山东省青岛市2024-2025学年高三上学期部分学生调研数学测试卷+答案

青岛市2024年高三年级部分学生调研检测数学试题2024.11本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.已知a，b都是实数，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A.向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位4.已知平面向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.5.函数的大致图象为（）A. B.C. D.6.“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3后加1.不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.若n经过5次运算后首次得到1，则n的所有不同取值的和为（）A.16 B.32 C.37 D.57.若正数a，b满足，则（）A.128 B.108 C.2 D.18.定义在上的函数对，，都有，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知三条直线l，m，n和三个平面，，，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则10.已知函数，则（）A.的定义域（） B.是图象的一条对称轴C.在区间上单调递增 D.的最大值为11.已知实数x，y满足，则（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列（）中，，成等比数列，，则.13.已知曲线在处的切线与曲线相切，则.14.已知集合（，），若集合，且M中的所有元素之和为奇数，称M为A的奇子集，则A的所有“奇子集元素之和”的总和为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求A；（2）若，内切圆半径，求a.16.（15分）已知数列满足：，，.（1）求数列的通项公式；（2）记表示不超过x的最大整数，，求17.（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面PAD与平面PBD夹角为45°.（1）点P，A，B，C，D均在同一球面上，求该球的体积；（2）点E，F，G分别在棱AB，BC，PB上，当为等边三角形时，求直线AD与平面EFG所成角的正弦值18.（17分）已知函数（且），当时，.（1）求a；（2）若为的极小值，求k的取值范围；（3）证明：.19.（17分）如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，或是对这些结果继续进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和余弦值都是可解数，则称这个角为可解角.如：30°，45°，120°角都是可解角.（1）判断，，是否为可解数（无需说明理由）；（2）证明：72°角是可解角；（3）已知每个可解数a都是某些整系数多项式函数（）的零点，这些多项式中，x的最高次数n最小，且系数，，，…，的最大公约数为1的多项式函数称为a的最小多项式函数.任一可解数a的最小多项式函数中x的最高次数n必为（）.例如：的最小多项式函数不是，而是.证明：20°角不是可解角，并求整数度数的锐角中最小的可解角.

青岛市2024年高三年级部分学生调研检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1-8：CBDA ACBB二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.AD 10.ABD 11.BC三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.25或13；13.；14.四、解答题：本题共5小题，共77分.15.（13分）解：（1）由正弦定理得因为，所以所以即，且，所以（2）又因为所以，即，所以①由余弦定理得②解得16.（15分）解：（1）由题知：因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列所以，所以（2）因为，两式作差得所以易求得，，因为，所以是递减数列，当时，，所以综上，17.（15分）解：（1）因为底面ABCD为矩形，所以又因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD，所以平面PCD，所以，同理：又因为，所以平面ABCD由题知，由平面ABCD为矩形知：，所以，所以，ABCD为正方形，记PB中点为0，可求得：，所以O为该球的球心，其半径因此，该球的体积（2）若平面EFG与平面PAC不平行，依平行性，不妨将点G放在点P的位置，不妨设E不在A的位置，则，，不合题意若平面平面PAC，则，所以，所以为等边三角形，又因为平面平面PAC，两平面的法向量共线，所以直线AD与平面EFG所成角等于AD与平面PAC所成角下面提供向量法和几何法两种参考解法：（法1）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则，，，，设平面PAC的一个法向量为，则，所以，令，得显然，设AD与平面PAC所成角为，则（法2）连结AC，BD交于点O＇，在直角中，过D做，因为，，，PD，平面PBD，所以平面PBD，所以，又因为，，所以平面PAC，所以为AD与平面PAC所成角在直角中，，解得，设AD与平面PAC所成角为，则18.（17分）解：（1）由知，的最小值为所以解得，即（2）显然为偶函数，只需研究的情况，若，则，令，则，所以在上单调递增所以，在上单调递增，依对称性，在上单调递减，故为极小值若，，令，，令，即，解得（舍），所以因为，当时，，在上单调递减，所以在上均小于0所以在上单调递减，而，故不合题意，综上，k的取值范围为（3）结合（2）：令，则，解得令，即，得，则，解得，所以19.（17分）解：（1）是可解数，是可解数，不是可解数（2）设，则又因为，所以，解方程，得是可解数，又显然是可解数，所以72°角是可解角（3）先证明20°角不是可解角.因为所以，即是的零点根据已知结论，若是可解数，那么它的最小多项式函数最高次项次数只能是1或2，即有整系数一次或二次因式，（法1）假设，整数a，b，c的最大公约数为1，整数p，q互质，不妨令，，（，完全同理）则若，，当时，，则且，无解；若，，当时，，则且，无解；若，，当时，，则且，无解；若，，当时，，则且，无解；同理，若，，也均无解说明不可能是可解数，20°角不是可解角（法2）有整系数一次或二次因式，说明存在有理零点设它的有理零点为，m，n是互质的整数.于是，，所以，得到m整除，，，，，同理n整除，.得到，，，，显然这些都不是的零点，说明