广东省六校联盟2026届高三上学期第三次联考（期中）数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省六校联盟2026届高三上学期第三次联考（期中）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x8<2x<500，B=A.3,5,8 B.5,8 C.8,10 D.1,3,52.已知复数z满足zi=1+2i(i为虚数单位)，则|z|=(

)A.52 B.5 C.3.设a、b∈R，则“1b>1a”是“b<a<0A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图，正方形ABCD的边长为2cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形的IJKL，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为(

)

A.6332 B.314 C.6385.已知函数f(x)=ex+aeA.当a=1时，函数f(x)为奇函数，且在0,+∞单调递增

B.当a=1时，函数f(x)为偶函数，且在0,+∞单调递减

C.当a=−1时，函数f(x)为奇函数，且在0,+∞单调递增

D.当a=−1时，函数f(x)为偶函数，且在0,+∞单调递减6.已知1sin10∘−A.1 B.2 C.2 D.7.已知函数f(x)=exlna−ax(a>1)，若f(x)≥0恒成立，则实数a的值为A.e B.e C.e2 8.在三棱锥A−BCD中，AD⊥平面BCD，∠ABD+∠CBD=π2，且BD=BC=4，则已知三棱锥A−BCD外接球表面积的最小值为(

)A.(85+4)π B.(85+8)π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φA.该图象对应的函数解析式为fx=2sin2x+π3

B.函数y=fx的图象关于直线x=−5π12对称

C.函数y=f(x)的图象关于点10.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P,Q分别是棱CC1，棱BC的中点，动点MA.若λ+μ=1，则CM⊥DB1

B.若λ=μ，则三棱锥B1−AMC的体积为定值

C.若μ=12,0⩽λ⩽1，则直线PM与直线BC所成角的最小值为60∘

11.如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线C：y2=x3−2x+2的一部分，则A.点(1,1)在C上

B.在(1,1)处C的切线，其与C的交点的横纵坐标均为整数

C.若C在x轴上方的部分为函数fx的图象，则x=63是fx的极小值点

D.C在三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.所有棱长均为4的三棱锥的体积是

．13.如图，4×6的方格纸(小正方形的边长为1)中有一个向量OA(以图中的格点O为起点，格点A为终点)，则满足OA⋅OB=1的格点B共有

个(规定横、纵坐标均为整数的点称为格点)．14.设数列an的前n项和为Sn,a1=1，且2Sn=an+1−1n∈四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，在▵ABC中，D是BC边上的一点，α=∠BAD，β=∠DAC．(1)证明：BDDC(2)若D为BC的中点，AB=4，AC=2，β=90∘，求三角形ACD16.(本小题15分)如图所示，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD，▵PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD，AB⊥AD，AB=BC=1．(1)求B到平面PCD的距离；(2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为155？若存在，求出PE17.(本小题15分)已知正项数列an满足nlga(1)求数列an(2)设bn=an−1an+1，数列bn的前n项和为18.(本小题17分某科研小组研发了一款新式无人机，其生产过程有4道工序，前3道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测，包括智能检测与人工检测，其中智能检测为次品的会自动淘汰，合格的进入流水线进行人工检测．已知该新式无人机在生产中前3道工序的次品率分别为158(1)若某批次生产了这款新式无人机1000架，记X为该批次经过前3道工序合格的架数，求X的数学期望；(2)已知某批次的新式无人机智能检测显示合格率为4950(3)该科研小组为了庆祝获得研究成果，举行联欢晚会，晚会期间，该小组组织了一个现场抽奖游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运观众，每次都要有放回地含有10张红色卡片和10张绿色卡片的箱子中随机抽取一张，指挥无人机运送匹克球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的匹克球，乙箱中没有球，若抽到红色卡片，则从甲箱中运一个匹克球到乙箱；若抽到绿色卡片，则从甲箱中运两个匹克球到乙箱，当乙箱中的匹克球数目达到9个，下一轮直接达到11个，获得优惠券，游戏结束；当乙箱中的匹克球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得大礼包时游戏结束．求游戏结束时，幸运观众获得优惠券的概率．19.(本小题17分已知函数f(x)=ax(a>1,且a≠1)(1)若f(x)=ex、h(x)=x(2)若函数g(x)=lnx与h(x)=x(3)已知a>0且a≠1,若函数f(x)=ax与g(x)=logax参考答案1.B

