初中中考数学函数专题专题23二次函数中的交点问题含答案及解析

专题23二次函数中的交点问题

।知识对接

考点一、直线与抛物线的交点

（I）y轴与抛物线y+c得交点为（0,c）.

（2）与y轴平行的直线x=〃与抛物线），=0¥?+bx+c有且只有一个交点（力,。〃2+bh+c）.

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数），naY+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标修、打，是对应一元二次方程

分2+尿+。=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式

判定：

①有两个交点o△〉0<=>抛物线与X轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）=抛物线与/轴相切：

③没有交点。△<0O抛物线与工轴相离.

（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有。个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐

标为k,则横坐标是ax2-¥bx+c=k的两个实数根.

（5）一次函数y=kx+n（k/0）的图像/与二次函数），=ax1+/zr+*0）的图像G的交点，由方程

y=kx+n”

组,]的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时。/与G有两个交点;②方程

y=ax~+〃士+c

组只有一组解时。/与G只有一个交点；③方程组无解时o/与G没有交点.

（6）抛物线与九轴两交点之间的距离：若抛物线），=〃/+以+6,与x轴两交点为A（x，018卜，0），

由于用、£是方程口炉+纵一。=0的两个根，故

bc

X]+占=——，X].X,=—

a~a

AB=|xI-x|=I2=J（阳一%）2_4g==TV

27U-^2）"J："。

VICi）a\a\\a\

______专项训练

一、单选题

1.如图，已知抛物线尸/+辰+M-0）的对称轴为直线x=l,与X轴的一个交点坐标为其部分图

象如图所示.下列结论：①方程♦+次:+c=0的两个根是再=T，勺=3；②a-b+c=（）；③8a+c<0；

④当），:>0时，x的取值范围是・l<x<3.其中结论正确的个数是（）

2.将抛物线），=9+2加计〃产-1向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x=l,则平移后的抛物线

与y轴的交点坐标为（）

A.（0,0）B.（0,4）C.（0,15）D.（0,16）

3.二次函数），=a^+〃x+c（存0）的图象与x轴的两个交点横坐标为-2,xo,且满足（a+b+c）（4a+2b+c）

V0,与y轴的负半轴相交，抛物线经过点A（-1,yi）,4（-专，”），C（1,户），正确结论是（）

A.y^>y2>y\B.>'3>yi>.V2C.y\>y2>y^D.y\>y3>yi

4.直线），=x+。不经过第二象限，则关于x的函数｝，=#+2什1与坐标轴的交点个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.2个或3个

5.如图，已知二次函数y=or2+阮+c（g0）的图象与“轴交于点4（-1,0）,与），轴的交点8在（0,-2）

和（0,-1）之间（不包含这两点），对称轴为直线x=l.在下列结论中：

12

①油c>0：②16a+4/7+cV0：③4ac-Z?2V8。：<a<y：⑤力Vc.正结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

6.如图是抛物线y=ad+4+。（8o）图象的一部分，抛物线的顶点坐标4（1,3）,与x轴的一个交点8（4,

0），有卜列结论：①2a十。=0；②欣>0；③方程M十队+c=2有两个不相等的实数根；④当,〈OR寸，-2

<A<4,⑤62+12a=4ac.其中正确的个是（）

A.2B.3C.4D.5

7.如图为某二次函数的部分图像，有如下四个结论：①此二次函数表达式为丁=。炉・工+9：②若点8（-

1,〃）在这个二次函数图像上，则〃,加；③该二次函数图像与x轴的另一个交点为（-4,0）；④当OVx

V5.5时，,«<>-<8.所有正确结论的序号是（）

A.①③B.®®C.②③D.②④

8.已知抛物线y=a（x—犷+攵与x轴有两个交点A（TO）,8（3,0）,抛物线），=°（x—/?—〃"+&与x轴的

一个交点是（4,0）,则〃?的值是（）

A.5B.-1C.5或1D.-5或一1

9.若抛物线y=Y+云+。与x轴两个交点间的距离为尔对称轴为工=2,尸为这条抛物线的顶点，则点P

关于X轴的对称点的坐标是()

