得中线等于斜边得一半.（即直角三角形得外心位于斜边

得中点）

⑵定理：一个三角形，如果一边上得中线等于这条边得一半，那么这个三角形就是以这条边

为斜边得直角三角形.

该定理可一用来判定直角三角形.

（1）矩形得定义：有一个角就是直角得平行四边形就是矩形.

⑵矩形得性质

①平行四边形得性质矩形都具有；

②角：矩形得四个角恭就是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形得对角线相等；

⑤矩膨就是轴对称图杉，又就是中心对称图形.它有2条对称轴，分别就是每组对边中点

连线所在得直线；对称中心就是两条对角线得交点.

⑶由矩形得性质，可以得到直角三角线得一个重要性质，直角三角形斜边上得中线等于斜边

得一半.

（1）矩形得判定：

①矩形得定义：有一个角就是直角得平行四边形就是矩形；

②有三个角就是直角得四边形就是矩形；

③对角线相等得平行四边形就是矩形（或“对角线互相平分且相等得四边形就是矩形”）

⑵①证明一个四边形就是矩形，若题设条件与这个四边才得对角线有关，通常证这个四边形

得对角线相等.

②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角就是直角得四边形就是矩形”来判定矩形.

（1）关于矩形，应从平行四边形得内角得变化上认识其特殊性：一个内角就是直角得平行

四边形，进一步研究其特有得性质：就是轴对称图形、内角都就是直角、对角线相等.同时平

行四边形得性质矩形也都具有.

在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形得这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关

得问题.

⑵下面得结论对于证题也就是有用得:①△OAB、ZkOBC都就是等腰三角形；②NOAB=NOBA,

NOCB=ZOBC;③点0到三个顶点得距离都相等.

A

(1)正方形得定义：有一组邻边相等并且有一个角就是直前得平行四边形叫做正方形.

⑵正方形得性质

①正方形得四条边制相等，四个角都就是直角；

②正方形得两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方影具有四边膨、邛行四边影、矩形、菱影得一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等得等腰直角三角形，同时，正方形又就是轴对称图

形，有四条对称轴.

正方形得判定方法：

①先判定四边形就是矩形.再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形就是菱形，再判定这个矩形有一个南为直角.

③还可以先判定四边形就是平行四边形，再用1或2进行判定.

(1)梯形得定义：一组对边平行，另一组对边不平行得四边形叫做梯形.

梯形中平行得两边叫梯形得底，其中较短得底叫上底，不平行得两边叫梯形得腰，两底得距离

叫梯形得高.

(2)等腰梯形：两腰相等得梯形叫做等腰梯形.

⑶直角梯形：有一个角就是直角得梯形叫做直角梯形.

直角梯形：有一个角就是直角得梯形叫做直角梯形.

利的梯形

边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直.

角：有两个内角就是直角.

过不就是直角得一个顶点作梯形得高，则把直角梯形分割成一个矩形与直角三角町.这就是

常用得一种作辅助线得方法.

(1)性质：

①等腰梯形就是轴对称图杉，它得对称轴就是经过上下底得中点得直线；

②等腰梯形同一底上得两个角相等；

③等腰梯形得两条对角线相等.

⑵由等腰梯形得性质可知，如果过上底得两个顶点分别作下底得两条高，可把等腰梯形分成

矩形与两个全等得直角三角形，因此可知等腰梯形就是轴对称图形，而一般得梯形不具备这

(1)利用定义：两腰相等得梯形叫做等腰梯形；

(2)定理：同一底上两个角相等得梯形就是等腰梯形.

⑶对角线：对角线相等得梯形就是等腰梯形.

判定一个梯形就是否为等腰梯形，主要判断梯形得同一底上得两个角就是否相等，可以通过

添加辅助线把梯形底上得两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角得关系.

注意：对角线相等得梯形就是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用.

(1)中位线定义：连接桥形两腰中点得线段叫做梯形得中位线.(2)梯形中位线定理：梯形

得中位线平行于两底，并E等于两底与得一半.

