2024年中考数学复习重难点(全国版)：专题07 全等三角形旋转、一线三等角模型(原卷版)

专题07全等三角形旋转、一线三等角模型

施

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目录

【直击中考】....................................................................................1

【考向一全等三角形旋转模型】..............................................................1

【考向二全等三角形一线三等角模型】........................................................6

【直击中考】

【考向一全等三角形旋转模型】

例题：（2022•山东荷泽・荷泽一中校考模拟预测）如图①，在一4?。中，ZA=90°,=A。，点。，E分

别在边AS,AC上，且A0=AE.则CE=Z?£>.现将VADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为

a(00<tz<180°).如图②，连接CE,BD.

图③备用图

⑴如图②，请直接写出CE与的数量关系.

（2）将VAOE旋转至如图③所示位置时，请判断CE与BO的数量关系和位置关系，并加以证明.

⑶在旋转的过程中，当△BCD的面积最大时，a=.（直接写出答案即可）

【变式训练】

一、选择题

1.（2022•重庆璧山•统考一模）如图,在正方形A8CO中，将边BC绕点、〃逆时针旋转至点BC,若ZCCD=90°,

CC=2,则线段8c的长度为（）

A.2B.-C.限D.s/5

2.（2022•四川南充•模拟预测）如图，在RlZiABC中，N8AC=90。，AB=AC,直角NE尸产的顶点P是BC

的中点，将NEP尸绕顶点尸旋转，两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F.下列四个结论：①A£=C"；

②！P所是等腰直角三角形；③EF=AP；④加边形,"=34板・在/痔/旋转过程中，上述四个结论

始终正确的有（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

3.（2022秋•全国•九年级专题练习）如图，在矩形ABC。中，DE平分Z/UX;交BC于点七，点尸是C。边

上一点（不与点D重合）.点尸为。E上一动点，PE<PD,将绕点尸逆时针旋转90。后，角的两边

交射线D4于H,G两点，有下列结论：①DH=DE；②DP=DG；③DG+DF=五DP：④

DPDE=DHDC,其中一定正确的是（）

4①②B.②③C.①④D.③④

二、填空题

4.（2022•广西贺州・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q8为等腰三角形，OA=AB=5,点B

到工轴的距离为4,若将绕点。逆时针旋转90。，得到△OAZT,则点9的坐标为

5.（2022•江苏无锡•模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置.，QOE的直角顶点。在边3c的

中点处，其中4=NOOE=90°,NB=45。，ZD=60°,绕点。自由旋转，且。。，OE分别交A8,AC

于点M,N,当4V=4,NC=2时，MN的长为.

6.（2022•广东广州•统考中考真题）如图，在矩形ABC。中，BC=2AB,点P为边AO上的一个动点，线段

8P绕点B顺时针旋转60。得到线段BP,连接PP',CP'.当点P'落在边BC上时,0PP'C的度数为；

当线段CP的长度最小时，回PPC的度数为

三、解答题

7.（2022・山东日照•校考二模）在AABC中，AB=AC,N8AC=a,点0为线段C4延长线上一动点，连接

PB，将线段至绕点P逆时针旋转，旋转角为。，得到线段PD，连接/）“，DC.

⑴如图I,当。=60。时，①求证：PA=DCi②求/DCP的度数；

（2）如图2,当a=120。时，请直接写出小和OC的数量关系.

⑶当。=120。时，若A8=6,=请直接写出点。到CP的距离为

8.（2022•河北保定•校考一模）如图1,等腰直角三角形A8C中，1M=90。，AB=AC=10及。*D为AB

边上一点，点尸由C点出发，以2a〃/s的速度向终点8运动，连接PO,将绕点。逆时

针旋转90。，得到线段DQ,连接PQ.

⑴填空：BC=,BD=；

⑵点P运动几秒，OQ最短；

⑶如图2,当Q点运动到直线A8下方时，连接8Q,若S/QQ=8,求皿烟8DQ；

（4）在点。运动过程中，若目"PQ-15。，请直接写出〃〃的长.

9.（2022秋•九年级单元测试）如图，正方形A4C。和正方形CEPG（其中4Q>2C£）,直线4G与。£交于

点从

⑴如图1,当点G在CD上时，请直接写出线段RG与DE的数量关系和位置关系:

(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周.