A.(2,4)B.(-2,4)C.(-2,T)D.(2,Y)

10.如图，抛物线产;(x-6尸-2与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其下方的部分记作G，将C1向左

平移得到G，G与X轴交于点&0,若直线y=与G、G共有3个不同的交点，则机的取值范围是

()

A.-3<rn<-2B.----<m<—2C.-5<tn<-2D.-----<fJi<-2

88

二、填空题

11.定义：若抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这种

抛物线称作“和美抛物线”.如图,一组抛物线的顶点3(1,剃),&(2,”),明(3,g)，...&(〃,%)S为正

整数)依次是直线上的点，这组抛物线与X轴正半轴的交点依次是4(0,0),小(。2,0),AMS,

0),…4”+1(%向，0)〃为正整数).若这组抛物线中存在和美抛物线，则s=—.

12.已知二次函数)，=-/+4工+5,它的图象与X轴的交点坐标为.

13.已知抛物线y=饭+C(，H。)与X轴的一个交点坐标为(3,0),对称轴为直线x=l,则关于工的一元

二次方程ax2+bx+c=0(a*0)的根是.

14.我们把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”.如图，A、B、C、。分别是某蛋圆和坐

标轴的交点其中抛物线的解析式为尸9-2x-3,则“蛋圆”的弦CD的长为—.

15.关于抛物线y=ad-2x+l（"0）,给出下列结论：①当公。时，抛物线与直线y=2x+2没有交点；②

若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0,0）与（I,0）之间；③若抛物线的顶点在

点（0,0）,（2,0）,（0,2）所围成的三角形区域内（包括边界），则a.l.其中正确结论的序号是.

三、解答题

16.已知关于X的二次函数丁=2&_4"+4+1（攵>0）,

（1）若二次函数的图象与x轴没有交点，求氏的取值范围；

（2）若P（〃?,〃）和“（-30）是抛物线上两点，且〃求实数，〃的取值范围；

（3）若8（c+l,〃）和C（G5）是抛物线上两点，试比较力和s的大小.

17.定义：若一次函数y=奴+〃（"0）与反比例函数），=£（。/0）满足a+c=&,则我们把函数

x

），=然2+加+。称为一次函数与反比例函数的“附中函数”.

9

（1）一次函数N=3X+6与反比例函数），=2是否存在“附中函数”？如果存在，写出其“附中函数”，如果不

x

存在，请说明理由.

（2）若一次函数y=与反比例函数y=£（CHO）存在“附中函数”，且该“附中函数”的图象与直线

X

y=2x+7有唯一交点，求方，c的值.

（3）若一次函数），=火+。（«>0）与反比例函数），=-反（CHO）的“附中函数”的图象与x轴有两个交点

X

分别是A（3，0）,B（h,0）,其中点C（3,4）,求△A8C的面积SAA”的变化范围.

18.已知抛物线）=g/-2x.

（1）求这个函数的最大值或最小值，并写出函数）'取得最大值或最小值时相应的自变量工的值.

（2）求该抛物线与工轴的交点坐标，并直接写出当时相应的x的取值范围.

19.已知抛物线y=f-(2〃?-l)x+4m-6.

（1）试说明：不论加取任何实数，该抛物线都经过x轴上的定点4

（2）设该抛物线与x轴的另一个交点为B（A与8不重合），顶点为C,当..AAC为直角三角形时，求加的

值；

（3）在（2）的条件下，若点8在A的右侧，点。（0,3）,点£是抛物线上的一点.问：在x轴上是否存在

一点「，使得以。，E,尸为顶点的三角形是等腰直角三角形，旦/母）b=90。，若存在，求少点的坐标；

若不存在，请说明理由.

20.已知二次函数y=办2+4公+。与x轴交于A,8两点（其中A在8的左侧），且八8=2.

5-

4_

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1。12345

-1

-2

-3

-4

-5

（1）抛物线的对称轴是_____.

（2）求点A和点3坐标.