⑶梯形面积与中位线得关系：

梯形中位线得2倍乘高再除以2就等于梯形得面积，即

梯形得面积=12X2X中位线得长X高二中位线得长X高

⑷中位线在关于梯形得各种题型中都就是一条得天独厚得辅助线.

(1)多边形得概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成得图形叫做多边形.

⑵多边形得对角线：连接多边形不相邻得两个顶点得线段，叫做多边形得对角线.

⑶正多边形得概念：各个角都相等，各条边都相等得多边形叫做正多边形.

⑷多边彩可分为凸多边形与皿多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①西多边形任何一边所

在得直线整个多边形都在此直线得同一侧.②每个内角得度数均小于180°,通常所说得多

边形指凸多边形.

⑸重心得定义：平面图形中，多边形得重心就是当支撑或悬挂时图形能在水平而处于平稳状

态，此时得支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心.

常见图形得重心(1)线段：中点(2)平行四边形：对角线得交点(3)三角形：三边中线得交

点⑷任意多边形.

(1)多边形得对角线：连接多边形不相邻得两个顶点得线段，叫做多边形得对角线.

(2)n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线.从n个顶点出发引出(n-3)条，而每条重复

一次，所以n边形对角线得总条数为：n(n-3)2(n23,且n为整数)

(3)对多边彩对角线条数公：n(r>-3)2得理解：n边形得一个顶点不能与它本身及左右两个邻

点相连成对角线，故可连出(n-3)条.共有n个顶点，应为n(n-3)条，这样算出得数，正好多出

了一倍，所以再除以2.

⑷利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n得隹计算，而计算边数时，需利用方程思

想，解方程求n.

(1)多边形内角与定理：(展2).・80(n23)且n为整数)

此公式推导得基本方法就是从n边形得一个顶点出发引出(n-3)条对角线，将n边形分割为

(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形得所有内角之与正好就是n边形得内角与.除此方法之与

还有其她几种方法，但这些方法得基本思想就是一样得.即将多边形转化为三角形，这也就是

研究多边形问题常用得方法.

(2)多边形得外角与等于360度.

①多边形得外角与指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数就是几，其外角

与永远为360°.

②借助内角与与邻补角概念共同推出以上结论：外角与二180°n(n-2)•180°=360°.

(1)平面图形镶嵌得定义：用形状，大小完全相同得一种或几种平面图形进行拼接.彼此之

间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就就是平面图形得镶浅.

⑵正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形得

内角之与为360°.

判断一种或几种图形就是否能够镶嵌，只要瞧一瞧拼在同一顶点处得几个角能否构成周角，

若能构成360°,则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能.

⑶单一正多边形得镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形.

(1)中心对称得定义

把一个图形绕着某个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图

形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中得对应点叫做关于中心

得对称点..

⑵中心对称得性质

①关于中心对称得两个困形能够完全重合；

②关于中心对称得两个图形，对应点得连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

(1)定义

把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后得图形能够与原来得图形重合，那么这个

图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

注意：中心对称图形与中心对称不同，中心对称就是两个图形之间得关系，而中心对称图形就

是指一个图形自身得特点,这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同.

⑵常见得中心对称图形

平行四边形、圆形、正方膨、长方形等等.

位置得确定

平面内特殊位置得点得坐标特征

(1)各象限内点P(a,b)得坐标特征：

①第一象限：a>0,b>0；②第二象限：aV0,b>0；③第三象限：aVO,bVO；④第四象限：a>

0,b<0.

(2)坐标轴上点P(a,b)得坐标特征：

①x轴上：a为任意实数,b=0;②y轴上：b为任意实数，a=0；③坐标原点：a=0,b=0.

(3)两坐标轴夹角平分线上点P(a,b)得坐标特征:

①一、三象限：a二b；②二、四象限：a=-b.

(1)我们把有顺序得两个数a与b组成得数对，叫做有序数对，记作(a,b).

⑵平面直南坐标系得相关概念

①建立平面直角坐标系得方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直得数轴.

②各部分名称：水平数轴叫x轴(横轴)，竖直数轴叫y轴(纵轴)，x轴一般取向右为正方向，y

轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系得原点.它既属于x轴，又属于y轴.

