专题14基本不等式及其应用（举一反三讲义）（原卷版）

专题1.4基本不等式及其应用（举一反三讲义）【全国通用】TOC\o"13"\h\u【题型1基本不等式及其应用】 3【题型2直接法求最值】 3【题型3配凑法求最值】 4【题型4常数代换法求最值】 4【题型5消元法求最值】 4【题型6齐次化求最值】 5【题型7多次使用基本不等式求最值】 5【题型8基本不等式的恒成立、有解问题】 6【题型9利用基本不等式解决实际问题】 6【题型10基本不等式与其他知识交汇】 71、基本不等式及其应用考点要求真题统计考情分析(1)了解基本不等式的推导过程(2)会用基本不等式解决最值问题(3)理解基本不等式在实际问题中的应用2022年I卷：第12题，5分2023年新高考I卷：第22题，12分2025年北京卷：第6题，4分2025年上海卷：第8题，5分基本不等式及其应用是每年高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.知识点基本不等式1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)当且仅当“a=b”时取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．3．常见的求最值模型立；等号成立.4．利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【题型1基本不等式及其应用】【例1】（2025·北京·高考真题）已知a>0,b>0，则（

）A．a2+bC．a+b>ab D．【变式11】（2025·陕西宝鸡·二模）设a，b∈R，则“a+b≥2”是“a2+A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式12】（2025·全国·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（

）A．ab≤14 C．1a+1【变式13】（2025·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，BD=b，用该图形能证明的不等式为（

）．A．a+b2≥abC．a+b2≤a【题型2直接法求最值】【例2】（2425高一上·重庆·期末）函数y=3x+1xx>0A．4 B．5 C．32 D．【变式21】（2425高一上·广东河源·阶段练习）已知a>0，则a+1a的最小值是（A．−1 B．1 C．2 D．3【变式22】（2425高二上·云南昭通·阶段练习）若x>0，则y=(1−x)8−2xA．−2 B．0 C．1 D．2【变式23】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则y2x2A．6 B．12 C．2 D．4【题型3配凑法求最值】【例3】（2526高一上·全国·课后作业）若a>1，则4a+1a−1的最小值为（A．4 B．6 C．8 D．无最小值【变式31】（2025·辽宁·模拟预测）已知x∈0,+∞，则y=x+1A．2 B．2 C．22 D．【变式32】（2025高三·全国·专题练习）函数y=x3−2x的最大值为（

A．3 B．94 C．92 【变式33】（2025·河北石家庄·一模）已知x∈0,4，则fx=A．493 B．172 C．193【题型4常数代换法求最值】【例4】（2025·河南·三模）若a>0，b>0，且a+b=1，则−1a−A．−9 B．−7 C．−5 D．−3【变式41】（2025·山东·模拟预测）设正实数a,b满足a+2b=1，则(a+1)2+bA．372 B．17 C．8+45【变式42】（2024·江苏宿迁·一模）若a>0,b>0,a+2b=3，则3a+6A．9 B．18 C．24 D．27【变式43】（2025·福建泉州·二模）若x≥0，y≥0，且1x+1+12x+4y=1A．2 B．3 C．4 D．8【题型5消元法求最值】【例5】（2025·陕西宝鸡·二模）已知正数x,y满足x+1y=1，则1A．2+22 B．6 C．42 【变式51】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足x2+3xy−2=0，则2x+y的最小值为（A．2103 B．103 C．2【变式52】（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数m，n满足mn=2，则1m+2A．22 B．3 C．32 【变式53】（2025·河南·模拟预测）设正实数a，b，c满足2c2−bc+2b2−1A．4 B．92 C．5 D．【题型6齐次化求最值】【例6】（2425高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数x,y满足x+2y=1，则x2+yxyA．122 B．22 C．1【变式61】（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且x+y=2，则x+6y+6xy的最小值为（