（3）点C坐标为（-2.5,-4）,0（0,7）.若抛物线），=依2+4办”与线段CD恰有一个交点，求〃的取值

21.已知抛物线y=aF+bx+c（〃、b、c为常数,且.#0）

（1）若抛物线的对称轴为x=3,若抛物线与x轴的两个交点的横坐标比为I：2,求这两个交点的坐标；

（2）抛物线的顶点为点C,抛物线与x轴交点分别为4、B,若△ABC为等边三角形，求证：^-4ac=12；

（3）若当x>—1时，丁随工的增大而增大，且抛物线与直线）：+c相切于点。，若收恒成

立，求。的取值范围.

22.如图，抛物线），=〃（x-2）2+3（〃为常数且存0）与y轴交于点A（0,g）.

J

（1）求该抛物线的解析式；

2

（2）若直线），=丘+：（以0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为X2,当短+放2=10时.求力

的值；

（3）当-4〈烂m时，y有最大值亍，求〃?的值.

23.现有牌面编码为-1,1,2的三张卡片，背面向上，从中随机抽取一张卡片，记其数字为2,将抽到的

f2。+。=&+1

卡片背面朝上，放回打乱后，再抽一张记其数字为〃2,则事件“关于。、b的方程组“'的解满足0&

a+2b=2

-b<\,且二次函数y=f-2x+〃?的图象与％轴恰有2个交点”成立的概率为一.

专题23二次函数中的交点问题

।知识对接

考点一、直线与抛物线的交点

（I）y轴与抛物线y+c得交点为（0,c）.

（2）与y轴平行的直线x=〃与抛物线），=0¥?+bx+c有且只有一个交点（力,。〃2+bh+c）.

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数），naY+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标修、打，是对应一元二次方程

分2+尿+。=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式

判定：

①有两个交点o△〉0<=>抛物线与X轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）=抛物线与/轴相切：

③没有交点。△<0O抛物线与工轴相离.

（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有。个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐

标为k,则横坐标是ax2-¥bx+c=k的两个实数根.

（5）一次函数y=kx+n（k/0）的图像/与二次函数），=ax1+/zr+*0）的图像G的交点，由方程

y=kx+n”

组,]的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时。/与G有两个交点;②方程

y=ax~+〃士+c

组只有一组解时。/与G只有一个交点；③方程组无解时o/与G没有交点.

（6）抛物线与九轴两交点之间的距离：若抛物线），=〃/+以+6,与x轴两交点为A（x，018卜，0），

由于用、£是方程口炉+纵一。=0的两个根，故

bc

X]+占=——，X].X,=—

a~a

AB=|xI-x|=I2=J（阳一%）2_4g==TV

27U-^2）"J："。

VICi）a\a\\a\

_____专项训练

一、单选题

1.如图，已知抛物线尸“+辰+M"。)的对称轴为直•线x=i,与x轴的一个交点坐标为(TO),其部分图

象如图所示.下列结论：①方程♦+次:+c=O的两个根是再=T，勺=3；②a-b+c=()；③8a+c<0；

④当)，:>0时，x的取值范围是・l<x<3.其中结论正确的个数是()

【答案】D

【分析】

利用抛物线的对称性得到抛物线与大轴的一个交点坐标为(3,()),则可对①进行判断；由对称釉方程得到

b=-2a,然后根据L1时函数值为0可得到3a+c=0,则可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判

断.

【详解】

解：•・•抛物线的对称轴为直线x=l,

而点(-1,0)关于直线x=l的对称点的坐标为(3,0),

方程ax2+hx+c=O的两个根是“产-1,X2=3,所以①正确；

当户-1时，)=0,HRa-b+c=O；故②正确，

-=1,即h=-2a,

2a

而k-1时，)=0,BPa-b+c=O,

.\a+2a+c=0,

:.3a+c=0,

•・•抛物线的开口向下，

.\6<0,

•FaVO,

A8«+c＜0；故③正确；

当），＞0时，函数图象在x轴的上面，

・"x的取值范围是」＜xV3；故④正确；

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握对于二次函数尸aF+bx+c（〃#））,二次项系数〃决定

抛物线的开口方向和大小：当。＞0时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数〃和

二次项系数a共同决定对称轴的位置：当4与〃同号时（即必＞0）,对称轴在），轴左；当。与b异号时（即

ab〈O）,X寸称轴在），轴右；常数项c决定抛物线与轴交点位置：抛物线与），轴交于（0,c）;抛物线与x

轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个

交点；△*MacVO时,抛物线与工轴没有交点.