⑶坐标平面得划分

建立了坐标系得平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，

第三象限，第四象限.坐标轴上得点不属于任何一个象限.

⑷坐标平面内得点与有序实数对就是一一对应得关系.

1、点到坐标轴得距离与这个点得坐标就是有区别得，表现在两个方面：①到x轴得距离与纵

坐标有关，到y轴得距离与横坐标有关；②距离都就是非负数，而坐标可以就是负数，在由，距

离求坐标时，需要加上恰当得符号.

2、有图形中一些点得坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关得线段长，就是

解决这类问题得基本方法与规律.

3、若坐标系内得四边形就是非规则四边形，通常用平行于坐标轴得辅助线用“割、补”法去

解决问题.

两点间得距离公式：

设有两点A(x„y,),B(x„yj，则这两点间得距离为d=J(X】・x2)?+(y「y?了.

说明：求直角坐标系内任意两点间得距离可直接套用此公式.

(1)关于x轴对称点得坐标特点：

横坐标不变，纵坐标互为和反数.

即点P(x,y)关于x轴得对称点P'得坐标就是(x,-y).

(2)关于v轴对称点得坐标特点:

横坐标互为相反数，纵坐标不变.

即点P(x,y)关于y轴得对称点P'得坐标就是(-x,y).

关于原点对称得点得坐标特点

⑴两个点关于原点对称时，它们得坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点0得对称点就是P'

(-x,-y).

⑵关于原点对称得点或图形属于中心对称，它就是中心对称在平面直角坐标系中得应用，它

具有中心对称得所有性质.但它主要就是用坐标变化确定图形.

注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画与结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点得坐

标.

(1)关于X轴对称

横坐标相等，纵坐标互为相反数.

⑵关于y轴对称

纵坐标相等，横坐标互为相反数.

(3)关于直线对称

①关于直线x二m对称，P(a,b)=>P(2m-a,b)

②关于直线y=n对款,P(a,b)=P(a,2n-b)

(1)平移变换与坐标变化

①向右平移a个单位，坐标P(x,y)nP(x+a,y)

①向左平移a个单位,坐标P(x,y)=>P(x-a,y)

①向上平移b个单位，坐标P(x,y)=P(x,y+b)

①向下平移b个单位，坐标P(x,y)=P(x,y-b)

⑵在平面直角坐标系内，把一个图形各个点得横坐标都加上(或减去)一个整数a,相应得新

图形就就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点得纵坐标都加(或减

去)一个整数a,相应得新图形就就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.(即：横坐标,

右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.)

(1)关于原点对称得点得坐标

P(x,y)=>P(-x,-y)

(2)旋转图形得坐标

图形或点旋转之后要结合旋转得角度与图形得特殊性质来求出旋转后得点得坐标.常

见得就是旋转特殊角度如:30°,45°,60°,90°,180°.

一^函数

(1)变量与常量得定义：

在一个变化得过程中，数值发生变化得量称为变量；数值始终不变得量称为常量.

⑵方法：

①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量就是常量还就是变量，需要瞧两个

方面：一就是它就是否在一个变化过程中；二就是唯它在这个变化过程中得取值情况就是否

发生变化；

②常量与变量就是相对于变化过程而言得.可以互相转化；

③不要认为字母就就是变量，例如TI就是常量.

函数得定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x得每一个确定得值,y都有唯一得

值与其对应,那么就说v就是x得函数,x就是自变量.

说明：对于函数概念得理解:①有两个变量;②一个变量得数值随着另一个变量得数值得变化

而发生变化;③对于自变量得每一个确定得值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应.

用来表示函数关系得等式叫做函数解析式,也称为函数关系式.

注意:①函数解析式就是等式.

②函数解析式中，通常等式得右边得式子中得变量就是自变量，等式左边得那个字母表示自

变量得函数.

③函数得解析式在书写时有顺序性，列y=x+9时表示y就是x得函数，若写成x=-y+9就表示

x就是y得函数.

自变量得取值范围必须使含有自变量得表达式都有意义.

①当表达式得分母不含有自变量时，自变量取全体实数.例如y=2x+13中得x.