2.B

3.A

4.C

5.C

6.D

7.A

8.B

9.AB

10.ABD

11.ACD

12.1613.4

14.2

15.(1)证明：在

▵BAD

中，

BDsin∠BAD在

▵CAD

中，

DCsin∠DAC由于

∠BDA+∠CDA=180∘

，故

sin所以

BDDC=(2)解：因为β=90∘，故DA⊥AC，故α=∠BAD为锐角，

又BDDC=AB⋅sinαAC⋅sinβ，且D为BC的中点，AB=4，AC=2，

故11=4sin

16.解：(1)取AD的中点O，连接PO，OC，

因为△PAD为等边三角形，

所以PO⊥AD，

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以PO⊥平面ABCD，

如图所示，

以O为坐标原点，直线OC，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,−1,0)，D(0,1,0)，C(1,0,0)，B(1,−1,0)，P(0,0,3)，

CP=(−1,0,3)，CD=(−1,1,0)，

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，

所以n⋅CP=−x+3z=0n⋅CD=−x+y=0，

令z=1，则n=(3,3,1)，

又BC=(0,1,0)，

故B到平面PCD的距离d=|BC⋅n||n|=3×0+3×1+1×0(3)2+(3)2+12=37=17.解：(1)由nlgan+1=(n+1)lgan，得lgan+1n+1=lgann，可知数列lg ann是常数列，

所以lgann=lga11=lg3，所以lgan=nlg3=18.解：(1)设新式无人机经过前3道工序后是合格品的率为P，

则P=(1−158)(1−159)(1−160)=5760=1920，

由条件，可得X∽B(1000,1920)，

所以X的数学期望为E(X)=1000×1920=950(架)；

(2)设新式无人机智能检测合格为事件A，人工检测合格为事件B，则P(A)=4950，P(AB)=1920，

所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1920×5049=9598，即人工随机抽检一架新式无人机怡好为合格品的率约为9598．

(3) ①设乙箱中有n个球的率为Pn(1≤n≤10)，第一次抽红色卡片，新式无人机运送1个匹克球，概率为12，即P1=12，

乙箱中有2个球，有两类情况，所以P2=12×12+12=34，

乙箱中有n(3≤n≤9)个球的情况有：

(i)无人机已运送(n−2)个球，又抽到绿色卡片，其概率为12Pn−2;

(ii)无人机已运送(n−1)个球，又抽到红色卡片，其概率为12Pn−1;

所以Pn=12Pn−2+1219.解：(1)y=x2ex，则y′=2xex+x2ex=x(x+2)ex，

由y′=0，得到x=−2或x=0，

当y′>0时，(−∞,−2)和(0,+∞)为函数增区间，当y′<0时，(−2,0)为函数减区间，

所以y=x2ex在x=−2处取到极大值，极大值为4e2，

在x=0处取到极小值，极小值为0，

故函数y=x2ex的极大值为4e2，极小值为0；

(2)设直线l为曲线g(x)=lnx在点(x1,g(x1))处的切线，g′x=1x1，

所以l:y−lnx1=1x1(x−x1)，即l:y=1x1x+lnx1−1;

设直线l为曲线h(x)=xa(x>0,a≠0)在点(x2,h(x2))处的切线，

h′(x)=axa−1，

所以l:y−x2a=ax2a−1(x−x2)，

即l:y=ax2a−1x+(1−a)x2a;

由题意知1x1=ax2a−1lnx1−1=(1−a)x2a，，因为x1>0，x2>0，可知a>0，

由1x1=ax2a−1可得lnx1=−lna−(a−1)lnx2，

将其代入lnx1−1=(1−a)x2a可得：(a−1)(lnx−xa)+lna+1=0，

令p(x)=(a−1)(lnx−xa)+lna+1，则p(x)在(0,+∞)上有零点，

令q(x)=lnx−xa，则q′(x)=1−axax，a>0，x>0，

令q′(x)>0，解得0<x<1a1a;令q′(x)<0，解得x>1a1a;

q(x)在区间(0,1a1a)上单调递增，在区间(1a1a,+∞)上单调递减，

当a>1时，p(x)在区间(0,1a1a)上单调递增，在区间(1a1a,+∞)上单调递减，

且p(1a1a)=(a−1)(1aln1a−1a)+lna+1=