2.将抛物线）=N+2/枇+加-|向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x=1,则平移后的抛物线

与F轴的交点坐标为（）

A.（0,0）B.（0,4）C.（0,15）D.（0,16）

【答案】A

【分析】

直接利用配方法将原式变形进而得出平移后对称釉，进而得出答案.

【详解】

解：），=r+2〃a+"於-1

=（x+M2-1,

•・•将抛物线产炉+2心+加-1向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x=l,

・•・）：=（x+〃?+8）2-1,

贝ljx=-m-8=1,

故y=（jr-1）2-I=x2-2x,

当产0时，y=0

则平移后的抛物线与），轴的交点坐标为（0,0）.

故选：A.

【点睛】

本题考查二次函数的平移以及二次函数与y轴的交点，解题关键是熟练掌握平移的步骤以及求与），轴交点

的方法.

3.二次函数），=纱2+力x+c（存0）的图象与x轴的两个交点横坐标为-2,X0,且满足（a+〃+c）（4a+2Hc）

VO,与），轴的负半轴相交，抛物线经过点人（-I,yi）,R（一旦,户），C（I,”），正确结论是（）

2

A.B.>'3>yi>>,2C.y\>y2>y3D.y\>y3>yi

【答案】B

【分析】

由二次函数产a出也t+c（存0）的图象与x轴的两个交点横坐标为-2,助，且满足（〃+/7+c）（4a+2〃+c）<0,

得出1VXOV2,对称轴在-;和0之间，画图，根据抛物线的对称性判断"，”，”的大小.

【详解】

解：•・•二次函数）=，/+法+。（火0）的图象与工轴的两个交点横坐标为-2,xo,且满足（a+）+c）（4a+2b+c）

<0,

・・・户1对应的函数值与尸2对应的函数值互为异号，

/.l<xo<2,

•••对称轴在和o之间，

•・•抛物线与y轴的负半轴相交，

：,a>0,

如图所示，

・.♦—立距离对称轴最近，其次是一|,最后是1,

2

.\y2<y\<yi,

故选:B.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用数形结合，从开口方向、对称轴、与X轴（），轴）的交点

进行判断.

4.直线不经过第二象限，则关于x的函数y="2+2_r+l与坐标轴的交点个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.2个或3个

【答案】D

【分析】

根据直线产X+]不经过第二象限，得到把0,再分两种情况判断函数与坐标轴的交点情况.

【详解】

解：•・•直线）f+a不经过第二象限，

*.*函数y=ax2+2x+1,

当〃=0时，一次函数y=2x+l与坐标轴的交点个数为2,,

当go时二次函数丁=加+2%+1与），轴交点为（0,1）,

•・・丫=力2-4。。=4-4。>0,

，二次函数丁=0^+2]+1与工轴有两个交点，

・•・当«<0时二次函数），=&「+2工+1与坐标轴有3个交点，

综上，函数y=ax2+2x+1与坐标轴的交点个数是2个或3个，

故选:D.

【点睛】

此题考查一次函数的性质及二次函数与坐标轴交点个数，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，抛物线与

坐标轴交点个数的判断方法，注意易错点是。的取值范围分类诃论.

5.如图，已知二次函数尸ad+bx+c（g0）的图象与x轴交于点A（-1,0）,与），轴的交点8在（0,-2）

和。，-1）之间（不包含这两点），对称轴为直线x=l.在下列结论中：

12

①a"c>0；@\6a+4b+c<0；③4ac-b2V8a；<a<—；⑤力Vc.正结论的个数为（）

J1

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置.、与工轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可.