②当表达式得分母中含有自变量时，自变量取值要使分号不为零.例如y=x+2x-1.

③当函数得表达式就是偶次根式时，自变量得取值范围必须使被开方数不小于零.

④对于实际问题中得函数关系式，自变量得取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问

题有意义.

函数值就是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定得值.

注意：①当已知函数解析式时，求函数值就就是求代数式得值；当已知函数解析式，给出函数

值时，求相应得自变量得值就就是解方程；

②当自变量确定时，函数值就是唯一确定得.但当函数值唯一确定时，对应得自变量可以就是

多个.

函数得图象定义

对于一个函数，如果把自变量与函数得每一对对应值分别作为点得横、纵坐标，那么坐标平面

内由这些点组成得图形就就是这个函数得图象.

注意：①函数图形上得任意点（x,y）都满足其函数得解析式;②满足解析式得任意一对x、v

得值，所对应得点一定在函数图象上；③判断点P（x,y）就是否在函数图象上得方法就是：将

点P（x,y）得x、y得值代入函数得解析式，若能满足函数得解析式,这个点就在函数得图象上；

如果不满足函数得解析式.这个点就不在函数得图象上.

函数图象就是典型得数形结合，图象应用信息广泛，通过瞧图获取信息，不仅可以解决生活中

得实际问题，还可以提高分析问题、解决问题得能力.

用图象解决问题时，要理清图象得含义即会识图.

（1）一次函数得定义：

一般地，形如y=kx+b（kHC,k、b就是常数）得的数，叫做一次函数.

（2）注意：

①又一次函数得定义可知：函数为一次函数o其解析式为y=kx+b（kWO,k、b就是常数）得形

式.

②一次函数解析式得结构特征：k丰0；自变量得次数为1;常数项b可以为任意实数.

③一般情况下自变量得取值范围就是任意实数.

④若k=0,则y=b（b为常数），此时它不就是一次函数.

（1）正比例函数得定义：

一般地，形如y=kx（k就是常数，kHO）得函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注意：正比例函数得定义就是从解析式得角度出发得，注意定义中对比例系数得要求：k就是

常数，k手0,k就是正数也可以就是负数.

⑵正比例函数图象得性质

正比例函数y=kx（k就是常数，kWO）,我们通常称之为直爱y=kx.

当k>0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x得增大而增大；当k<0

时，直线厂kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，v随x得增大而减小.

⑶“两点法”画正比例函数得图象：经过原点与点（1,k），等直线就是y=kx（k就是常数，kHO）

得图象.

根据实际问题确定一次函数关系式关键就是读懂题意，建立一次函数得数学模型来解决问题.

需要注意得就是实例中得函数图象要根据自变量得取值范围来确定.

①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正得去描点，观察图象后再判断就是一次函

数还就是其她函数，再利用待定系数法求解相关得问题.

②函数与几何知识得综合问题，有些就是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键就是学

握数与形得转化；有些懑目就是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键就是运

用几何知识建立量与量得等式.

（1）一次函数得图象得国法：经过两点（0,b）、（-bk,O）或（1,k+b）作直线厂kx+b.

注意：①使用两点法画一次函数得图象，不一定就选择上面得两点，而要根据具体情况，所选

取得点得横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确.②一次函数得图象就是与坐标轴不平行得

一条直线（正比例函数就是过原点得直线），但直线不一定就是一次函数得图象.如x=s,y=b

分别就是与v轴，x轴平行得直线，就不就是一次函数得图象.

⑵一次函数图象之间得位置关系：直线厂kx+b,可以瞧做由直线y二kx平移|b|个单位而得到.

当b>0时，向上平移；bVO时，向下平移.

注意:①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；

②将直线平移，其规律就是：上加下减，左加右减；

③两条直线相交，其交点恭适合这两条直线.

一次函数得性质：

k>O,y随x得增大而增大，函数从左到右上升；kVO,y随x得增大而减小，函数从左到右下降.

由于y=kx+b与v轴交于（0,b）,当b>0时，（0,b）在y轴得正半轴上，直线与y轴交于正半轴；

当b<0时，（0,b）在y轴得负半轴，直线与y轴交于负半地.