①如图2,当点E在直线C。右侧时，求证：BH-DH=OCH;

②当MEC=45。时，若人8=3,CE=1,请直接写出线段的长.

10.(2022•全国•九年级专题练习)如图，在.A8C与3所中，ZACB=ZEDF=90°BC=AC,ED=FD,

点。在A8上.

⑴如图1，若点尸在AC的延长线上，连接4E,探究线段A/、AE.人。之间的数量关系，并证明你的结

论：

(2)如图2,若点。与点A重合，且AC=3&，DE=4,将」)EF绕点D旋转,连接点G为M的中

3

点，连接CG,在旋转的过程中，求］CG+8G的最小值；

⑶如图3,若点。为AB的中点，连接外、CE交于点M,CE交AB于点N,且8C:£>E:ME=7:9:10,请

ND

直接写出而的值.

11.（2022•内蒙古通辽•模拟预测）综合实践

问题情境

在图1所示的直角三角形纸片ABC中，。是斜边A8的中点.数学老师让同学们将工8c绕中点。做图形的

旋转实验，探究旋转过程中线段之间的关系.

解决问题

（1）"实践小组”的同学们将A8c以点。为中心按逆时针旋转，当点A的对应点4与C重合时，BC与它的

对应边3'。'交于点。.他们发现：OD±BfC.请你帮助他们写出证明过程.

数学思考

（2）在图2的基础.上，"实践小组〃的同学们继续将48C以点。为中心进行逆时针旋转，当AA的对应边

A'8'_LA8时，设ATT与8c交于点尸，4C’与A8交于点E.他们认为EO+H）=AC.他们的认识是否正

确？请说明理由.

再探发现

（3）解决完上面两个问题后，"实践小组"的同学们在图3中连接O。，他们认为。/，DE与。。也具有一

定的数量关系.请你写出这个数量关系.（不要求证明）

【考向二全等三角形一线三等角模型】

例题：（2023•全国•九年级专题练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1,点A在直线力石上,

且N8D4=N84C=NAEC=90。，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一

线三等角“模型.

图4

⑴如图2,RtAABC中，=90°,CB=。，直线E。经过点C,过4作AO_L于点。，过8作AE_LED

于点£求证：_BEC-CDA.

⑵如图3,在二A8C中，。是上一点，ZCAD=90°,AC=AD,

Z.DBA=Z.DAB,AB=2日求点。到A8边的距离.

（3）如图4,在YA8C。中，七为边8c上的一点，尸为边A8上的一点.若

EF

Z.DEF=N〃，AB=10,跖=6,求一的值.

/)/：

【变式训练】

一、选择题

1.（2022秋•八年级课时练习）如图，在财8c中，AB=AC=9,点f在边4c上，AE的中垂线交BC于点Z）,

若加。£=国8,CD=3BD,则CE等于（）

99

A.3B.2C.-D.-

42

二、解答题

2.（2022秋•广东惠州•八年级校考期中）如图1,ZACB=90,AC=BC,AD工CE,BE上CE,垂足分别为

D,E.

图I图2图3

⑴若AZ）=2.5cm,DE=1.7cm,求跳:的长.

⑵在其它条件不变的前提下，将CE所在直线变换到力4c的外部（如图2）,请你猜想4DDE,BE三者

之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3,将（1）中的条件改为：在二A8C中，AC=BC,D,C,£三点在同一条直线上，井且有

NBEC=ZADC=/BCA=a,其中a为任意钝角，那么（2）中弥的猜想是否还成立？若成立，请证明；若

不成立，请说明理由.

3.（2022秋•云南昭通•八年级校考期末）在.48。中，ZAC3=90〃，AC=4C,直线MN经过点C,且力。_LMN

于D,BE上MN于E.

图1

⑴当直线MV绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①ACD^2CEB,

（2）DE=AD+BE.

⑵当直线MV绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BEx

⑶当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问OE、AD.8石具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,

并加以证明.

4.（2022秋•全国•八年级专题练习）已知，在二A8C中，AB=AC,D,A,E三点都在直线机上，且

DE=9cnhNBDA=ZAEC=NBAC.

⑴如