【详解】

抛物线开口向上，因此。>0,对称轴为.1=1>0,4、b异号,故/Y0,与)，轴的交点B在(0,-2)和(0,

・1)之间，即-2VcV-l,所以a/?c>0,故①正确；

抛物线x轴交于点A(-1,0),对称轴为x=l,因此与x轴的另一个交点为(3,0),当44时，尸16a+4/2+c

>0,所以②不正确；

由对称轴为尸1，与)，轴交点在(0，-2)和(0,-1)之间，因此顶点的纵坐标小于-1,即。Qv-

4a

1,也就是4“c--4a,又a>0,所以4ac-b2V8a是正确的，故③是正确的；

由题意可得，方程a^+^r+c-O的两个根为x\=-I,X2=3,又,即c=-3a,而-2VcV-1,也就是

a

i2

-2<-3a<.-1»因此，〈〃〈工，故④正确；

抛物线过(-1,0)点，所以4-。+。=0,即a=A-c,又。>0,即〃-c>0,得。,c,所以⑤不正确，

综上所述，正确的结论有三个：①③④，

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，掌握。、反。的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的

关系，是正确判断的前提，本题综合性较强，考查了学生对概念的理解以及知识应用的能力.

6.如图是抛物线+灰+c(办0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标4(1,3),与x轴的一个交点8(4,

0),有下列结论：®2a+b=0；②欣>0；③方程加+队+c=2有两个不相等的实数根；④当,Y0时，-2

<A<4,⑤〃+i2a=4ac.其中正确的个是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

利用图象确定出a,b,。的符号，利用顶点坐标可得-3=1,包。"=3；利用点3的坐标和抛物线的对

2a4a

称轴可得抛物线与x轴的另一个交点为（-2,0）；利用上述结论结合抛物线的图象，对每一个结论进行逐

一判断，得出正确选项.

【详解】

解：；抛物线的开口向下,

•.•抛物线与y轴的正半轴相交，

•・•抛物线的顶点坐标A（1,3）,

.b4ac-b2

••--=1,-----=3；

2a4a

'.b=-2a,b>0,4ac-b2=\2a.

①]»=-2a,

:.2a+b=0.

故①正确；

②YaVO,/?>0,c>0,

abc<0.

故②错误；

③1•抛物线的顶点坐标A（1，3）.aV0,

/.>=ar+Z?x+c有最大值为3,

2

・•・抛物线6+c与直线y=2有两个交点，即方程ax^c=2有两个不相等的实数根.

故③正确；

④：抛物线的对称轴为直线X=l,抛物线与X轴的一个交点B（4,0）,

工抛物线与4轴的另一个交点B（-2,0）.

•・ZV0,

・•・抛物线在工轴的下方有两部分，它们对应的x的取值范围是：x<-2或x>4.

:.当｝,<0时，即ax2+bx+c<（）,对应的x的取值范围是；工<-2或x>4.

故④错误；

/.Aac=t>1+\2a.

故⑤正确.

综上所述，正确的结论有：①③⑤.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标的特征，根

的判别式.利用已知条件结合函数的图象，采用数形结合的方法解答是解题的关键.

7.如图为某二次函数的部分图像’有如下四个结论：①此二次函数表达式为y=②若点8（-

1,〃）在这个二次函数图像上，则〃>加；③该二次函数图像与x轴的另一个交点为（・4,0）；④当OVx

V5.5时，〃?VyV8.所有正确结论的序号是（）

A.①③B.@®

【答案】C

【分析】

①由顶点坐标设出抛物线解析式，将点（8,0）代入解析式求解.②由图象开口向下，对称轴为直线42,

求出点48距离对称轴的距离求解.③由图象的对称性可得，抛物线与x轴两交点关于宜线卜2对称，由

中点坐标公式求解.④由图象中（0,8）,（2,9）,（5.5,〃?）可得），的取值范围.

【详解】

解：①由图象顶点(2,9)可得尸a(x-2)2+9,

将(8,0)代入产a(x-2)2+9得0=36a+9,

解得“:，

4

\=—(x-2)2+9=y=--x2+x+8,

44

故①错误.

@V5.5-2>2-(-1),

点A距离对称轴距离大于点B距离对称釉距离，

/.m<rh

故②正确.

③1•图象对称轴为直线m2,且抛物线与x轴一个交点为(8,0),

，图象与x轴的另一交点横坐标为2X2-8=-4,

故③正确.