由于y=kx+b与y轴交于（0,b）,当b>0时，（0,b）在y轴得正半轴上，直线与y轴交于正半轴；

当b<0时，（0,b）在y轴得负半轴，直线与y轴交于负半细.

①k>0,b>0oy=kx+b得图象在一、二、三象限；

②k>0,bV0oy=kx+b得图象在一、三、四象限；

③kV0,b>0oy=kx+b得图象在一、二、四象限；

④kV0,bV0=y=kx+b得图象在二、三、四象限.

一次函数y=kx+b,（k/。，且k,b为常数）得图象就是一条直线.它与x轴得交点坐标就是

（-bk,0）;与y轴得交点坐标就是（0,b）.

直线上任意一点得坐标都满足函数关系式尸kx+b.

直线y=kx+b,（k手。，且k,b为常数）

①关于x轴对称，就就是x不变，y变成-y：-y=kx+b,即y=-kx-b;

（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标就是原来得相反数）

②关于y轴对称，就就是y不变，x变成-x：尸k（-x）+b,即尸-kx+b；

（关于v轴对称，纵坐标不变，横坐标就是原来得相反数）

③关于原点对称，就就是x与y都变成相反数:-y=k（-x）+b,即y=kx-b.

（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来得相反数）

待定系数法求一次函数解析式一般步骤就是：

（1）先设出函数得一般册式,如求一次函数得解析式时，先设y=kx+b;

（2）将自变量x得值及与它对应得函数值y得值代入所设得解析式，得到关于待定系数得方程

或方程组；

⑶解方程或方程组，求出待定系数得值，进而写出函数解析式.

注意：求正比例函数，只要一对x,y得值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数

y=kx+b,则需要两组x,y得值.

直线y=kx+b,（kWO,且k,n为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，

图象相交；当k,b都相同时，两条线段重合.

（1）两条直线得交点问题

两条直线得交点坐标,就就是由这两条直线相对应得一次函数表达式所组成得二元一次方程

组得解.

⑵两条直线得平行问题

若两条直线就是平行得关系，那么她们得自变量系数相同，即k值相同.

例如：若直线y产k,x+b,与直线ykk?x+b,平行，那么k,=k2.

1、分段函数问题

分段函数就是在不同区间有不同对应方式得函数，要特别注意自变量取值范围得划分，既要

科学合理，又要符合实怀.

2、函数得多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量得关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据

问题得条件寻求可以反映实际问题得函数.

3、概括整合

（1）简单得一次函数问题:①建立函数模型得方法;②分段函数思想得应用.

⑵理清题意就是采用分段函数解决问题得关键.

（1）一次函数与几何图形得面积问题

首先要根据题意画出草图.结合图形分析其中得几何图形，再求出面积.

⑵一次函数得优化问题

通常一次函数得教值问题首先由不等式找到x得取值范明，进而利用一次函数得增减性在前

面范围内得前提下求出最值.

⑶用函数图象解决实际问题

从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应得问题.

二元一次方程组

(1)二元一次方程得定义

含有两个未知数，并且含有未知数得项得次数都就是1,像这样得方程叫做二元一次方程.

⑵二元一次方程需满足三个条件：①首先就是整式方程.②方程中共含有两个未知数.③所

有未知项得次数都就是一次.不符合上述任何一个条件得都不叫二元一次方程.

(1)定义：一般地，使二尢一次方程两边得值相等得两人未知数得值，叫做二元一次方程得

解.

⑵在二元一次方程中，任意给出一个未知数得值，总能求出另一个未知数得一个唯一确定得

值，所以二元一次方程有无数解.

⑶在求一个二元一次方程得整数解时，往往采用“给一个，求一个”得方法，即先给出其中一

个未知数(一般就是系数绝对值校大得)得值，再依次求出另一个得对应值.

二元一次方程有无数解.求一个二元一次方程得整数解时，往往采用“给一个，求一个“得方

法，即先给出其中一个未知数(一般就是系数绝对值较大得)得值，再依次求出另