A．12 B．3+22 C．252 【变式62】（2425高一上·安徽芜湖·期末）已知x≥32，则2xA．7+63 B．C．7+43 D．【变式63】（2425高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足x+2y=3，则x2+3yxyA．22+1 B．4 C．4【题型7多次使用基本不等式求最值】【例7】（2025·天津红桥·一模）已知a>0,b>0，则1a+aA．42 B．22 C．4【变式71】（2025·河南·模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2bA．5 B．52 C．52 【变式72】（2025·全国·模拟预测）已知a为非零实数，b，c均为正实数，则a2b+aA．12 B．24 C．22【变式73】（2024·四川德阳·模拟预测）已知x>−1，y>0，z>0，2x+3y+z=2，则1x+1+1A．72+6 B．7+62 【题型8基本不等式的恒成立、有解问题】【例8】（2025·吉林延边·一模）已知正实数x，y满足x+y−12xy=0，且不等式x+y−a>0恒成立，则aA．a<2 B．a<8 C．a<6 D．a<4【变式81】（2024·浙江宁波·一模）不等式x2−ax−1x−b≥0对任意x>0恒成立，则A．22−2 B．2 C．22【变式82】（2425高一上·安徽池州·期中）已知x>0,y>0，且x+y=5，若4x+1+1y+2≥2m+1A．−∞,116 B．−∞,【变式83】（2425高三上·浙江宁波·期末）设实数x,y满足x>32，y>3，不等式k2x−3y−3≤8A．12 B．24 C．23 D．【题型9利用基本不等式解决实际问题】【例9】（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为v（单位：米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）满足v2=4HA．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米【变式91】（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（

）A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能【变式92】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1,aA．a1=a2 B．a1<a【变式93】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a，b斜边为c（a、b、c均为正数）.则a+b2=4ab+b−a2，a+b2=2cA．9 B．18 C．27 D．36【题型10基本不等式与其他知识交汇】【例10】（2425高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为16πcm2的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点(1)若圆柱的高为2 cm(2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面DC距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？【变式101】（2024·广东珠海·一模）已知A、B、C是ΔABC的内角，a、b、c分别是其对边长，向量m=a+b,c，n=（1）求角A的大小；（2）若a=2，求ΔABC面积的最大值.【变式102】（2025高三·全国·专题练习）F1 ,(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求PF(2)设A2,0,B0,1是它的两个顶点，直线y=kx(k≥0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F【变式103】（2425高一下·江苏无锡·阶段练习）在△ABC中，a=ccos(1)若a+b=8，△ABC的面积为33，求c(2)若c=4，①求a+b+csin②求△ABC面积的最大值；③求△ABC周长的取值范围.一、单选题1．（2025·安徽·三模）“xy≥1”是“x24A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知x∈(0,+∞)，则y=2x+4A．3 B．4 C．32 3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知a+b=1ab>0，则1a+A．1 B．2 C．4 D．94．（2025·重庆·三模）已知x2+y2=2A．6 B．6 C．8 D．85．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足v2=4HA．0.2米 B．0.25米 C．0.45米 D．0.7米6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知x>0，y>0，且xy+2y2−36=0，则xA．12 B．66 C．36 D．7．（2025·广东汕头·模拟预测）已知a>0，b>0，a+1b=1，则1A．1 B．2 C．4 D．88．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记max{a,b}表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则max{x,1y}+A．22 B．3 C．42二、多选题9．（2025·湖北恩施·模拟预测）若正实数a,b满足2a+b=1，则下列结论正确的是（

）A．2ab的最大值为14 B．a2C．2a+b的最大值为2 D．210．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足x+2y=1，则（

）A．xy≤18 C．1x+111．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知a,b为正实数，ab+a+2b=14，则下列说法正确的是（

）A．a+b<21 B．a−6b+1的最小值为C．a+4b的最小值为12 D．1a+2+三、填空题12．（2025·上海·高考真题）设a,b>0,a+1b=1，则b+1a13．（2025·山西吕梁·一模）正数x,y满足x+y=xy，则x+9y的最小值是.14．（2025·四川眉山·模拟预测）已知a,b∈R+，4a+b=1，则a+bab的最小值是四、解答题15．（2425高一下·广西·开学考试）（1）已知x,y是正实数，且x+y=4，求1x（2）函数y=x16．（2025高三·全国·专题练习）若正数x,y满足：x+y+8=xy，(1)求xy的取值范围；(2)求x+y的取值范围．17．（2526高一上·全国·课后作业）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3m，底面积为12m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为900a(1+x）x元a>0．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求18．（2425高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为