④由图象可得当户0时,y=8,x=5.5时，y=m,x=2时，y=9,

，0VxV5.5时，

故④错误.

故选:C.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，掌握二次函数与不等式的关系.

8.已知抛物线y=a(x-犷+攵与工轴有两个交点4(-1,0),5(3,0),抛物线y=a(x-加7+A与x轴的

一个交点是(4,0),则〃?的值是()

A.5B.-1C.5或1D.-5或一1

【答案】C

【分析】

将y二〃(工一〃J+Z往右平移m个单位后得至IJy=a(.r—〃一〃?『+A,由此即nJ求解.

【详解】

解：比较抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=a(x-h-m)2+k,

发现：将前一个抛物线往右平移〃?个单位后可以得到后一个抛物线的解析式,

■:y=a(x-〃-m)2+h与4轴的一个交点是(4,0),y=a(x-〃)2+&与X轴有两个交点4(-1,0),8(3,0),

・•・当前一个抛物线往右平移I个单位时，后一个抛物线与x轴的一个交点是(4,0),故〃?=1,

当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与x轴的一个交点是(4,0),故〃?二5,

故选：C.

【点^青】

本题考查二次函数的平移规律，左右平移时y值不变，x增大或减小，由此即可求解.

9.若抛物线y-d+bx+c与x轴两个交点间的距离为4.对称轴为x=2,0为这条抛物线的顶点，则点。

关于大轴的对称点的坐标是()

A.(2,4)B.(-2,4)C.(-2,fD.(2,T)

【答案】A

【分析】

设抛物线与1轴的两个交点坐标分别为(百,0)，(々，。)，”公＞玉，根据“两个交点间的距离为人对称轴为x=2”

建立方程可求小心的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点P的坐标，然后根据关

于、轴的对称点的坐标变换规律即可得.

【详解】

解：设抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(内.0),(程。)，且电＞%，

屈一％=4c_0

由题意得："1+x»＞解得｛1'

-!—=2X,=4

2-

则抛物线与“轴的两个交点坐标分别为(0,0),(4,0),

c=0b=4

将点L心A,解得《八，

16+4/?+c=0(c=0

则抛物线的解析式为y=x2-4x=(x-2)2-4,

顶点尸的坐标为(2,-4),

则点P关于X轴的对称点的坐标是(2,4),

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、关于x轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

10.如图，抛物线)，=5(x-6)2-2与X轴交于点48,把抛物线在X轴及其下方的部分记作G，将C1向左

平移得到G，G与X轴交于点&0,若直线y=gx+〃?与G、G共有3个不同的交点，则〃?的取值范围是

()

A.-34tn<-2B.<tn<_2C.-54tn<-2D.----<fJi<-2

88

【答案】D

【分析】

首先求出点A和点8的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=gx+帆与抛物线C2相切时m的值以

及直线y=加过点8时，〃的值，结合图形即可得到答案.

【详解】

解：•・•抛物线)，=3*-6)2-2=；*-4)。-8)与工轴交于点4、B,

：・B(4,0),A(8,0).

・••抛物线向左平移4个单位长度.

，平移后解析式y=g(x—2)2—2.

当直线y=gx+〃?过8点，有2个交点，

—x4+m=0.

2

解得m=~2.

当直线y=gx+〃?与抛物线C2相切时，有2个交点，

整理，得炉一5X一2〃?=0.

/.A=25+8//?=0.

.25

•・ni=---.

8

如图,

•・•若直线机与a、

故选：D.

【点睛】

本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形,

利用数形结合进行解题，此题有一定的难度.

二、填空题

11.定义：若抛物线与工轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这种

抛物线称作“和美抛物线如图,一组抛物线的顶点81（1,yi）f&（2,”）,以（3,券），…对（〃为正

整数）依次是直线尸夫+；上的点，这组抛物线与、轴正半轴的交点依次是43,0）,41。），43,

0）,…4+］（即|,0）（OVmVl,〃为正整数）.若这组抛物线中存在和美抛物线,则川=

【答案】《或技

【分析】

由抛物线的对称性可知：抛物线的顶点与抛物线与x轴的两个交点构成的三角形必为等腰直角三角形，该

等腰直角三角形的高等手斜边的一半，。<4<1,该等腰直角三角形的斜边长小于2,斜边上的高小于1（即

抛物线顶点纵坐标小于I）,由此求解即可.

【详解】

解：由抛物线的对称性可知：抛物线的顶点与抛物线与X轴的两个交点构成的三角形必为等腰直角三角形,

，该等腰直角三角形的高等于斜边的一半，

•・•0<q<1,

・•・该等腰直角三角形的斜边长小于2,斜边上的高小于1（即抛物线顶点纵坐标小于1）,

117

•・•当x=i时，y=-+-=—<h

2111

当x=2时，y=-+-=—<1>

，I14

当x=3时，y=I+—=—>I,

44

・•・美丽抛物线的顶点只有用和B2,

7

若方为顶点,则用（1,—）,

.,75

..a.=1-----=一,

'1212

同理当用为顶点，求得1-4，

故答案为：有或丑.

【点睛】

本题主要考查了抛物线与X轴交点，抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

12.已知二次函数），=-M+4X+5,它的图象与x轴的交点坐标为.

【答案】（5,0）,（-1,0）.

【分析】

令尸0,可得一Y+4X+5=0,解一元二次方程即可求解.

【详解】

解：令y=0,可得一d+4x+5=0，

x2-4x-5=0,

（X-5）（J:+I）=0,

X!=5,X2=-1»

所以二次函数y=-f+4x+5图象与大轴的交点坐标为（5,0）和（_|,o）

故答案为：（5,0）和（-1,0）.

【点睛】

本题主要考查二次函数与X轴交点，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数与X轴交点的计算方法.

13.已知抛物线），=仆2+加+与X轴的一个交点坐标为（3,0）,对称轴为直线x=l,则关于X的一元

二次方程cvc+bx+c=0（a工0）的根是_______.

【答案】3或-1

【分析】

根据抛物线与X轴的两个交点到对称轴的距离相等，设另一个交点为（K,0）,可得x寸+3=1,解得X的值即

可.

【详解】

解：设抛物线与X轴的另一个交点坐标为：（X,0）,

•・•抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，

.♦・色=1,

2

解得：x=-\,

二抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（-1，0）.

所以关于x的一元二次方程av2+Z?x+（-0的根是xi=-1,X2=3.

故答案是3或-1.

【点睛】

本题考查了求抛物线与x轴的交点问题，关键是掌握抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称.

14.我们把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”.如图，A、B、C、。分别是某蛋圆和坐

标轴的交点其中抛物线的解析式为广x2-Zv-3,则“蛋圆”的弦CD的长为一.

【答案】3+75

【分析】

连接CW,由抛物线的解析式可求出A,B,。的坐标，进而求出AO,BO,DO的长，在直角三角形COM

中,利用勾股定理可求出CO的长,进而可求出CD的长.

【详解】

解：连接CM,

•・•抛物线的解析式为)=小-2.V-3,

・••点。的坐标为(0,-3),

・•・0。的长为3,

令\'=0,则0=x2-2r-3,

解得：x=-1或3,

/.X(-1,0),B(3,0),

•・・M为的中点，，

Af(LO),

：,AO=\,BO=3,MO=1,

VZB为半圆的直径，

，M8=MC=2,

VCOLABt

•*-OC=>1CM2-OM2=\l22-12=y/3>

：.CD=CO+OD=3+y/3,

故答案为：3+G.

【点睛】

本题主:要考查了勾股定理以及二次函数图像与坐标轴的交点问题，能够根据二次函数图像求出各点的坐标

是解题的关键.

15.关于抛物线），=加-2》+1（"0）,给出下列结论：①当公。时，抛物线与直线y=2x+2没有交点；②

若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0,0〉与（1,0）之间；③若抛物线的顶点在

点：0,0）,（2,0）,（0,2）所围成的三角形区域内（包括边界），则&.1.其中正确结论的序号是.

【答案】②③

【分析】

先联立方程组，得到公2_4..1=（）,根据判别式即可得到结论；②先求出“VI,分两种情况：当OV〃V1

时.当时,进行讨论即可：③求出抛物线），=52一2工+1（。。0）的顶点坐标为：（：，一■（进而即可

求解.

【详解】

解：联立〔尸加口+L得/-41二。，

/.A=（M）2-4x（-l）xfl=16+4«,当a<0时，A有可能20,

，抛物线与直线y=2x+2有可能有交点，故①错误：

抛物线y=av2-2x+\（a丰0）的对称轴为：直线x=L

a

若抛物线与X轴有两个交点，则△=（—2）2-4。>0,解得:a<\,

•・•当0V4Vl时，则■!•>],此时，<-,y随x的增大而减小:

axa

又，r=0时，>'=!>（）,x=lW，y=a-\<（）,

・••抛物线有一个交点在点（0,0）与（1,0）之间，

•・•当aVO时，则工<（）,此时，y随x的增大而减小,

aa

又*'LO时，y=\>0,x=l时，y=ez-l<0,

・••抛物线有一个交点在点（0,0）与（I,0）之间，

综上所述：若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0,0）与（1,0）之间，故②正确;

抛物线y=ax--2x+1（0）的顶点坐标为：

・・・9”

aa

・•・抛物线的顶点所在直线解析式为：武尸1,即：尸x+1,

•・•抛物线的顶点在点（0,0）,（2,0）,（0,2）所围成的三角形区域内（包括边界）,

・••，，解得：Cl.A,故③正确.

巴&。

a

故答案是：②③.

【点睛】

本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方

程根的情况，是解题的关键.

三、解答题

16.已知关于x的二次函数)，=2依―4丘+八1亿>0),

(1)若二次函数的图象与x轴没有交点，求2的取值范围；

(2)若四〃7,〃)和，/(-3应)是抛物线上两点，且求实数加的取值范围；

(3)若B(c+1⑼和C(c,s)是抛物线上两点,试比较〃和s的大小.

【答案】(1)&的取值范围为。<4<1;(2)实数/〃的取值范围为一3<〃?<5；(3)当c>g时，b>s；当片

；时，b=s；当时，h<s.

【分析】

(1)△>0,且左>0,即可求解：

-AL

(2)抛物线的对称轴为直线汇二-三与印，当〃=q时，根据函数的对称性，则"『5,即可求解；

2x2k

(3)把B(c+1,勿和C(c,s)代入解析式，由b-s=2M2c・l),然后讨论即可.

【详解】

解：(1)a=2kyb=Yk，c=k+1,

/.▲=〃-4〃c=(-4k)2-4x2kx(k+1)<0,

即16公一8女2一版<0,

解得：()<Z<I,

•・•A>0,

.X的取值范围为

(2)•・•抛物线的对称轴为X=-£冬=1,

2x2k

当〃=9时，根据函数的对称性，则/片1+口一(-3)]=5,

又n<q,

，实数，〃的取值范围为-3<相<5：

(3)VB(c+l,协和C(c,s)是抛物线上两点，

：.b=2k(c+\)2-4k(c+\)+k+\

=2心+4履+2七4h-必+"1

=2AAHi,

s=2kc2-4kc+k+1,

：,b-s=4kc-2k=2k(2c-\),

当2c-l>()即时，历>£;

当2c-1=0即c=g时，b=s\

当2。1<0即c<g时，b<s.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练

学握二次函数的性质是解题的关键.

17.定义：若一次函数)，=以+)(arO)与反比例函数)，=£(。=0)满足。+。=沙，则我们把函数

x

)，=尔2+法+。称为一次函数与反比例函数的“附中函数”.

9

(1)一次函数y=3x+6与反比例函数)，=己是否存在“附中函数”？如果存在，写出其“附中函数”，如果不

x

存在，请说明理由.

(2)若一次函数y=x+〃与反比例函数)，=£(C/0)存在“附中函数”，且该“附中函数”的图象与直线

x

产2x+7有唯一交点，求从。的值.

(3)若一次函数)，=心+〃(。>0)与反比例函数)，=-£(CHO)的“附中函数”的图象与x轴有两个交点

X

分别是A(内，0),B(看，0),其中aWc